高中數(shù)學專題講解之拋物線

1、高中數(shù)學專題講解之拋物線考點1 拋物線的定義：平面上與一個定點F和一條直線（F不在上）的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，點F叫做拋物線的焦點，定直線叫做拋物線的準線。拋物線的定義中條件“F不在上”不可遺漏，否則，如果F在上，則軌跡為過F且與垂直的直線。題型： 利用定義,實現(xiàn)拋物線上的點到焦點的距離與到準線的距離之間的轉(zhuǎn)換例1、（1）已知點P在拋物線y2 = 4x上，那么點P到點Q（2，1）的距離與點P到拋物線焦點距離之和的最小值為 （2）拋物線y=4上的一點M到焦點的距離為1，則點M的縱坐標是( ) A. B. C. D. 0例2、求平面內(nèi)到原點與直線距離相等的點的軌跡方程，并指出軌跡所表示的曲

2、線。例3、求到點A的距離比到直線的距離小1的點的軌跡方程。鞏固練習：1.已知拋物線的焦點為，點，在拋物線上，且、成等差數(shù)列， 則有 （）A B C D. 2. 已知點F是拋物線的焦點,M是拋物線上的動點,當最小時, M點坐標是 ( )A. B. C. D. 3.已知方程的拋物線上有一點M，點M到焦點F的距離為5，求m的值。4、在正方體的側(cè)面內(nèi)有一動點到直線與直線的距離相等,則動點 所在的曲線的形狀為( ) A1B1BAP(A)A1B1BAP(B)A1B1BAP(C)A1B1BAP(D)考點2 拋物線的標準方程題型：求拋物線的標準方程例4、求滿足下列條件的拋物線的標準方程，并求對應拋物線的準線方

3、程：(1)過點(-3,2) (2)焦點在直線上鞏固練習：1、若拋物線的焦點與雙曲線的右焦點重合,則的值 2、 對于頂點在原點的拋物線，給出下列條件：焦點在y軸上；焦點在x軸上；拋物線上橫坐標為1的點到焦點的距離等于6；拋物線的通徑的長為5；由原點向過焦點的某條直線作垂線，垂足坐標為（2，1）.能使這拋物線方程為y2=10x的條件是_.（要求填寫合適條件的序號）3、 若拋物線的頂點在原點，開口向上，F(xiàn)為焦點，M為準線與Y軸的交點，A為拋物線上一點,且，求此拋物線的方程考點3 拋物線的幾何性質(zhì)拋物線的幾何性質(zhì) ()：標準方程圖形焦點準線范圍對稱軸軸軸頂點 （0，0）題型：拋物線中的最值問題：例5、

4、求拋物線上的點P到直線的距離的最小值，并求出P點的坐標。例6、給定拋物線，設A，P是拋物線上的一點，且，求的最小值。例7、長度等于3的線段的兩個端點在拋物線上運動，求AB的中點M到y(tǒng)軸的距離的最小值。題型：拋物線與直線的位置關系問題：例8、設A、B是拋物線上的點，且滿足（O為坐標原點），求證：直線AB過定點，并求出此定點。例9、已知正方形ABCD的兩個頂點A、B在拋物線上，另兩個頂點C、D在直線上，如圖，求此正方形的邊長。例10、已知拋物線C的頂點在原點，焦點F在x軸的正半軸上，設A、B是拋物線C上的兩個動點（AB不垂直于x軸）但，線段AB的垂直平分線經(jīng)過定點Q，求拋物線的方程。例11、設點O

5、為拋物線的頂點，F(xiàn)為拋物線的焦點且PQ為過焦點的弦，若，求的面積。例12、 如圖所示，拋物線y2=4x的頂點為O，點A的坐標為(5，0)，傾斜角為的直線l與線段OA相交(不經(jīng)過點O或點A)且交拋物線于M、N兩點，求AMN面積最大時直線l的方程，并求AMN的最大面積.例13、已知拋物線y2=2px(p0),過動點M(a,0)且斜率為1的直線l與該拋物線交于不同的兩點A、B，且|AB|2p.(1)求a的取值范圍.(2)若線段AB的垂直平分線交x軸于點N，求NAB面積的最大值.解：(1)設直線l的方程為：y=xa,代入拋物線方程得(xa)2=2px,即x22(a+p)x+a2=0|AB|=2p.4a

6、p+2p2p2,即4app2又p0,a.(2)設A(x1,y1)、B(x2,y2)，AB的中點 C(x,y),由(1)知，y1=x1a,y2=x2a,x1+x2=2a+2p,則有x=p.線段AB的垂直平分線的方程為yp=(xap),從而N點坐標為(a+2p,0）點N到AB的距離為從而SNAB=當a有最大值時，S有最大值為p2.基礎鞏固訓練1.過拋物線的焦點作一條直線與拋物線相交于A、B兩點，它們的橫坐標之和等于，則這樣的直線（ ）A.有且僅有一條 B.有且僅有兩條 C.1條或2條 D.不存在2.在平面直角坐標系中，若拋物線上的點到該拋物線焦點的距離為5，則點P的縱坐標為（）A. 3 B. 4

7、C. 5 D. 63.兩個正數(shù)a、b的等差中項是，一個等比中項是，且則拋物線的焦點坐標為( ) A B C D4. 如果，是拋物線上的點，它們的橫坐標依次為，F(xiàn)是拋物線的焦點，若成等差數(shù)列且，則=（ ）A5 B6 C 7 D9 5、拋物線準線為l，l與x軸相交于點E，過F且傾斜角等于60°的直線與拋物線在x軸上方的部分相交于點A，ABl，垂足為B，則四邊形ABEF的面積等于（ ）A B C D6、設是坐標原點，是拋物線的焦點，是拋物線上的一點，與軸正向的夾角為，則為 題型、焦點弦問題例14、已知拋物線，過焦點F的弦AB的直線傾斜角為，求AB的弦長。例15、若AB是拋物線的焦點弦（過焦

8、點的弦），且，則：，。例16、已知直線AB是過拋物線焦點F，求證：為定值。例17、已知AB是拋物線的過焦點F的弦，求證：（1）以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切。BAMNQPyxOF(2)分別過A、B做準線的垂線，垂足為M、N，求證：以MN為直徑的圓與直線AB相切。與準線l相切例18、若拋物線方程為，過（，0）的直線與之交于A、B兩點，則OAOB。鞏固練習：1、若直線經(jīng)過拋物線的焦點，則實數(shù) 2、過拋物線焦點F的直線與拋物線交于兩點A、B,若A、B在拋物線準線上的射影為,則 ( ) A. B. C. D. 題型、中點弦問題：例19、過點A，作直線交拋物線于B、C兩點，求BC中點P的軌跡方程。例

9、20、若拋物線上存在兩點PQ關于直線對稱，求m的取值范圍。鞏固練習：1、在拋物線上求一點，使該點到直線的距離為最短，求該點的坐標2、已知拋物線（為非零常數(shù)）的焦點為，點為拋物線上一個動點，過點且與拋物線相切的直線記為（1）求的坐標；（2）當點在何處時，點到直線的距離最小？3、設拋物線（）的焦點為 F，經(jīng)過點 F的直線交拋物線于A、B兩點點 C在拋物線的準線上，且BCX軸證明直線AC經(jīng)過原點O4、橢圓上有一點M（-4，）在拋物線（p>0）的準線l上，拋物線的焦點也是橢圓焦點.（1）求橢圓方程；（2）若點N在拋物線上，過N作準線l的垂線，垂足為Q距離，求|MN|+|NQ|的最小值.5、已知拋

10、物線C的一個焦點為F（，0），對應于這個焦點的準線方程為x=-.（1）寫出拋物線C的方程；（2）過F點的直線與曲線C交于A、B兩點，O點為坐標原點，求AOB重心G的軌跡方程；（3）點P是拋物線C上的動點，過點P作圓（x-3）2+y2=2的切線，切點分別是M，N.當P點在何處時，|MN|的值最小？求出|MN|的最小值.課后作業(yè)：一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）1如果拋物線y 2=ax的準線是直線x=-1，那么它的焦點坐標為（ ）A（1, 0）B（2, 0）C（3, 0）D（1, 0）2圓心在拋物線y 2=2x上，且與x軸和該拋物線的準線都相切的一個圓的方程是（ ）Ax2+ y

11、 2-x-2 y -=0Bx2+ y 2+x-2 y +1=0 Cx2+ y 2-x-2 y +1=0Dx2+ y 2-x-2 y +=03拋物線上一點到直線的距離最短的點的坐標是（ ）A（1，1）B（）CD（2，4）4一拋物線形拱橋，當水面離橋頂2m時，水面寬4m，若水面下降1m，則水面寬為（ ）AmB 2mC4.5mD9m5平面內(nèi)過點A（-2，0），且與直線x=2相切的動圓圓心的軌跡方程是（ ）A y 2=2xB y 2=4xCy 2=8x Dy 2=16x6拋物線的頂點在原點，對稱軸是x軸，拋物線上點（-5，m）到焦點距離是6，則拋物線的方程是（ ）A y 2=-2xB y 2=-4xC

12、 y 2=2xD y 2=-4x或y 2=-36x7過拋物線y 2=4x的焦點作直線，交拋物線于A(x1, y 1) ，B(x2, y 2)兩點，如果x1+ x2=6，那么|AB|=（ ）A8B10C6 D48把與拋物線y 2=4x關于原點對稱的曲線按向量a平移，所得的曲線的方程是（ ）ABCD 9過點M（2，4）作與拋物線y 2=8x只有一個公共點的直線l有（ ）A0條B1條C2條D3條10過拋物線y =ax2(a>0)的焦點F作一直線交拋物線于P、Q兩點，若線段PF與FQ的長分別是p、q，則等于（ ）A2aB C4a D 二、填空題（本大題共4小題，每小題6分，共24分）11拋物線y

13、 2=4x的弦AB垂直于x軸，若AB的長為4，則焦點到AB的距離為 12拋物線y =2x2的一組斜率為k 的平行弦的中點的軌跡方程是 13P是拋物線y 2=4x上一動點，以P為圓心，作與拋物線準線相切的圓，則這個圓一定經(jīng)過一個定點Q，點Q的坐標是 14拋物線的焦點為橢圓的左焦點，頂點在橢圓中心，則拋物線方程為 三、解答題（本大題共6小題，共76分）15已知動圓M與直線y =2相切，且與定圓C：外切，求動圓圓心M的軌跡方程(12分)16已知拋物線的頂點在原點，對稱軸是x軸，拋物線上的點M（3，m）到焦點的距離等于5，求拋物線的方程和m的值（12分）17動直線y =a，與拋物線相交于A點，動點B的

14、坐標是，求線段AB中點M的軌跡的方程(12分)18河上有拋物線型拱橋，當水面距拱橋頂5米時，水面寬為8米，一小船寬4米，高2米，載貨后船露出水面上的部分高0.75米，問水面上漲到與拋物線拱頂相距多少米時，小船開始不能通航？(12分)19如圖，直線l1和l2相交于點M，l1l2，點Nl1以A、B為端點的曲線段C上的任一點到l2的距離與到點N的距離相等若AMN為銳角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6建立適當?shù)淖鴺讼?，求曲線段C的方程(14分)20已知拋物線過動點M（，0）且斜率為1的直線與該拋物線交于不同的兩點A、B，（）求的取值范圍；（）若線段AB的垂直平分線交軸于點N，求面積的最

15、大值(14分)參考答案一選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）題號12345678910答案ADABCBACCC二填空題（本大題共4小題，每小題6分，共24分）112 12 13（1，0） 14 三、解答題（本大題共6題，共76分）15（12分）解析：設動圓圓心為M（x，y），半徑為r，則由題意可得M到C（0，-3）的距離與到直線y=3的距離相等，由拋物線的定義可知：動圓圓心的軌跡是以C（0，-3）為焦點，以y=3為準線的一條拋物線，其方程為16 (12分)解析：設拋物線方程為，則焦點F（），由題意可得 ，解之得或， 故所求的拋物線方程為，17（12分）解析：設M的坐標為（x，y），

16、A（，），又B得 消去，得軌跡方程為，即18（12分）解析：如圖建立直角坐標系，設橋拱拋物線方程為，由題意可知，B（4，-5）在拋物線上，所以，得， 當船面兩側(cè)和拋物線接觸時，船不能通航，設此時船面寬為AA，則A（），由得，又知船面露出水面上部分高為075米，所以=2米19(14分) 解析：如圖建立坐標系，以l1為x軸，MN的垂直平分線為y軸，點O為坐標原點由題意可知：曲線C是以點N為焦點，以l2為準線的拋物線的一段，其中A、B分別為C的端點設曲線段C的方程為， 其中分別為A、B的橫坐標， 所以， 由，得 聯(lián)立解得將其代入式并由p>0解得，或因為AMN為銳角三角形，所以，故舍去 p=4，

17、由點B在曲線段C上，得綜上得曲線段C的方程為20(14分) 解析：（）直線的方程為，將，得 設直線與拋物線兩個不同交點的坐標為、，則 又， ， 解得 （）設AB的垂直平分線交AB于點Q，令坐標為，則由中點坐標公式，得， 又 為等腰直角三角形， ， 即面積最大值為1、拋物線的準線方程是 。2、已知是拋物線上的動點，是拋物線的焦點，則線段的中點軌跡方程是 。3拋物線關于直線對稱的拋物線方程是 。4、頂點在原點，以軸為對稱軸且經(jīng)過點的拋物線的標準方程為_ 5、25、如圖是一種加熱水和食物的太陽灶，上面裝有可旋轉(zhuǎn)的拋物面形的反光鏡，鏡的軸截面是拋物線的一部分，盛水和食物的容器放在拋物線的焦點處，容器由

18、若干根等長的鐵筋焊接在一起的架子支撐。已知鏡口圓的直徑為12米,鏡深2米，若把盛水和食物的容器近似地看作點，則每根鐵筋的長度為_米. 6.5米 6、設F為拋物線y2=4x的焦點，A、B、C為該拋物線上三點，若則|FA|+|FB|+|FC|=（ B）(A)9(B)6(C) 4 (D) 37、已知點及拋物線，若拋物線上點滿足，則的最大值為（ ）（A） （B） （C） （D）8已知：點P與點F（2，0）的距離比它到直線40的距離小2，若記點P的軌跡為曲線C。（1）求曲線C的方程。（2）若直線L與曲線C相交于A、B兩點，且OAOB。求證：直線L過定點，并求出該定點的坐標。解：（1）解法（A）：點P與點F（2，0）的距離比它到直線40的距離小2，所以點P與點F（2，0）的距離與它到直線20的距離相等。 -由拋物線定義得：點在以為焦點直線20為準線的拋物線上， 拋物線方程為。 -) 解法（B）：設動點，則。當時，化簡得：，顯然，而，此時曲線不存在。當時，化簡得：。（2）， -(1分)，即， -分)直線為，所以 -(分) -(分)由（a）（b）得：直線恒過定點。9、已知拋物線,橢圓經(jīng)過點，它們在軸上有共同焦點，橢圓的對稱軸是坐標軸。（1）求橢