高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)大全_______：空間向量與立體幾何

1、高中數(shù)學(xué)高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)空間向量與立體幾何空間向量與立體幾何一、考點(diǎn)概要：一、考點(diǎn)概要：1、空間向量及其運(yùn)算、空間向量及其運(yùn)算（1）空間向量的基本知識(shí)：）空間向量的基本知識(shí)：定義定義：空間向量的定義和平面向量一樣空間向量的定義和平面向量一樣，那些具有大小和方向的量叫做向量那些具有大小和方向的量叫做向量，并且仍用有向線并且仍用有向線段表示空間向量，且方向相同、長(zhǎng)度相等的有向線段表示相同向量或相等的向量。段表示空間向量，且方向相同、長(zhǎng)度相等的有向線段表示相同向量或相等的向量?？臻g向量基本定理：空間向量基本定理：定理定理：如果三個(gè)向量如果三個(gè)向量不共面不共面，那么對(duì)于空間任一向量那么對(duì)于

2、空間任一向量，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組存在唯一的有序?qū)崝?shù)組 x、y、z，使，使。且把。且把叫做空間的一個(gè)基底，叫做空間的一個(gè)基底，都叫基向量。都叫基向量。正交基底：如果空間一個(gè)基底的三個(gè)基向量是兩兩相互垂直，那么這個(gè)基底叫正交基底。正交基底：如果空間一個(gè)基底的三個(gè)基向量是兩兩相互垂直，那么這個(gè)基底叫正交基底。 單位正交基底單位正交基底：當(dāng)一個(gè)正交基底的三個(gè)基向量都是單位向量時(shí)當(dāng)一個(gè)正交基底的三個(gè)基向量都是單位向量時(shí)，稱(chēng)為單位正交基底稱(chēng)為單位正交基底，通常用通常用表示。表示。 空間四點(diǎn)共面空間四點(diǎn)共面：設(shè)設(shè) O、A、B、C 是不共面的四點(diǎn)是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間中任意一點(diǎn)則對(duì)空間中任意一點(diǎn) P，都存

3、在唯一的有都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組序?qū)崝?shù)組 x、y、z，使，使。共線向量（平行向量共線向量（平行向量） ：定義定義：如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或則這些向量叫做共線向量或平行向量，記作平行向量，記作。規(guī)定：零向量與任意向量共線；規(guī)定：零向量與任意向量共線；共線向量定理共線向量定理： 對(duì)空間任意兩個(gè)向量對(duì)空間任意兩個(gè)向量平行的充要條件是平行的充要條件是： 存在實(shí)數(shù)存在實(shí)數(shù)， 使使。共面向量：共面向量：定義定義：一般地一般地，能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量；空間的

4、任意兩個(gè)向量都是共面向量空間的任意兩個(gè)向量都是共面向量。向量與平面平行：如果直線向量與平面平行：如果直線 OA 平行于平面或平行于平面或在在內(nèi)，則說(shuō)向量?jī)?nèi)，則說(shuō)向量平行于平面平行于平面，記作，記作。平行于同一平面的向量，也是共面向量。平行于同一平面的向量，也是共面向量。共面向量定理共面向量定理：如果兩個(gè)向量如果兩個(gè)向量、 不共線不共線，則向量則向量與向量與向量、 共面的充要條件是共面的充要條件是：存在實(shí)數(shù)對(duì)存在實(shí)數(shù)對(duì) x、y，使，使。空間的三個(gè)向量共面的條件空間的三個(gè)向量共面的條件：當(dāng)當(dāng)、 、 都是非零向量時(shí)都是非零向量時(shí)，共面向量定理實(shí)際上也是共面向量定理實(shí)際上也是、 、所在的三條直線共面的

5、充要條件所在的三條直線共面的充要條件，但用于判定時(shí)但用于判定時(shí)，還需要證明其中一條直線上有一點(diǎn)在另兩條直線所還需要證明其中一條直線上有一點(diǎn)在另兩條直線所確定的平面內(nèi)。確定的平面內(nèi)。共面向量定理的推論共面向量定理的推論：空間一點(diǎn)空間一點(diǎn) P 在平面在平面 MAB 內(nèi)的充要條件是內(nèi)的充要條件是：存在有序?qū)崝?shù)對(duì)存在有序?qū)崝?shù)對(duì) x、y，使得使得，或?qū)τ诳臻g任意一定點(diǎn)，或?qū)τ诳臻g任意一定點(diǎn) O，有，有?？臻g兩向量的夾角空間兩向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量已知兩個(gè)非零向量、 ，在空間任取一點(diǎn)在空間任取一點(diǎn) O，作作，（兩個(gè)向兩個(gè)向量的起點(diǎn)一定要相同量的起點(diǎn)一定要相同） ，則叫做向量，則叫做向量與與的夾角，記

6、作的夾角，記作，且，且。兩個(gè)向量的數(shù)量積：兩個(gè)向量的數(shù)量積：定義：已知空間兩個(gè)非零向量定義：已知空間兩個(gè)非零向量、，則，則叫做向量叫做向量、的數(shù)量積，記作的數(shù)量積，記作，即：即：。規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為 0。注意：兩個(gè)向量的數(shù)量積也叫向量注意：兩個(gè)向量的數(shù)量積也叫向量、的點(diǎn)積（或內(nèi)積的點(diǎn)積（或內(nèi)積） ，它的結(jié)果是一個(gè)實(shí)數(shù)，它等于兩向，它的結(jié)果是一個(gè)實(shí)數(shù)，它等于兩向量的模與其夾角的余弦值。量的模與其夾角的余弦值。數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積的幾何意義：叫做向量叫做向量在在方向上的投影（其中方向上的投影（其中為向量為向量和和的夾角的夾角） 。即：數(shù)量積即：數(shù)量

7、積等于向量等于向量的模與向量的模與向量在在方向上的投影的乘積。方向上的投影的乘積?；拘再|(zhì)：基本性質(zhì)：運(yùn)算律：運(yùn)算律：（2）空間向量的線性運(yùn)算：）空間向量的線性運(yùn)算：定義：與平面向量運(yùn)算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘向量運(yùn)算如下：定義：與平面向量運(yùn)算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘向量運(yùn)算如下：加法：加法：減法：減法：數(shù)乘向量：數(shù)乘向量：運(yùn)算律：運(yùn)算律： 加法交換律：加法交換律：加法結(jié)合律：加法結(jié)合律：數(shù)乘分配律：數(shù)乘分配律：二、復(fù)習(xí)點(diǎn)睛：二、復(fù)習(xí)點(diǎn)睛：1、立體幾何初步是側(cè)重于定性研究立體幾何初步是側(cè)重于定性研究，而空間向量則側(cè)重于定量研究而空間向量則側(cè)重于定量研究?？臻g向量的引入空間向量的

8、引入，為解決三維為解決三維空間中圖形的位置關(guān)系與度量問(wèn)題提供了一個(gè)十分有效的工具?？臻g中圖形的位置關(guān)系與度量問(wèn)題提供了一個(gè)十分有效的工具。2、根據(jù)空間向量的基本定理，出現(xiàn)了用基向量解決立體幾何問(wèn)題的向量法，建立空間直角坐標(biāo)系、根據(jù)空間向量的基本定理，出現(xiàn)了用基向量解決立體幾何問(wèn)題的向量法，建立空間直角坐標(biāo)系，形成了用空間坐標(biāo)研究空間圖形的坐標(biāo)法形成了用空間坐標(biāo)研究空間圖形的坐標(biāo)法，它們的解答通常遵循它們的解答通常遵循“三步三步”：一化向量問(wèn)題一化向量問(wèn)題，二進(jìn)行向量運(yùn)二進(jìn)行向量運(yùn)算，三回到圖形問(wèn)題。其實(shí)質(zhì)是數(shù)形結(jié)合思想與等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用。算，三回到圖形問(wèn)題。其實(shí)質(zhì)是數(shù)形結(jié)合思想與等價(jià)轉(zhuǎn)化思想

9、的運(yùn)用。3、實(shí)數(shù)的運(yùn)算與向量的運(yùn)算既有聯(lián)系又有區(qū)別實(shí)數(shù)的運(yùn)算與向量的運(yùn)算既有聯(lián)系又有區(qū)別，向量的數(shù)量積滿足交換律和分配律向量的數(shù)量積滿足交換律和分配律，但不滿足結(jié)合但不滿足結(jié)合律律，因此在進(jìn)行數(shù)量積相關(guān)運(yùn)算的過(guò)程中不可以隨意組合因此在進(jìn)行數(shù)量積相關(guān)運(yùn)算的過(guò)程中不可以隨意組合。值得一提的是值得一提的是：完全平方公式和平方差公式完全平方公式和平方差公式仍然適用仍然適用，數(shù)量積的運(yùn)算在許多方面和多項(xiàng)式的運(yùn)算如出一轍數(shù)量積的運(yùn)算在許多方面和多項(xiàng)式的運(yùn)算如出一轍，尤其去括號(hào)就顯得更為突出尤其去括號(hào)就顯得更為突出，下面兩個(gè)下面兩個(gè)公式較為常用，請(qǐng)務(wù)必記住并學(xué)會(huì)應(yīng)用：公式較為常用，請(qǐng)務(wù)必記住并學(xué)會(huì)應(yīng)用：。2

10、、空間向量的坐標(biāo)表示：、空間向量的坐標(biāo)表示：（1）空間直角坐標(biāo)系：）空間直角坐標(biāo)系：空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系 O-xyz，在空間選定一點(diǎn)在空間選定一點(diǎn) O 和一個(gè)單位正交基底和一個(gè)單位正交基底，以點(diǎn)以點(diǎn) O 為原點(diǎn)為原點(diǎn)，分分別以別以的方向?yàn)檎较蚪⑷龡l數(shù)軸的方向?yàn)檎较蚪⑷龡l數(shù)軸：x 軸軸、y 軸軸、z 軸軸，它們都叫做坐標(biāo)軸它們都叫做坐標(biāo)軸，點(diǎn)點(diǎn) O 叫做原點(diǎn)叫做原點(diǎn)，向向量量叫做坐標(biāo)向量叫做坐標(biāo)向量，通過(guò)每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面通過(guò)每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面，分別稱(chēng)為分別稱(chēng)為 xOy 平面平面，yOz 平面平面，zOx平面。平面。右手直角坐標(biāo)系右手直角坐標(biāo)系：右手握住右

11、手握住 z 軸軸，當(dāng)右手的四指從正向當(dāng)右手的四指從正向 x 軸以軸以 90角度轉(zhuǎn)向正向角度轉(zhuǎn)向正向 y 軸時(shí)軸時(shí)，大拇指大拇指的指向就是的指向就是 z 軸的正向；軸的正向；構(gòu)成元素：點(diǎn)（原點(diǎn)構(gòu)成元素：點(diǎn)（原點(diǎn)） 、線（、線（x、y、z 軸軸） 、面（、面（xOy 平面，平面，yOz 平面，平面，zOx 平面平面） ；空間直角坐標(biāo)系的畫(huà)法空間直角坐標(biāo)系的畫(huà)法：作空間直角坐標(biāo)系作空間直角坐標(biāo)系 O-xyz 時(shí)時(shí)，一般使一般使xOy=135(或或 45), yOz=90，z 軸垂直于軸垂直于 y 軸，軸，z 軸、軸、y 軸的單位長(zhǎng)度相同，軸的單位長(zhǎng)度相同，x 軸上的單位長(zhǎng)度為軸上的單位長(zhǎng)度為 y 軸

12、（或軸（或 z 軸）的一半；軸）的一半；（2）空間向量的坐標(biāo)表示：）空間向量的坐標(biāo)表示：已知空間直角坐標(biāo)系和向量已知空間直角坐標(biāo)系和向量，且設(shè)，且設(shè)為坐標(biāo)向量（如圖為坐標(biāo)向量（如圖） ，由空間向量基本定理知，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組由空間向量基本定理知，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組叫做向量在此直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作叫做向量在此直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作。在空間直角坐標(biāo)系在空間直角坐標(biāo)系 O-xyz 中，對(duì)于空間任一點(diǎn)中，對(duì)于空間任一點(diǎn) A，對(duì)應(yīng)一個(gè)向量，對(duì)應(yīng)一個(gè)向量，若，若，則，則有序數(shù)組有序數(shù)組(x，y，z)叫做點(diǎn)在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)叫做點(diǎn)在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記為記為 A(x，y，z)，其

13、中其中 x 叫做點(diǎn)叫做點(diǎn) A 的橫坐標(biāo)的橫坐標(biāo)，y 叫做點(diǎn)叫做點(diǎn) A 的縱坐標(biāo)，的縱坐標(biāo)，z 叫做點(diǎn)叫做點(diǎn) A 的豎坐標(biāo)，寫(xiě)點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，三個(gè)坐標(biāo)間的順序不能變。的豎坐標(biāo)，寫(xiě)點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，三個(gè)坐標(biāo)間的順序不能變?？臻g任一點(diǎn)的坐標(biāo)的確定空間任一點(diǎn)的坐標(biāo)的確定：過(guò)過(guò) P 分別作三個(gè)與坐標(biāo)平面平行的平面分別作三個(gè)與坐標(biāo)平面平行的平面（或垂面或垂面） ，分別交坐標(biāo)軸分別交坐標(biāo)軸于于A、B、C 三點(diǎn)三點(diǎn)，x=OA，y=OB，z=OC，當(dāng)當(dāng)與與 的方向相同時(shí)的方向相同時(shí)，x0，當(dāng)當(dāng)與與的方向相反時(shí)，的方向相反時(shí)，x0，同理可確，同理可確 y、z（如圖（如圖） 。規(guī)定：一切空間向量的起點(diǎn)都是坐標(biāo)系原點(diǎn)，于是，空

14、間任意一個(gè)向量與它的終點(diǎn)坐標(biāo)一一對(duì)應(yīng)。規(guī)定：一切空間向量的起點(diǎn)都是坐標(biāo)系原點(diǎn)，于是，空間任意一個(gè)向量與它的終點(diǎn)坐標(biāo)一一對(duì)應(yīng)。一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)。一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)。設(shè)設(shè)，則：則：（3）空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算：）空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算：空間兩點(diǎn)間距離：空間兩點(diǎn)間距離：；空間線段空間線段的中點(diǎn)的中點(diǎn) M（x，y，z）的坐標(biāo)：）的坐標(biāo)：；球面方程：球面方程：二、復(fù)習(xí)點(diǎn)睛：二、復(fù)習(xí)點(diǎn)睛：4、過(guò)定點(diǎn)過(guò)定點(diǎn) O，作三條互相垂直的數(shù)軸作三條互相垂直的數(shù)軸，它們都以它們都以 O 為原點(diǎn)且

15、一般具有相同的長(zhǎng)度單位為原點(diǎn)且一般具有相同的長(zhǎng)度單位。這三條軸分這三條軸分別叫做別叫做 z 軸軸（橫軸橫軸） 、y 軸軸（縱軸縱軸） 、z 軸軸（豎軸豎軸） ；統(tǒng)稱(chēng)坐標(biāo)軸統(tǒng)稱(chēng)坐標(biāo)軸。通常把通常把 x 軸和軸和 y 軸配置在水平面上軸配置在水平面上，而而z 軸則是鉛垂線軸則是鉛垂線； 它們的正方向要符合右手規(guī)則它們的正方向要符合右手規(guī)則， 即以這樣的三條坐標(biāo)軸就組成了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系即以這樣的三條坐標(biāo)軸就組成了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)點(diǎn) O 叫做坐標(biāo)原點(diǎn)。叫做坐標(biāo)原點(diǎn)。5、空間直角坐標(biāo)系中的特殊點(diǎn)、空間直角坐標(biāo)系中的特殊點(diǎn):（1）點(diǎn)（原點(diǎn)）的坐標(biāo)：）點(diǎn)（原點(diǎn)）的坐標(biāo)：(0,0,0)；（2） 線線

16、 （坐標(biāo)軸坐標(biāo)軸） 上的點(diǎn)的坐標(biāo)上的點(diǎn)的坐標(biāo)： x 軸上的坐標(biāo)為軸上的坐標(biāo)為(x,0,0)， y 軸上的坐標(biāo)為軸上的坐標(biāo)為(0,y,0)， z 軸上的坐標(biāo)為軸上的坐標(biāo)為(0,0,z)；（3）面面（xOy 平面平面、yOz 平面平面、zOx 平面平面）內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)：平面上的坐標(biāo)為平面上的坐標(biāo)為(x,y,0)、平面上的坐標(biāo)平面上的坐標(biāo)為為(0,y,z)、平面上的坐標(biāo)為、平面上的坐標(biāo)為(x,0,z)6、要使向量要使向量與與 z 軸垂直軸垂直，只要只要 z=0 即可即可。事實(shí)上事實(shí)上，要使向量要使向量與哪一個(gè)坐標(biāo)軸垂直與哪一個(gè)坐標(biāo)軸垂直，只要向量只要向量的相的相應(yīng)坐標(biāo)為應(yīng)坐標(biāo)為 0 即可。

17、即可。7、空間直角坐標(biāo)系中空間直角坐標(biāo)系中，方程方程 x=0 表示表示 yOz 平面平面、方程方程 y=0 表示表示 zOx 平面平面、方程方程 z=0 表示表示 xOy 平面平面，方程方程 x=a 表示平行于平面表示平行于平面 yOz 的平面、方程的平面、方程 y=b 表示平行于平面表示平行于平面 zOx 的平面、方程的平面、方程 z=c 表示平行于平表示平行于平面面 xOy 平面；平面；8、只要將只要將和和代入代入，即可證明空間向量的運(yùn)算法則與平面向量一樣即可證明空間向量的運(yùn)算法則與平面向量一樣；9、由空間向量基本定理可知由空間向量基本定理可知，空間任一向量均可以由空間不共面的三個(gè)向量生成

18、空間任一向量均可以由空間不共面的三個(gè)向量生成任意不共面的三任意不共面的三個(gè)向量個(gè)向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底，此定理是空間向量分解的基礎(chǔ)。都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底，此定理是空間向量分解的基礎(chǔ)。立體幾何中的向量方法立體幾何中的向量方法1空間向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算空間向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算(1)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)設(shè) a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，則則ab(a1b1，a2b2，a3b3)；a(a1，a2，a3)；aba1b1a2b2a3b3.(2)共線與垂直的坐標(biāo)表示共線與垂直的坐標(biāo)表示設(shè)設(shè) a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，則則 ababa1b1，a2b

19、2，a3b3(R)，abab0a1b1a2b2a3b30(a，b 均為非零向量均為非零向量)(3)模、夾角和距離公式模、夾角和距離公式設(shè)設(shè) a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，則則|a| aa a21a22a23，cosa，bab|a|b|a1b1a2b2a3b3a21a22a23 b21b22b23.設(shè)設(shè) A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，則則 dAB|AB| a2a1 2 b2b1 2 c2c1 2.2立體幾何中的向量方法立體幾何中的向量方法(1)直線的方向向量與平面的法向量的確定直線的方向向量與平面的法向量的確定直線的方向向量直線的方向向量：l 是空間一直線是空

20、間一直線，A，B 是直線是直線 l 上任意兩點(diǎn)上任意兩點(diǎn)，則稱(chēng)則稱(chēng)AB為直線為直線 l 的方向向量的方向向量，與與AB平平行的任意非零向量也是直線行的任意非零向量也是直線 l 的方向向量的方向向量平面的法向量可利用方程組求出：設(shè)平面的法向量可利用方程組求出：設(shè) a，b 是平面是平面內(nèi)兩不共線向量，內(nèi)兩不共線向量，n 為平面為平面的法向量，則求法向的法向量，則求法向量的方程組為量的方程組為na0，nb0.(2)用向量證明空間中的平行關(guān)系用向量證明空間中的平行關(guān)系設(shè)直線設(shè)直線 l1和和 l2的方向向量分別為的方向向量分別為 v1和和 v2，則，則 l1l2(或或 l1與與 l2重合重合)v1v2.

21、設(shè)直線設(shè)直線 l 的方向向量為的方向向量為 v，與平面與平面共面的兩個(gè)不共線向量共面的兩個(gè)不共線向量 v1和和 v2，則則 l或或 l存在兩個(gè)實(shí)數(shù)存在兩個(gè)實(shí)數(shù) x，y，使，使 vxv1yv2.設(shè)直線設(shè)直線 l 的方向向量為的方向向量為 v，平面，平面的法向量為的法向量為 u，則，則 l或或 lvu.設(shè)平面設(shè)平面和和的法向量分別為的法向量分別為 u1，u2，則，則u1u2.(3)用向量證明空間中的垂直關(guān)系用向量證明空間中的垂直關(guān)系設(shè)直線設(shè)直線 l1和和 l2的方向向量分別為的方向向量分別為 v1和和 v2，則，則 l1l2v1v2v1v20.設(shè)直線設(shè)直線 l 的方向向量為的方向向量為 v，平面，

22、平面的法向量為的法向量為 u，則，則 lvu.設(shè)平面設(shè)平面和和的法向量分別為的法向量分別為 u1和和 u2，則，則u1u2u1u20.(4)點(diǎn)面距的求法點(diǎn)面距的求法如圖，設(shè)如圖，設(shè) AB 為平面為平面的一條斜線段，的一條斜線段，n 為平面為平面的法向量，則的法向量，則 B 到平面到平面的距離的距離 d|ABn|n|.一種思想一種思想向量是既有大小又有方向的量向量是既有大小又有方向的量，而用坐標(biāo)表示向量是對(duì)共線向量定理而用坐標(biāo)表示向量是對(duì)共線向量定理、共面向量定理和空間向量基本定共面向量定理和空間向量基本定理的進(jìn)一步深化和規(guī)范，是對(duì)向量大小和方向的量化：理的進(jìn)一步深化和規(guī)范，是對(duì)向量大小和方向的

23、量化：(1)以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量，其終點(diǎn)坐標(biāo)即向量坐標(biāo)；以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量，其終點(diǎn)坐標(biāo)即向量坐標(biāo)；(2)向量坐標(biāo)等于向量的終點(diǎn)坐標(biāo)減去其起點(diǎn)坐標(biāo)向量坐標(biāo)等于向量的終點(diǎn)坐標(biāo)減去其起點(diǎn)坐標(biāo)得到向量坐標(biāo)后，可通過(guò)向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決平行、垂直等位置關(guān)系，計(jì)算空間成角和距離等問(wèn)題得到向量坐標(biāo)后，可通過(guò)向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決平行、垂直等位置關(guān)系，計(jì)算空間成角和距離等問(wèn)題三種方法三種方法主要利用直線的方向向量和平面的法向量解決下列問(wèn)題：主要利用直線的方向向量和平面的法向量解決下列問(wèn)題：(1)平行平行直線與直線平行直線與直線平行直線與平面平行直線與平面平行平面與平面平行平面與平面平行(2)垂直垂直直線與直線垂直直線

24、與直線垂直直線與平面垂直直線與平面垂直平面與平面垂直平面與平面垂直(3)點(diǎn)到平面的距離點(diǎn)到平面的距離求點(diǎn)到平面距離是向量數(shù)量積運(yùn)算求點(diǎn)到平面距離是向量數(shù)量積運(yùn)算(求投影求投影)的具體應(yīng)用，也是求異面直線之間距離，直線與平面距離和的具體應(yīng)用，也是求異面直線之間距離，直線與平面距離和平面與平面距離的基礎(chǔ)平面與平面距離的基礎(chǔ)雙基自測(cè)雙基自測(cè)1 兩不重合直線兩不重合直線 l1和和 l2的方向向量分別為的方向向量分別為 v1(1,0， 1)， v2(2,0,2)， 則則 l1與與 l2的位置關(guān)系是的位置關(guān)系是()A平行平行B相交相交C垂直垂直D不確定不確定解析解析v22v1，v1v2.答案答案A2已知平

25、面已知平面內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)內(nèi)有一個(gè)點(diǎn) M(1，1,2)，平面，平面的一個(gè)法向量是的一個(gè)法向量是 n(6，3,6)，則下列點(diǎn)，則下列點(diǎn) P 中在平面中在平面內(nèi)的是內(nèi)的是()AP(2,3,3)BP(2,0,1)CP(4,4,0)DP(3，3,4)解析解析n(6，3,6)是平面是平面的法向量，的法向量，nMP，在選項(xiàng)，在選項(xiàng) A 中，中，MP(1,4,1)，nMP0.答案答案A3 (2011唐山月考唐山月考)已知點(diǎn)已知點(diǎn) A， B， C平面平面， 點(diǎn)點(diǎn) P ， 則則APAB0， 且且APAC0 是是APBC0 的的()A充分不必要條件充分不必要條件B必要不充分條件必要不充分條件C充要條件充要條件D既不充分

26、也不必要條件既不充分也不必要條件解析解析由由APAB0APAC0，得，得AP(ABAC)0，即即APCB0，亦即，亦即APBC0，反之，若，反之，若APBC0，則則AP(ACAB)0APABAPAC，未必等于，未必等于 0.答案答案A4 (人教人教 A 版教材習(xí)題改編版教材習(xí)題改編)已知已知 a(2， 3,1)， b(2,0,4)， c(4， 6,2)， 則下列結(jié)論正確的是則下列結(jié)論正確的是()Aac，bcBab，acCac，abD以上都不對(duì)以上都不對(duì)解析解析c(4，6,2)2(2，3,1)2a，ac，又又 ab22(3)0140，ab.答案答案C5(2012舟山調(diào)研舟山調(diào)研)已知已知AB(2

27、,2,1)，AC(4,5,3)，則平面，則平面 ABC 的單位法向量是的單位法向量是_解析解析設(shè)平面設(shè)平面 ABC 的法向量的法向量 n(x，y，z)則則ABn0，ACn0，即即2x2yz0，4x5y3z0.令令 z1，得，得x12，y1，n12，1，1，平面平面 ABC 的單位法向量為的單位法向量為n|n|13，23，23 .答案答案13，23，23考向一考向一利用空間向量證明平行問(wèn)題利用空間向量證明平行問(wèn)題【例【例 1】 如圖所示如圖所示，在正方體在正方體 ABCD-A1B1C1D1中中，M、N 分別是分別是 C1C、B1C1的中點(diǎn)的中點(diǎn)求證求證：MN平平面面A1BD.審題視點(diǎn)審題視點(diǎn) 直

28、接用線面平行定理不易證明，考慮用向量方法證明直接用線面平行定理不易證明，考慮用向量方法證明證明證明法一法一如圖所示如圖所示，以以 D 為原點(diǎn)為原點(diǎn)，DA、DC、DD1所在直線分別為所在直線分別為 x 軸軸、y 軸、軸、z 軸軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為 1，則則 M0，1，12 ，N12，1，1，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，于是于是MN12，0，12 ，設(shè)平面設(shè)平面 A1BD 的法向量是的法向量是 n(x，y，z)則則 nDA10，且，且 nDB0，得，得xz0，xy0.取取 x1，得，得 y1，z1.n(1，1，1)又

29、又MNn12，0，12 (1，1，1)0，MNn，又，又 MN 平面平面 A1BD，MN平面平面 A1BD.法二法二MNC1NC1M12C1B112C1C12(D1A1D1D)12DA1，MNDA1，又，又MN 與與 DA1不共線，不共線，MNDA1，又又MN 平面平面 A1BD，A1D平面平面 A1BD，MN平面平面 A1BD.【訓(xùn)練【訓(xùn)練 1】 如圖所示如圖所示，平面平面 PAD平面平面 ABCD，ABCD 為正方形為正方形，PAD是 直 角是 直 角三角形三角形，且且 PAAD2，E、F、G 分別是線段分別是線段 PA、PD、CD 的中點(diǎn)的中點(diǎn)求求證：證：PB平面平面 EFG.證明證明平

30、面平面 PAD平面平面 ABCD 且且 ABCD 為正方形，為正方形，AB、AP、AD 兩兩垂直兩兩垂直，以以 A 為坐標(biāo)原點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空建立如圖所示的空間 直 角間 直 角坐標(biāo)系坐標(biāo)系 A-xyz，則則 A(0,0,0)、B(2,0,0)、C(2,2,0)、D(0,2,0)、P(0,0,2)、E(0,0,1)、F(0,1,1)、G(1,2,0)PB(2,0，2)，F(xiàn)E(0，1,0)，F(xiàn)G(1,1，1)，設(shè)設(shè)PBsFEtFG，即即(2,0，2)s(0，1,0)t(1,1，1)，t2，ts0，t2，解得解得 st2.PB2FE2FG，又又FE與與FG不共線，不共線，PB、FE與與

31、FG共面共面PB 平面平面 EFG，PB平面平面 EFG.考向二考向二利用空間向量證明垂直問(wèn)題利用空間向量證明垂直問(wèn)題【例【例 2】 如圖所示，在棱長(zhǎng)為如圖所示，在棱長(zhǎng)為 1 的正方體的正方體 OABC-O1A1B1C1中，中，E，F(xiàn) 分別是棱分別是棱 AB，BC 上的動(dòng)點(diǎn)，上的動(dòng)點(diǎn)，且且AEBFx，其中，其中 0 x1，以，以 O 為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系 O-xyz.(1)求證求證 A1FC1E；(2)若若 A1，E，F(xiàn)，C1四點(diǎn)共面四點(diǎn)共面,求證：求證：A1F12A1C1A1E.審題視點(diǎn)審題視點(diǎn) 本題已建好空間直角坐標(biāo)系，故可用向量法求解，要注意找準(zhǔn)點(diǎn)的坐標(biāo)本題已

32、建好空間直角坐標(biāo)系，故可用向量法求解，要注意找準(zhǔn)點(diǎn)的坐標(biāo)證明證明(1)由已知條件由已知條件A1(1,0,1)，F(xiàn)(1x,1,0)，C1(0,1,1)，E(1，x,0)，A1F(x,1，1)，C1E(1，x1，1)，則則A1FC1Ex(x1)10，A1FC1E，即，即 A1FC1E.(2)A1F(x,1，1)，A1C1(1,1,0)，A1E(0，x，1)，設(shè)設(shè)A1FA1C1A1E，x，1x，1，解得解得12，1.A1F12A1C1A1E.證明直線與直線垂直，只需要證明兩條直線的方向向量垂直，而直線與平面垂直，平面與平證明直線與直線垂直，只需要證明兩條直線的方向向量垂直，而直線與平面垂直，平面與平

33、面垂直可轉(zhuǎn)化為直線與直線垂直證明面垂直可轉(zhuǎn)化為直線與直線垂直證明【訓(xùn)練【訓(xùn)練 2】 如圖所示如圖所示，在四棱錐在四棱錐 P-ABCD 中中，PA底面底面 ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E 是是 PC 的中點(diǎn)證明：的中點(diǎn)證明：(1)AECD；(2)PD平面平面 ABE.證明證明AB、AD、AP 兩兩垂直，兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)設(shè) PAABBC1， 則則 P(0,0,1)(1)ABC60，ABC 為正三角形為正三角形C12，32，0，E14，34，12 .設(shè)設(shè) D(0，y,0)，由，由 ACCD，得，得ACCD0，即即 y

34、2 33，則，則 D0，2 33，0，CD12，36，0.又又AE14，34，12 ，AECD121436340，AECD，即，即 AECD.(2)法一法一P(0,0,1)，PD0，2 33，1.又又AEPD342 3312(1)0，PDAE，即，即 PDAE.AB(1,0,0)，PDAB0，PDAB，又，又 ABAEA，PD平面平面 AEB.法二法二AB(1,0,0)，AE14，34，12 ，設(shè)平面設(shè)平面 ABE 的一個(gè)法向量為的一個(gè)法向量為 n(x，y，z)，則則x0，14x34y12z0，令令 y2，則，則 z 3，n(0,2， 3)PD0，2 33，1，顯然，顯然PD33n.PDn，P

35、D平面平面 ABE，即，即 PD平面平面 ABE.考向三考向三利用向量求空間距離利用向量求空間距離【例【例 3】 在三棱錐在三棱錐 SABC 中，中，ABC 是邊長(zhǎng)為是邊長(zhǎng)為 4 的正三角形，平面的正三角形，平面 SAC平面平面 ABC，SASC2 3，M、N 分別為分別為 AB、SB 的中點(diǎn)，如圖所示，求點(diǎn)的中點(diǎn)，如圖所示，求點(diǎn) B 到平面到平面 CMN 的距離的距離審題視點(diǎn)審題視點(diǎn) 考慮用向量法求距離，距離公式不要記錯(cuò)考慮用向量法求距離，距離公式不要記錯(cuò)解解取取 AC 的中點(diǎn)的中點(diǎn) O，連接，連接 OS、OB.SASC，ABBC，ACSO，ACBO.平面平面 SAC平面平面 ABC，平面，

36、平面 SAC平面平面 ABCAC，SO平面平面 ABC，SOBO.如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系 O-xyz，則則 B(0,2 3，0)，C(2,0,0)，S(0,0,2 2)，M(1，3，0)，N(0，3， 2)CM(3，3，0)，MN(1,0， 2)，MB(1，3，0)設(shè)設(shè) n(x，y，z)為平面為平面 CMN 的一個(gè)法向量，的一個(gè)法向量，則則CMn3x 3y0，MNnx 2z0，取取 z1，則則 x 2，y 6，n( 2， 6，1)點(diǎn)點(diǎn) B 到平面到平面 CMN 的距離的距離d|nMB|n|4 23.點(diǎn)到平面的距離點(diǎn)到平面的距離，利用向量法求解比較簡(jiǎn)單利用向量法

37、求解比較簡(jiǎn)單，它的理論基礎(chǔ)仍出于幾何法它的理論基礎(chǔ)仍出于幾何法，如本題如本題，事實(shí)上事實(shí)上，作作 BH平面平面 CMN 于于 H.由由BHBMMH及及BHnnBM，得得|BHn|nBM|BH|n|，所以所以|BH|nBM|n|，即，即 d|nBM|n|.【訓(xùn)練【訓(xùn)練 3】 (2010江西江西)如圖如圖，BCD 與與MCD 都是邊長(zhǎng)為都是邊長(zhǎng)為 2 的正三角形的正三角形，平平面面MCD平面平面 BCD，AB平面平面 BCD，AB2 3.(1)求點(diǎn)求點(diǎn) A 到平面到平面 MBC 的距離；的距離；(2)求平面求平面 ACM 與平面與平面 BCD 所成二面角的所成二面角的正弦正弦值值解解取取 CD 中

38、點(diǎn)中點(diǎn) O，連，連 OB，OM，則，則 OBCD，OMCD.又平面又平面 MCD平面平面 BCD，則，則 MO平面平面 BCD.取取 O 為原點(diǎn)，直線為原點(diǎn)，直線 OC、BO、OM 為為 x 軸、軸、y 軸、軸、z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖OBOM 3，則各點(diǎn)坐標(biāo)分別為，則各點(diǎn)坐標(biāo)分別為 C(1,0,0)，M(0,0， 3)，B(0， 3，0)，A(0， 3，2 3)(1)設(shè)設(shè) n(x，y，z)是平面是平面 MBC 的法向量，則的法向量，則BC(1，3，0)，BM(0，3， 3)，由由 nBC得得 x 3y0；由；由 nBM得得3y 3z0.取取 n( 3，1,1)

39、，BA(0,0,2 3)，則，則d|BAn|n|2 352 155.(2)CM(1,0， 3)，CA(1， 3，2 3)設(shè)平面設(shè)平面 ACM 的法向量為的法向量為 n1(x，y，z)，由由 n1CM，n1CA得得x 3z0，x 3y2 3z0，解得解得 x 3z，yz，取，取 n1( 3，1,1)又平面又平面 BCD 的法向量為的法向量為 n2(0,0,1)所以所以 cosn1，n2n1n2|n1|n2|15.設(shè)所求二面角為設(shè)所求二面角為，則，則 sin 2 55.規(guī)范解答規(guī)范解答 1515立體幾何中的探索性問(wèn)題立體幾何中的探索性問(wèn)題【問(wèn)題研究】【問(wèn)題研究】 高考中立體幾何部分在對(duì)有關(guān)的點(diǎn)、線

40、、面位置關(guān)系考查的同時(shí)，往往也會(huì)考查一些探高考中立體幾何部分在對(duì)有關(guān)的點(diǎn)、線、面位置關(guān)系考查的同時(shí)，往往也會(huì)考查一些探索性問(wèn)題索性問(wèn)題，主要是對(duì)一些點(diǎn)的位置主要是對(duì)一些點(diǎn)的位置、線段的長(zhǎng)度線段的長(zhǎng)度，空間角的范圍和體積的范圍的探究空間角的范圍和體積的范圍的探究，對(duì)條件和結(jié)論不對(duì)條件和結(jié)論不完備的開(kāi)放性問(wèn)題的探究完備的開(kāi)放性問(wèn)題的探究， 這類(lèi)題目往往難度都比較大這類(lèi)題目往往難度都比較大， 設(shè)問(wèn)的方式一般是設(shè)問(wèn)的方式一般是“是否存在？存在給出證明是否存在？存在給出證明，不存在說(shuō)明理由不存在說(shuō)明理由.”【解決方案】【解決方案】 解決存在與否類(lèi)的探索性問(wèn)題一般有兩個(gè)思路：一是直接去找存在的點(diǎn)、線、面或

41、是一解決存在與否類(lèi)的探索性問(wèn)題一般有兩個(gè)思路：一是直接去找存在的點(diǎn)、線、面或是一些其他的量些其他的量；二是首先假設(shè)其存在二是首先假設(shè)其存在，然后通過(guò)推理論證或是計(jì)算然后通過(guò)推理論證或是計(jì)算，如果得出了一個(gè)合理的結(jié)果如果得出了一個(gè)合理的結(jié)果，就說(shuō)明就說(shuō)明其存在；如果得出了一個(gè)矛盾的結(jié)果，就說(shuō)明其不存在其存在；如果得出了一個(gè)矛盾的結(jié)果，就說(shuō)明其不存在.【示例示例】 (本小題滿分本小題滿分 14 分分) (2011福建福建)如圖如圖，四棱錐四棱錐 PABCD 中中，PA底面底面 ABCD.四邊形四邊形 ABCD 中中，ABAD，ABAD4，CD 2，CDA45.(1)求證：平面求證：平面 PAB平面

42、平面 PAD；(2)設(shè)設(shè) ABAP.()若直線若直線 PB 與平面與平面 PCD 所成的角為所成的角為 30，求線段，求線段 AB 的長(zhǎng)；的長(zhǎng)；()在線段在線段 AD 上是否存在一個(gè)點(diǎn)上是否存在一個(gè)點(diǎn) G，使得點(diǎn)，使得點(diǎn) G 到點(diǎn)到點(diǎn) P、B、C、D 的距離都相等？的距離都相等？解答示范解答示范(1)因?yàn)橐驗(yàn)?PA平面平面 ABCD，AB平面平面 ABCD，所以所以 PAAB.又又 ABAD，PAADA，所以所以 AB平面平面 PAD.又又 AB平面平面 PAB，所以平面，所以平面 PAB平面平面 PAD.(4 分分)(2)以以 A 為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系

43、 Axyz(如圖如圖)在平面在平面 ABCD 內(nèi)，作內(nèi)，作 CEAB 交交 AD 于點(diǎn)于點(diǎn) E，則則 CEAD.在在 RtCDE 中，中，DECDcos 451，CECDsin 451.設(shè)設(shè) ABAPt，則，則 B(t,0,0)，P(0,0，t)由由 ABAD4 得，得，AD4t，所以所以 E(0,3t,0)，C(1,3t,0)，D(0,4t,0)，CD(1,1,0)，PD(0,4t，t)(6 分分)()設(shè)平面設(shè)平面 PCD 的法向量為的法向量為 n(x，y，z)，由由 nCD，nPD，得，得xy0， 4t ytz0.取取 xt，得平面，得平面 PCD 的一個(gè)法向量的一個(gè)法向量 n(t，t,4t)又又 PB(t,0，t)，故由直線故由直線 PB 與平面與平面 PCD 所成的角為所成的角為 30得得 cos 60|nPB|n|PB|，即，即|2t24t|t2t2 4t 2 2t212，解得解得 t45或或 t4(舍去舍去)，因?yàn)椋驗(yàn)?AD4t0，所以，所以 AB45.(9 分分)()法一法一假設(shè)在線段假設(shè)在線段 AD 上存在一個(gè)點(diǎn)上存在一個(gè)點(diǎn) G，使得點(diǎn)，使得點(diǎn) G 到到 P，B，C，D 的距離都相等，的距離都相等，設(shè)設(shè) G(0，m,0)(其中其中