第三章條件平差

1、上一章內(nèi)容回顧：上一章內(nèi)容回顧：參數(shù)個數(shù)參數(shù)個數(shù)平差方法平差方法數(shù)學(xué)模型一般式數(shù)學(xué)模型一般式=0條件平差條件平差=t間接平差間接平差0t附有參數(shù)的條件平附有參數(shù)的條件平差差t附有限制條件的間附有限制條件的間接平差接平差1112000rnrnrDQAA L,1,1,120nn ttnLB XdDQ0,1,1,1200c n nc u ucA LB XADQ111ntnntdBLX111200sususxDQCCX1112000r nrnrDQAAL0,1,1,1,nn t tnLB XdVBxl lBXdL01110,00r nrnrAVWWALAAAL000,1,1,100,c n nc u

2、ucA LB XAAVBxWWALBXA0111,n tnntVBxl lBXdLdBLX01110,0 xxxs ususCx WWCXCxCCX將函數(shù)模型轉(zhuǎn)換成改正數(shù)將函數(shù)模型轉(zhuǎn)換成改正數(shù)V的表達(dá)式為：的表達(dá)式為：條件平差原理；條件平差原理； 各種平差問題條件方程的建立；各種平差問題條件方程的建立； 精度評定；精度評定； 條件平差公式匯編和平差示例。條件平差公式匯編和平差示例。通過學(xué)習(xí)本章，要掌握兩點：u 按條件平差的方法，求平差值；u 按條件平差的方法，求平差值函數(shù)的方差。5-1 條件平差原理條件平差原理條件平差： 就是建立條件方程作為函數(shù)模型，觀測值的方差陣為隨機(jī)模型，然后利用最小二乘

3、準(zhǔn)則求平差問題的唯一解。一、基礎(chǔ)方程及其解 設(shè)有r個平差值的線性條件方程： 用代入上式，可得r個條件式：iiiLLv 式中w為條件方程的閉合差（不符值）： 為了便于計算，需將條件式改寫成向量形式，則令：121212nnr nnaaabbbrrrA121TnnLLLL00010TrabrA121TnnvvvV1TabrrwwwW 則條件方程可寫成： 以及改正數(shù)條件式： 00ALA0AVW0WALAu這樣一來，對于一個平差問題，我們能夠得到其數(shù)學(xué)模型：212000AVWDPQu下面要解決的問題是： 由上述的數(shù)學(xué)模型來求改正數(shù)V。不難發(fā)現(xiàn)，不能求得不難發(fā)現(xiàn)，不能求得V V的唯一解！的唯一解！解決不唯

4、一解的辦法就是附加一個約束條件解決不唯一解的辦法就是附加一個約束條件-“最小二乘估計最小二乘估計” 即滿足：即滿足： 式中：V為觀測誤差的估計向量，在最小二乘估計中稱為觀測值的最或然改正數(shù)，或稱為殘差；P為觀測向量的先驗權(quán)陣。minTV PV v不難看出，條件平差就是一個求條件極值條件極值的問題。 即相當(dāng)于： 求函數(shù) 的極小值； 且要滿足 的條件。0AVWminTVV PV（ ）條件極值條件極值-拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法下面按拉格朗日乘數(shù)法求條件平差的極值：下面按拉格朗日乘數(shù)法求條件平差的極值：v條件平差就是：要求函數(shù)要求函數(shù) V VT TPV PV 在在 AV+W=0 AV+W=0 下的

5、下的 極小值。極小值。為此，組成新函數(shù)：將對V求一階導(dǎo)數(shù)，并令其等于零，得：兩邊轉(zhuǎn)置，得： 2TTV PVKAVW （）220TTdVPKAdVTPVA K矩陣的微分： 設(shè)1212.,.,()TTnniiXxxxYyyyYf X111122221212.nnnnnnyyyxxxyyyYxxxdYdXdXXyyyxxx (1):,;(2):,()()32TTTTTTTTFAYdFdYAdXdXFY ZZ YdFd Y Zd Z YdZdYYZdXdXdXdXdXFV PVdFV PdV則：則：（ ）：則：若有則Y的全微分由下式給出：特別地：用P-1左乘 兩端，得改正數(shù)V的計算公式： 上式稱為改正

6、數(shù)方程。改正數(shù)方程。將得到的V回代到條件式 中： 上式稱為條件平差的法方程法方程。 1TTVP A KQA K0TAQA KWTPVA K0AVW令法方程的系數(shù)陣為:法方程系數(shù)陣的特點： 是一個對稱的方陣； 是一個r階滿秩方陣，且可逆；則,法方程又可寫為:故，可得聯(lián)系數(shù)K的唯一解：rnnrnnrrTaaNQAA()( )TaaR NR AQAR Ar0aaN KW1aaKN W 通常將: 上兩組稱為條件平差的基礎(chǔ)方程基礎(chǔ)方程。10TAVWVP A K二、按條件平差求平差值的計算步驟及示例條件平差的計算步驟：條件平差的計算步驟：（1）根據(jù)平差問題（網(wǎng)形），確定觀測總數(shù)，必要觀 測數(shù)t以及多余觀測

7、數(shù)r（條件數(shù)）；（2）正確列出r r個函數(shù)獨立的線性個函數(shù)獨立的線性條件式；（3）根據(jù)條件式的系數(shù)A，閉合差W以及觀測值的協(xié)因數(shù)陣Q組成法方程；（4）解算法方程，求出聯(lián)系數(shù)K值；（5）將K代入改正數(shù)方程，求出V；（6）由L+V求出平差值；（7）用平差值重新列出平差值條件方程式，看其是否滿足，以檢驗平差計算的正確性。0123123123123101102203318009011190,1111,3390,333342 12 1778 09 0659 38 37TTaaTTLLLvvvvvAvPPPPINAPAAAKKVQA KLvLLVLvLv 例5-1.P7412324123412341234

8、1001110000111411,11112,1,2,1.520000100,(2,1,2,1.5)00200001.55112.5ABiiTaahhhHHhhvvvvCPsSSSSpPPPPPdiagNAP A1114510012.540.351.72.6()1.00471.51742.51271.517411.0083 ,12.5257 .abaaTTTCADAkkkkVP A KmmLLVmmmmHHLm HHLLm 課堂思考題：課堂思考題：P22 5.1.01、 5.1.02、 5.1.03作業(yè)：作業(yè)： P23 5.1.06、 5.1.07上節(jié)內(nèi)容回顧：上節(jié)內(nèi)容回顧

9、：改正數(shù)條件式觀測值的協(xié)方差陣法方程改正數(shù)方程0AVW21200DPQ0aaN KWrnnrnnrrTaaNQAA1TTVP A KQA K10TAVWVP A Kv條件平差的基礎(chǔ)方程：5-2 5-2 條件方程條件方程v條件平差中，至為重要的是正確地列出條件式。條件平差中，至為重要的是正確地列出條件式。回顧一下條件方程的特點：回顧一下條件方程的特點：個數(shù)等于多余觀測數(shù)r個；且這r個條件方程彼此線性無關(guān)；形式不唯一，優(yōu)先選用形式簡單、易于列立的條件方程。v測量中常見的幾何模型有：測量中常見的幾何模型有： 水準(zhǔn)網(wǎng)、三角網(wǎng)（測角網(wǎng)、測邊網(wǎng)、邊角網(wǎng)）、導(dǎo)線網(wǎng)等。一一. .水準(zhǔn)網(wǎng)條件方程水準(zhǔn)網(wǎng)條件方程必

10、要觀測數(shù)的確定： 網(wǎng)中有已知水準(zhǔn)點時，必要觀測數(shù)就等于網(wǎng)中待定點的個數(shù)； 若沒有已知水準(zhǔn)點，則必要觀測數(shù)等于待定點的個數(shù)減1；條件方程的個數(shù)： 等于多余觀測數(shù)=觀測總數(shù)-必要觀測數(shù)。條件方程一般是依兩種思路建立的，即： 沿水準(zhǔn)路線的閉合環(huán)確定幾何關(guān)系； 沿附合路線來確定幾何關(guān)系。課堂思考題：P245.2.085.2.095.2.10二、測角網(wǎng)條件方程二、測角網(wǎng)條件方程（只討論獨立三角網(wǎng)的情況只討論獨立三角網(wǎng)的情況）必要觀測數(shù)等于待定點個數(shù)的必要觀測數(shù)等于待定點個數(shù)的2 2倍。倍。測角網(wǎng)的基本條件方程有三種類型： 圖形條件（內(nèi)角和條件）； 圓周條件（水平條件）； 極條件（邊長條件）。 例：ABP

11、1P2P3123456789101112 例：ABP1P2P3S1S2S3S4S5S6S7 例：ABP1P2P3123456789101112S1S2S3u三角網(wǎng)分為：1）獨立三角網(wǎng)（見圖1）2）附合三角網(wǎng)（見圖2）3）自由三角網(wǎng)（見圖3）必要起算數(shù)據(jù)（基準(zhǔn)）1）測角網(wǎng)4個2）測邊網(wǎng)3個3）邊角網(wǎng)3個必要觀測數(shù)據(jù)1）獨立三角網(wǎng)：(t=2(p-2)=2p-4,t=2p-3)2）附合三角網(wǎng): 3）自由三角網(wǎng): (P為網(wǎng)中三角點的個數(shù)）獨立三角網(wǎng)自由三角網(wǎng)自由測角網(wǎng)附合三角網(wǎng)（測角） 例：當(dāng)n=35、n=22、n=35+22時，其條件式個數(shù)各為多少？有哪些類型？ABCDa1b1c1a2b2c2b3a

12、3c3圖形條件（內(nèi)角和條件）:a1b1c1a2b2c2a3b3c3圓周條件（水平條件）:a1b1c1a2b2c2c3a3b3極條件（邊長條件）:p極條件極條件（邊長條件）就是指由不同路線推算得到的同一邊長的長度應(yīng)相等。三角網(wǎng)的基本圖形三角網(wǎng)的基本圖形 1） 單三角形 2）大地四邊形 3）中點多邊形?；緢D形的條件方程基本圖形的條件方程1）單三角形：一個圖形條件(r=1)。abc0 1800abc v圖形條件式為：例如：02221800abc01111800abca1b1c1a2b2c2圖形條件式為：2）大地四邊形： 三個圖形條件，一個極 條件(r=4)。056781800LLLL0123418

13、00LLLL034561800LLLL123456788ABCD23574672sinsinsinsinsinsinABABSLLLLSLLLL（）（）思考：1）極條件形式是否唯一？ 2）極條件的組成有何規(guī)律？B3）中點n多邊形： n個圖形條件，一個極條件，一個圓周條件(r=n+2)。1234567891011121314150121103412056130781409101518001800180018001800LLLLLLLLLLLLLLL011121314153600LLLLinsinsinsinsin1sinsinsinsinsinLLLLLLLLLL 例：

14、S極條件的線性化 用泰勒級數(shù)公式展開取至一次項，得到線性形式的極條件方程。135246sinsinsin1sinsinsinLLLLLL例有極條件為：135246113355224466135351351124624646sinsinsin1sinsinsinsin)sin()sin()1sin()sin()sin()sinsinsinsinsinsinsinsin(1)cos(sinsinsinsinsinsinsinsinLLLFLLLLvLvLvLvLvLvLLLLLLLLLvLLLLLLLL（2222135135135121224612462246135112461)cos.sinsi

15、nsinsinsinsinsinsinsinsincoscos.(1)sinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinLvLLLLLLLLLLLLvvLLLLLLLLLLLLLLctgLvctgLLLL1352233445566246246112233445566135sinsinsin(1)sinsinsinsinsinsin(1)0sinsinsinLLLvctgLvctgLvctgLvctgLvLLLLLLctgLvctgLvctgLvctgLvctgLvctgLvLLL思考思考：線性化后的極條件有何規(guī)律？線性化后的極條件有何規(guī)律？教

16、材P79 例5-4. 例5-5.三、測邊網(wǎng)條件方程測邊網(wǎng)的三種基本圖形：1） 單三角形 2）大地四邊形 3）中點多邊形。t=3,r=0t=5,r=1t=9,r=1s1s2s3s1s2s3s4s5s6s1s2s3s4s5s6s7s8s9s10測邊網(wǎng)中的中點多邊形與大地四邊形個數(shù)之和，即為該網(wǎng)條件條件方程的總數(shù)，稱為“測邊網(wǎng)的圖測邊網(wǎng)的圖形條件形條件”。圖形條件列立的方法： 1.角度閉合法角度閉合法；2.邊長閉合法；3.面積閉合法等。介紹角度閉合法列立的基本思想：介紹角度閉合法列立的基本思想： 利用觀測邊長求出網(wǎng)中各內(nèi)角，列出角度間應(yīng)滿足的條件，然后，以邊長改正數(shù)代換角度改正數(shù)，得到以邊長改正數(shù)表

17、示的圖形條件。 以角度改正數(shù)表示的條件方程； 角度改正數(shù)與邊長改正數(shù)的關(guān)系式； 以邊長改正數(shù)表示的圖形條件方程。以角度改正數(shù)表示的條件方程為：以角度改正數(shù)表示的條件方程為：S4S1S2S3S5S612312312312300,vvvwwS4角度改正數(shù)與邊長改正數(shù)的關(guān)系式；ABCSaScSbha2222cosabcbcSSSS SA2222cosabcbcSSSS SA2222cos2cos2sinaabbccbbccbcS dSS dSS dSSAdSSAdSS SAdA1(cos)(cos)sinaabcbcbcbcdAS dSSSA dSSSA dSS SA2(22cos)(22cos)2

18、sinaabbcbccbcbcS dSS dSSAdSS dSSAdSS SAdAsincoscoscoscosbcbbaabcacbaS SAS hS hSSASCSSASB1coscosabcadAdSCdSBdShcoscosbcASaSSavvCvBvh 稱該式為角度改正數(shù)方程。ABCSaScSbhacoscosbcASaSSavvCvBvh z上式規(guī)律：上式規(guī)律： 任意一角的（如A角）改正數(shù)等于其對邊的改正數(shù)與兩個夾邊的改正數(shù)分別與其鄰角余炫乘積負(fù)值之和再乘以為分子，以該角至其對邊之高為分母的分?jǐn)?shù)。 例：S1S2S3S5S6123S4ABCD1215223(coscos)ssssvv

19、CBAvACBvhvv四、邊角網(wǎng)條件方程四、邊角網(wǎng)條件方程條件方程的類型條件方程的類型： 1） 一類是測角網(wǎng)的條件方程；2）另一類是測邊、角共有的條件方程；12345678S1S2S3S4課堂思考（上圖），回答以下問題課堂思考（上圖），回答以下問題： 1）應(yīng)列幾個條件方程？ 2）各是何種類型？ 3）列出并將非線性線性化。12345678S1S2S3S4課堂總結(jié)（回顧回顧）：獨立測角網(wǎng)、測邊網(wǎng)、邊角網(wǎng)條件方程的類型、個數(shù)個數(shù)；條件方程列立的方法；非線性條件式的線性化。例：習(xí)題集P43判斷條件式個數(shù)、類型以及各種類型的個數(shù)。 作業(yè)：P24 5.2.10 5.2.11 （a) (b ) 5.2.24

20、 5.2.18 (要求：將非線性條件式線性化！）四、導(dǎo)線網(wǎng)的觀測方程1、單一附合（閉合）導(dǎo)線 必要觀測數(shù)t=2P 多余觀測數(shù)r=-t=3 思考：觀測方程類型有哪些？CDS1S3ABP1P2123S24 觀測方程類型：1）坐標(biāo)方位角條件；2）縱、橫坐標(biāo)條件。 具體形式？ 非線形式子線性化？ 思考：閉合導(dǎo)線又怎樣？ p上例縱、橫坐標(biāo)條件式線性化后的形式為（化簡）：1112223311223coscoscos1()()()()0ASSSCACpCpCCvvvyyvyyvyyvxx1112223311223sinsinsin1()()()()0ASSSCACPCPCCvvvxxvxxvxxvyyACP

21、1P21234BDS1S2S311111cos.()01sin.()0iinnisciixiinnisciiyiivyy vwvxx vw3A(1)BC(n+1)D123nn+12n11nxAiCCCinyAiCCCiwxxxxxwyyyyy3其中： 縱、橫坐標(biāo)條件式線性化后的形式為：1111111cos.()01sin.()0iinnisciixiinnisciiyiinxAiCCCinyAiCCCivyy vwvxx vwwxxxxxwyyyyy其中：2、導(dǎo)線網(wǎng) 必要觀測數(shù)t=2P 多余觀測數(shù)r=-t5 觀測方程類型： 1）坐標(biāo)方位角條件； 2）縱、衡坐標(biāo)條件； 3）圓周條件。 各種條件式

22、的個數(shù)？ 具體形式？ 思考：1）條件式個數(shù)、類型、各種類型的個數(shù)？ 2）法方程的個數(shù)、改正數(shù)的個數(shù)？5.3 精度評定在平差計算中，經(jīng)常需要估算某些量平差值 的精度；測量成果的精度，包括： （1）觀測量的平差值精度； （2）平差值函數(shù)的精度。由前述知識，可知觀測值的（驗前）方差為： 則可以得到觀測量的平差值的（驗后）方差： （ 驗后單位權(quán)方差的估值）推廣到求平差值函數(shù)的方差：20LLDQ20LLDQ20 0Q一一 、單位權(quán)方差的估值公式單位權(quán)方差的估值公式單位權(quán)方差的估值公式：單位權(quán)方差的估值公式： 殘差平方和除以多余觀測數(shù)就為單位權(quán)方差估值。 即：u一個平差問題，不論采用何種平差方法，單位權(quán)方

23、差的估值的公式是不變不變的。20TV PVr二、協(xié)因數(shù)陣的計算二、協(xié)因數(shù)陣的計算如何推求條件平差中基本向量各自的協(xié)因數(shù)以及兩兩向量間的互協(xié)因數(shù)陣？方法：就是利用廣義傳播律！（回顧一下其步驟？）條件方程常數(shù)項條件方程常數(shù)項W W的協(xié)因數(shù)的求法的協(xié)因數(shù)的求法 先列函數(shù)式： 由協(xié)因數(shù)傳播律得： （式中Q為觀測值的協(xié)因數(shù)陣。）0WALATWaaQAQAN觀測值改正數(shù)（殘差）的協(xié)因數(shù)的求法觀測值改正數(shù)（殘差）的協(xié)因數(shù)的求法 函數(shù)式： 按協(xié)因數(shù)定律，得：1TVP A K1111111()()()()()TTTVaaaaTTaaaaTTaaaaTaaQQA NA QQA NAQA NA QA NAQQA N

24、AQANAQQA NAQ 1TaaQA N W 110TTaaaaQA NALQA NA 聯(lián)系數(shù)聯(lián)系數(shù)K K的協(xié)因數(shù)的求法的協(xié)因數(shù)的求法方法方法1 函數(shù)式： 按協(xié)因數(shù)傳播律得：1aaKN W 11111()()TKKaaWWaaaaaaaaaaQNQNNN NN 方法2函數(shù)式：按協(xié)因數(shù)傳播律得：1111111() ()() ()()TKaaaaTaaaaTaaaaaaQNA QNANA QA NNAQANN 1110aaaaaaKN WNALNA 觀測值平差值的協(xié)因數(shù)的求法觀測值平差值的協(xié)因數(shù)的求法 函數(shù)式：110110110()()TTaaTaaTTaaaaTTaaaaLLVLQ AKLQ

25、ANWLQ ANA LALQ ANA LQ ANAIQ ANA LQ ANA 按協(xié)因數(shù)傳播律，得：11111111111111() ()() ()2()2TTTaaaaLTTaaaaTTTTaaaaaaaaTTTaaaaaaTTaaaaTaaVQIQA N A Q IQA N AIQA NQ IA N AQQ QA N AQ QA N QQA N AQA N AQQQA N AQQA NAQAN AQQQA N AQQA N AQQ QA N AQQ Q即即：1TaaLVQQQA NAQQQv上式是一個很有用的公式！兩兩互協(xié)因數(shù)陣（以兩兩互協(xié)因數(shù)陣（以 為例）的求法為例）的求法 函數(shù)式 按互協(xié)

26、因數(shù)傳播律，得：z說明：觀測值的平差值與改正數(shù)是不相關(guān)的！說明：觀測值的平差值與改正數(shù)是不相關(guān)的！LV和110()TTaaaaLIQA NA LQA NA110TTaaaaVQA NALQA NA 111111111) ()() ()0TTTaaaaLVTTaaaaTTTaaaaaaTTaaaaQIQA NA QQA NAIQA NA QA NAQQA NAQQA NAQA NAQQA NAQQA NAQ （u條件平差中基本向量的協(xié)因數(shù)以及互協(xié)因數(shù)：三、平差值函數(shù)的中誤差三、平差值函數(shù)的中誤差所謂的平差值函數(shù)，就是指根據(jù)觀測值的平差值所算出的某些量。 如：平面控制網(wǎng)中待定點的平差坐標(biāo)、邊長,方

27、位角、高程控制網(wǎng)中待定點平差高程等等。 z實際實際平差問題中：平差問題中： 任一個量均可表達(dá)成觀測量的平差值的函數(shù)！任一個量均可表達(dá)成觀測量的平差值的函數(shù)！如何計算平差值函數(shù)平差值函數(shù)的中誤差,就是本節(jié)要討論的問題。ABP1P2123S24CDS1S3u思考：“平差值函數(shù)”能概括平差問題中的哪些量？u回顧：求中誤差有幾種方法？u思考：求平差值函數(shù)的中誤差用哪種方法妥當(dāng)？ 列函數(shù)式： 線性化： 求 由協(xié)因數(shù)傳播律得： 2 0 Q Q 2020TV PVr( )LfTdfdL LLQ TLLQf Qfu計算平差值函數(shù)計算平差值函數(shù) 的中誤差的思路：的中誤差的思路：v思考：關(guān)鍵在哪幾步？思考：關(guān)鍵在

28、哪幾步？例1： 問：平差后P1、P2、P3點高程的函數(shù)式怎樣？關(guān)于平差值函數(shù)式的列立：例2：問：C、D點的平差坐標(biāo)、平差后CD邊方位角以及邊長，它們的平差值函數(shù)式怎樣？權(quán)函數(shù)式又怎樣？權(quán)函數(shù)式： 當(dāng)平差值函數(shù)為非線性形式時，則必須將函數(shù)進(jìn)行線性化，即對函數(shù)求全微分，得到的式子稱為權(quán)函數(shù)式。下面以平差值函數(shù)的一般形式來說明求其中誤差的具體過程。 故，一般地，設(shè)平差值函數(shù)為： 非線性線性化，得： 令其系數(shù)為 ,則上式為： （上式就稱作權(quán)函數(shù)式上式就稱作權(quán)函數(shù)式） 寫成矩陣形式： 12(,)nf L LL0102012()()()nnfffddLdLdLLLL1122nndf dLf dLf dL1212TnndLdLdffffdLdL0)iiffL（ 利用協(xié)因數(shù)傳播律，即得：$（考慮： 是否已知得到？怎樣求得？） 平差值函數(shù)的中誤差為： TLLQf Qf 0Q LLQ例： LLQ Q 0Q 解題思路：相對中誤差（何謂相對中誤差何謂相對中誤差？）；CD邊長的中誤差；列立CD邊長的函數(shù)式（如何表達(dá)？）；非線性線性化（兩邊全微分，得權(quán)函數(shù)式）；寫成向量形式；求出 ；利