海淀區(qū)高三期末數(shù)學(xué)試題及參考答案(理科)-1

1、海淀區(qū)高三年級(jí)第一學(xué)期期末練習(xí)數(shù)學(xué)理科2022. 01選擇題共40分、選擇題：本大題共 8小題，每題5分，共40分在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有 一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的.復(fù)數(shù)2 i2.A . 2i如圖，正方形 ABCDB. 2+1i5510 5i105.D.i33中，點(diǎn)E是DC的中點(diǎn),點(diǎn)F是BC的一個(gè)三等分點(diǎn).那么 EF =1 、 1A . AB - AD2 31 1 - C. - AB + DA3 21 , 1 .AB + AD421 2 AB - AD 23DCF3.假設(shè)數(shù)列an滿足:a1=19 , an 1 an3(nN*)，那么數(shù)列an的前n項(xiàng)和數(shù)值最大時(shí),n的值是4.平面，直線I，

2、假設(shè)n =i，那么A .垂直于平面的平面一定平行于平面B .垂直于直線l的直線一定垂直于平面C .垂直于平面的平面一定平行于直線D .垂直于直線l的平面一定與平面5.函數(shù)f(x) = Asi n(2x )(A,三R)的局部圖象如下列圖，那么f (0)= f (x) = Asi n(2x ) (A, ER)1A.2J326.執(zhí)行如下列圖的程序框圖，輸出的i值為i=1,s=0，輸出i .A . 5B . 6C. 7D . 8f*1結(jié)束7.函數(shù)f(x) cos2 x sinx，那么以下命題中 假命題是A . f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)B . f (x)在-,0上恰有一個(gè)零點(diǎn)C . f (x)是

3、周期函數(shù)D . f (x)在(一，一上是增函數(shù)2&點(diǎn)P到圖形C上每一個(gè)點(diǎn)的距離的最小值稱(chēng)為點(diǎn)P到圖形C的距離，那么平面內(nèi)到定圓C的距離與到定點(diǎn) A的距離相等的點(diǎn)的軌跡 不可能是A.圓B 橢圓C .雙曲線的一支D .直線二、填空題：本大題共 6小題，每題5分，共30分，把答案填在題中橫線上.9 . C.x I 1)5的展開(kāi)式中x2的系數(shù)是 .用數(shù)字作答x+ y 4乞 0,10 .假設(shè)實(shí)數(shù)x, y滿足 xy2冬0,那么z = x + 2y的最大值為 .2x + y - 5 色 0,2 111.拋物線x ay過(guò)點(diǎn)A(1-)，那么點(diǎn)A到此拋物線的焦點(diǎn)的距離為 .412 .甲和乙兩個(gè)城市去年上半

4、年每月的平均氣溫單位：X丨用莖葉圖記錄如下，根據(jù)莖葉圖可知，兩城市中平均溫度較高的城市是 ，氣溫波動(dòng)較大的城市是 甲城市 乙城市90312413圓C:(x 1)2 y2 2，過(guò)點(diǎn)A( 1,0)的直線l將圓C分成弧長(zhǎng)之比為1: 3的兩段圓弧，那么直線l的方程為側(cè)(左)視圖14. 正三棱柱 ABC ABC的正主視圖和側(cè)左視圖如下列圖設(shè) ABC ABC的中心分別是 0,0，現(xiàn)將此三棱柱繞直線00旋轉(zhuǎn)，射線0A旋轉(zhuǎn)所成的角為x正(主)視圖弧度x可以取到任意一個(gè)實(shí)數(shù)，對(duì)應(yīng)的俯視圖的面積為S(x)，那么函數(shù)S(x)的最大值為;最小正周期為 說(shuō)明：“三棱柱繞直線 OO旋轉(zhuǎn) 包括逆時(shí)針?lè)较蚝晚槙r(shí)針?lè)较?，逆時(shí)針

5、方向旋轉(zhuǎn)時(shí),0A旋轉(zhuǎn)所成的角為正角，順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)時(shí)，0A旋轉(zhuǎn)所成的角為負(fù)角.三、解答題：本大題共6小題，共80分.解容許寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟15. 本小題總分值13分13 在 ABC中，角A, B ,C所對(duì)的邊分別為a ,b ,c , A 2B , sinB .3I求cos A及sinC的值；n假設(shè)b 2，求ABC的面積.16. 本小題總分值13分為加強(qiáng)大學(xué)生實(shí)踐、 創(chuàng)新能力和團(tuán)隊(duì)精神的培養(yǎng)， 促進(jìn)高等教育教學(xué)改革， 教育部 門(mén)主辦了全國(guó)大學(xué)生智能汽車(chē)競(jìng)賽. 該競(jìng)賽分為預(yù)賽和決賽兩個(gè)階段， 參加決賽的隊(duì)伍 按照抽簽方式?jīng)Q定出場(chǎng)順序通過(guò)預(yù)賽，選拔出甲、乙等五支隊(duì)伍參加決賽.I求決賽

6、中甲、乙兩支隊(duì)伍恰好排在前兩位的概率；n假設(shè)決賽中甲隊(duì)和乙隊(duì)之間間隔的隊(duì)伍數(shù)記為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.17. 本小題總分值14分ABC 90 ,在四棱錐P ABCD中，底面ABCD是直角梯形， AB / CD ,I求證：AB丄平面PBC ;n求平面PAD和平面BCP所成二面角小于AB PB PC BC 2CD，平面 PBC 平面 ABCD .川在棱PB上是否存在點(diǎn) M使得CM /平面 型 的值；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.PB18. 本小題總分值13分函數(shù)f(x) ex(x2 ax a)，其中a是常數(shù).I當(dāng)a 1時(shí)，求曲線y f(x)在點(diǎn)(1,f (1)處的切線方程；n假設(shè)存在實(shí)數(shù) k，使得

7、關(guān)于x的方程f(x) k在0,)上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù) 根，求k的取值范圍.19. 本小題總分值13分焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C過(guò)點(diǎn)(0,1)，且離心率為 ,Q為橢圓C的左頂點(diǎn).2I求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；6n過(guò)點(diǎn)(,0)的直線l與橢圓C交于A, B兩點(diǎn).5i假設(shè)直線l垂直于x軸，求 AQB的大??；ii假設(shè)直線丨與x軸不垂直，是否存在直線 丨使得 QAB為等腰三角形？假設(shè)存在，求出直線丨的方程；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.20. 本小題總分值14分集合 M =1,2,3,，n(n C N*)，假設(shè)集合 A=aa2,，am匚M (me N*)，且對(duì) 任意的bi M ,存在ai, a/-" A(1勺空j

8、乞m),使得b=也丨2aj其中1, 2匸一 1,0,1, 那么稱(chēng)集合A為集合M的一個(gè)m元基底.I分別判斷以下集合A是否為集合M的一個(gè)二元基底，并說(shuō)明理由； A = 1,5 , M =1,2,3, 4,5； A = 2,3 , M =1,2,3, 4,5, .n假設(shè)集合 A是集合M的一個(gè)m元基底，證明：m(m 1)j n ；川假設(shè)集合A為集合M =1,2,3,，19的一個(gè)m元基底，求出m的最小可能值，并 寫(xiě)出當(dāng)m取最小值時(shí)M的一個(gè)基底A 海淀區(qū)高三年級(jí)第一學(xué)期期末練習(xí)數(shù) 學(xué)理科參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)2022. 01.選擇題：本大題共 8小題，每題5分，共40分.題號(hào)12345678答案ADBDCAB

9、D填空題：本大題共6小題，每題5分，共30分.595 107 11 12 丨乙，乙413y弓(xl1)或 y弓(x 1)33148 ；-3注：13題正確答出一種情況給 3分，全對(duì)給5分；12、 14題第一空3分；第二空2分.三解答題：本大題共6小題，共80分解容許寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟15本小題總分值13分解：I因?yàn)锳 2B ,所以 cos A =cos2B =1 2sin 2 B .因?yàn)?sinB 3 ,31 1 所以 cosA=1-2x = .3 3由題意可知，B丘0,.2所以 cosB 1 -sin2 B .63因?yàn)?sin A sin 2B 2sin BcosB 所以 sin

10、C =sin (A B)=sin(A十 B) si nAcosB cosAsi nB n因?yàn)橐?, b 2,10分sin B sin A所以2 = a .32、；233所以a_4：6.11分所以S ABC1 20 2 absi nC29(16)本小題總分值13分解：I設(shè) 甲、乙兩支隊(duì)伍恰好排在前兩位為事件A，那么2 3!15!10所以 甲、乙兩支隊(duì)伍恰好排在前兩位的概率為110n隨機(jī)變量 X的可能取值為0, 1,2, 3.P X024!25!5，PX132 3!35!10PX222! 32!15!5PX323!15!10隨機(jī)變量X的分布列為：X0123P23P 115105102311因?yàn)?E

11、X 01231 ,51051013分所以隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為1.(17)本小題總分值14分I證明:因?yàn)?ABC 90 “,所以ABBC .1分1因?yàn)槠矫鍼BC平面ABCD，平面PBC Pl平面ABCD BC ,AB平面 ABCD ,所以AB丄平面PBC .3 分n解：取BC的中點(diǎn)0，連接PO.因?yàn)镻B _ PC ,所以 PO BC.因?yàn)槠矫鍼BC 平面ABCD ,平面PBC門(mén)平面ABCD _ BC , PO 平面PBC ,所以 PO 平面ABCD . 4分如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，OB所在的直線為x軸，在平面 ABCD內(nèi)過(guò)O垂直于BC的直線為y軸，OP所在的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系 O xyz

12、不妨設(shè)BC2.由直角梯形 ABCD 中 AB PB PC BC 2CD 可得 P(0,0,3) , D( 1,1,0),所以 D-(1,1,73) , DA (2,1,0).設(shè)平面PAD的法向量m二x, y,z.A(1,2,0).m DP 0,因?yàn)?一m，DA 0.所以(x, y, z)-(1,T,J3) = 0,|(x, y, z) (2,1,0) =0,即x y+>5z=0,|2x+ y = 0.令 x 1，貝U y 2, z3.所以m= (1, 2,v3). 7分取平面BCP的一個(gè)法向量n 0,1,0 .所以cosm, n)mnmn2 .所以平面ADP和平面BCP所成的二面角小于

13、90丨的大小為一.49 分PM 1川解：在棱 PB上存在點(diǎn)M使得CM /平面PAD，此時(shí).理由如PB 2下： 10分取AB的中點(diǎn)N，連接CM , CN , MN .1 那么 MN / PA , AN AB .2 因?yàn)?AB _ 2CD , 所以 AN_CD.因?yàn)?AB / CD ,所以四邊形ANCD是平行四邊形. 所以 CN / AD .因?yàn)?MN DCN =N, PAAD =A,所以平面MNC /平面PAD .因?yàn)镃M平面MNC , 所以CM /平面PAD .13分14分(18) 本小題總分值13分 解：(I )由 f(x) ex(x2 ax a)可得f'(x) exx2 (a 2)

14、x. 2 分當(dāng) a 1 時(shí)，f (1) e , f '(1) 4e. 4 分所以 曲線y f (x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線方程為 y e 4e x 1 ,即 y 4ex 3e. 5 分n 令 f'(x) ex(x2 (a 2)x)0,當(dāng)a 20,即a 2時(shí)，在區(qū)間0,)上，f '(x)0 ,所以 f (x)是0,)解得x (a 2)或x 0. 6分上的增函數(shù).所以 方程f xk在0,上不可能有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根當(dāng)a 20,即a 2時(shí)，f 'x, f x隨x的變化情況如下表x0(0, (a 2)(a 2)(a 2),)f'(x)00+f(x)aa 4a

15、 2 e/由上表可知函數(shù)f (x)在0 ,)上的最小值為f( (a 2) 暮4e10分因?yàn)楹瘮?shù)f (X)是(0, (a 2)上的減函數(shù)，是(a 2),)上的增函數(shù),且當(dāng)x a 時(shí)，有 f (x) e a (a) a.11分所以要使方程f(x) k在0,)上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，k的取值范圍必須是(a-ae(19) 本小題總分值13分解：I設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為2 2 21(a b 0)，且 a = b +c .由題意可知：b=1, c a 2所以a2 = 4.21.所以，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為4n由I得Q(2,0).設(shè) A(X1,yJ,B(X2, y2).i當(dāng)直線l垂直于X軸時(shí)，直線l的方程為x 5

16、x由2X4解得:16 4即 A( © P B(65或456J545.那么直線AQ的斜率因?yàn)閗AQ kBQ所以AQ BQ.所以AQB -24)不妨設(shè)點(diǎn)5A在x軸上方.1,直線BQ的斜率kBQ1.ii當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，由題意可設(shè)直線AB的方程為y k(x )(k 0).5y k(x 由2x 2才y|),5消去y得：(251100k2)x2240k2x 144k2 100 0.因?yàn)辄c(diǎn)(一6,0)在橢圓C的內(nèi)部,5顯然0.240k2X1 X22，x1x225 100k2 144k2 100 25 100k2 .因?yàn)镼A (x12,yJ, QB(X22也)，所以QA QB(洛 2)(X2

17、2)(為2)(X22)k(x16) k(x2(1y k(Xi |) , y252 )(X1 X2)kg(12k )x1x2(2|)4 36k225竹_10025 100k(2k2)(5240k225 100k2)36k225所以QA QB.所以點(diǎn)M的縱坐標(biāo)yM =k(xM6 6k5)520k2所以QMNM (1016k225 20k6k66k520k2)(5十20k2，520k2)/ 0.60 十 132k2225 十 20k22所以QM與NM不垂直，矛盾所以 當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，不存在直線l使得 QAB為等腰三角形. 13分(20) 本小題總分值14分解：I A = 1,5不是M =1,

18、2,3,4,5的一個(gè)二元基底理由是 3/12-5(2 1,0,1)； A = 2,3是 M =123,4,5,6的一個(gè)二元基底.理由是 1 = -;2 十 1 x3,2 =1x2 十0x3,3 = 0迖 2 1; 3 ,4 =1 減2 1 氷2,5 =1 技2+1 黑3,6 =1X31匯3. 3分n不妨設(shè) 印v a2吒吒am，那么形如1-ai 0© (1勺蘭j蘭m)的正整數(shù)共有 m個(gè)；形如1 aj I 1 q(1蘭i乞m)的正整數(shù)共有 m個(gè)；形如1-ai I 1aj (H： j <m)的正整數(shù)至多有 C；個(gè)； 形如(1)弋1©(1勺< j三m)的正整數(shù)至多有cm個(gè).又集合M =1,2,3, :n含n個(gè)不同的正整數(shù)，A為集合M的一個(gè)m元基底故 mlmlC； I C； ° n，即 m(m _1)仝 n 8分由n可知 m(m 1)仝19，所以m>4.當(dāng)m 4時(shí)，m(m 1)19 = 1，即用基底中元素表示出的數(shù)最多重復(fù)一個(gè) *假設(shè) A a1,a2,a3