13簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞

1、§1.3簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞.全稱量詞與存在量詞基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)要點(diǎn)梳理1命題中的“且” > “生”叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞2. 全稱量詞與存在量詞(1) 常見的全稱量詞有：“任意一個(gè)” > “一切” >“每一個(gè)”、“任給” > “所有的”等(2) 常見的存在量詞有：“存在一個(gè)” > “至少有一“有一個(gè)”.“某個(gè)”.“有的”等.(3) 全稱量詞用符號(hào)“亠”表示；存在量詞用符號(hào)表示.(4) 全稱命題與存在性命題 含有全稱量詞的命題叫全稱命題. 含有存在量詞的命題叫存在性命題.3. 命題的否定(1) 全稱命題的否定是存在性命題;存在性命題的否 定是全稱命題.p或g的否定為

2、：非p且非g;p且g的否定為：非p或非g.基礎(chǔ)自測(cè)1.下列命題： 有的實(shí)數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)； 有些三角形不是等腰三角形； 有的菱形是正方形； 2兀+1 &WR)是整數(shù)； 對(duì)所有的穴WR, Q3; 對(duì)任意一個(gè)兀丘乙加2+1為奇數(shù).其中假命題的個(gè)數(shù)為A. 1 B. 2 C. 3 D. 5解析為真命題，為假命題，故選B.2.已知pKq為真，則下列命題中的假命（C ）P；P或Q；p且？；SA. B. C. D.解析廣p且§為真, P為真且彳也為真, 即P為假，g為真.3命題“對(duì)任意實(shí)數(shù)x£R,N；+;c2+5W0”的否定是（C ）A. 不存在兀丘 R, x4-x3+x2+5

3、 W 0B. 存在xER, x4加+兀2+500C. 存在xER, x4-x3+x2+5>0D. 對(duì)任意兀丘R, x4-兀3+兀2+5>o解析 命題的否定是“ m兀ER, x4-x3+x2+5>ow .4如果命題心3或”為假命題，則(C)A. p, q均為真命題B. p, g均為假命題C. p, g中至少有一個(gè)為真命題D. p, q中至多有一個(gè)為真命題 解析由題意知p或g為真命題，:P、Q中至少有一個(gè)為真命題，故選C.5. (2009 浙江)若函數(shù)/(x) = x2+-(aGR),X則下列結(jié)論正確的是(C )A. /aWR,/(x)在(0, +8)上是增函數(shù)B. VaeR,/

4、(x)在(0, +8)上是減函數(shù)C. 3是偶函數(shù)D. 3 aGR,/(x)是奇函數(shù)解析 廣(x) = 2x-篤，故只有當(dāng)aWO時(shí)，/&)在 (0, +8)上是增函數(shù)，因此A、B不對(duì)，當(dāng)“0時(shí)， f(x)=x2是偶函數(shù)，因此C對(duì)，D不對(duì).題型分類深度剖析更型一 用“或”、“且”、“非”聯(lián)結(jié)簡(jiǎn)單命題并判斷其真假【例1】寫出由下列各組命題構(gòu)成的 沖于、“pW、“P”形式的復(fù)合命題，并判斷真假.(1) P：1是質(zhì)數(shù)；qz 1是方程/+2X-3二0的根.(2) p:平行四邊形的對(duì)角線相等；g：平行四邊形的 對(duì)角線互相垂直.(3) p： 0丘0； q： x|x2_3_5<0 cR.(4) p

5、： 5W5； q： 27不是質(zhì)數(shù).思維啟迪(1)利用“或”、“且”、“非”把兩個(gè) 命題聯(lián)結(jié)成新命題;根據(jù)命題P和命題q的真假判斷復(fù)合命題的真假. 解 (1) P為假命題，q為真命題.pV:l是質(zhì)數(shù)或是方程/+2l3二0的根.真命,pAq:l既是質(zhì)數(shù)又是方程兀2+2x3二0的根.假命題.卩：1不是質(zhì)數(shù).真命題.(2) p為假命題，彳為假命題.pVg：平行四邊形的對(duì)角線相等或互相垂直假命題. 平行四邊形的對(duì)角線相等且互相垂直假命題. 卩：有些平行四邊形的對(duì)角線不相等真命題.（3）VO ",又 Vx2_3x-5<0,知護(hù)3l5<0 =22f .3-7293 + V29.x<

6、;x<）a2u R成立.g為真命題.:q： 00或力|才2_3廠5<0 gR,真命題, p/q- OW 0且x|x2-3x-5<0匚R,假命題， 5 0毎0,真命題.(4)顯然b 5W5為真命題, 牛27不是質(zhì)數(shù)為真命題， :.p/qz 5W5或27不是質(zhì)數(shù)，真命題,p/q- 5W5且27不是質(zhì)數(shù)，真命題,p : 5>5,假命題.探究提高“pVg”、“pg”、-p”形式命題 真假的判斷步驟：(1) 確定命題的構(gòu)成形式;(2) 判斷其中命題卩、Q的真假；(3) 確定計(jì)q”、"pg”、形式命題的 真假.題型二含有一個(gè)量詞的命題 及其真假的判斷【例2】（2009 遼

7、寧）下列4個(gè)命題:Pi ：(O,-h» ),(丄)' < (丄)'23P2： (O,l),log1 x> log, X；23” 1卩3 Vx G (0,+co),(-)' > log, X；P4： VX(0,|),d)X <log. X.323其中的真命題是()APi，p3B. Pi，p4C P29 P3D p2f P4思維啟迪明確變量兀的范圍，判斷不等式是否成立, 從而得到命題的真假.解析 當(dāng)兀丘（0, +8）恒有（lyv > （丄）X故P為假;23當(dāng)只=丄H't, log, > log,丄，故P2為真；223 2

8、當(dāng)兀=丄時(shí)，（丄）3 < log,故P3為假；2 2 2 2g（o,4（y V g嚴(yán) 1,.G）y。嚇故P4為真.答案D探究提高 （1）要判斷一個(gè)全稱命題是真命題，必 須對(duì)限定的集合M中的每一個(gè)元素X,驗(yàn)證p（x）成立.（2）要判斷一個(gè)全稱命題是假命題，只要能舉出集 合M中的一個(gè)尸兀。，使p （x0）不成立即可.（3）要判斷一個(gè)存在性命題是真命題，只要在限定的 集合M中，至少能找到一個(gè)宀°，使P （兀o）成立即 可，否則這一存在性命題就是假命題.知能遷移2（2009 海南，寧夏）有四個(gè)關(guān)于三角函數(shù)的命題：i:3xeR,sin2- + cos2- =丄.2 2 2p2 3sin(

9、x-7)=sin xsin y.n 、 /l-cos2x .P3 Vx e |O,兀=sinx.卄兀P4 sin x = cos y>x + y = .其中的假命題是()AP1，P4B.p2,p4CP1，P3D. P2, P3解析對(duì)任意淀R,均有Si吩+ 8瀉=1而不是£故Pi為假命題.當(dāng)禺有一個(gè)為2k itgz)時(shí),sin x-sin y=sin(x-y)成立，故灼是真命題.V cos 2x=l2sin2x,l-cos2x 1 -1 +2sin2 x .。:.=sin* x.2 2又xU0,兀時(shí)，sin xO, /對(duì)任意兀£ 0,兀, 均有f -cos2jc _si

10、n；t 因此卩3是真命題.7C7T當(dāng)sin x=cos y,即 sin x = sin(= 2k y.2 2即x + y = 2k兀+彳伙w Z）,故卩4為假命題. 答案A "型三 含有一個(gè)量詞的命題的否定【例3】寫出下列命題的否定，并判斷命題的否定的真假，指出命題的否定屬全稱命題還是存在性命題.（1）所有的有理數(shù)是實(shí)數(shù)；（2）有的三角形是直角三角形；（3）每個(gè)二次函數(shù)的圖象都與y軸相交；（4）VxeR,x2-2x>0.思維啟迪|否定量詞 LI否定判斷詞 L冷出命題的否宜»斷命題真假解(1)：存在一個(gè)有理數(shù)不是實(shí)數(shù)，為假命題，屬存在性命題.(2) "：所有的

11、三角形都不是直角三角形，為假命題， 屬全稱命題.(3) 存在一個(gè)二次函數(shù)的圖象與y軸不相交，為假 命題，屬存在性命題.p： Hr()e R,城- 2x()S 0,為真命題，屬存在性命 題.探究提高在對(duì)含有一個(gè)量詞的命題的否定中，全稱命題的否定是存在性命題，而存在性命題的否定是 全稱命題.知能遷移3寫出下列命題的否定，并判斷其真假.(1) P： VxeR,x2-% + ->();4(2) qz所有的正方形都是矩形：(3) r： mxER, x2+2x+20；(4) 頭至少有一個(gè)實(shí)數(shù);c,使川+1二0 解(D>：3eR,x2-x + l<0,這是假命題，i4因?yàn)?Va: e R,

12、 x2 - a: + = (x )2 > 0 恒成立42(2 ):至少存在一個(gè)正方形不是矩形,是假命題.(3) : vwR,嚴(yán)+2兀+2>0,是真命題，這是由于 vxeR,x2+2x+2= (x+1)2+1M 1>0成立.(4) = : vxERF+lHO,是假命題，這是由于才=-1 時(shí)，分+1二0題型四 與邏輯聯(lián)結(jié)詞、量詞有關(guān)的參數(shù)問題【例4】(12分)已知命題p： “ vxe 1, 2 , x2-aMO",命題q： "e R,x： + 2-a = O” '若命題，且g”是真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.思維啟迪(1)由全稱命題P和存在性命題q分別確

13、定。的取值范圍.(2)由“p且g”是真命題來確定。的不等式，從而求 出a的取值范圍.解題示范解 由，且g”是真命題，知卩為真命題,g也為真命題.若P為真命題，即aWW恒成立， Vxe 1, 2,aWl.若g為真命題，即x2ax+2-a=0有實(shí)根，6分A =4a2-4(2a) MO,即aMl或aW-2, 綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為aW-2或-1.10分12分探究提高含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題要先確定構(gòu)成命題 的(一個(gè)或兩個(gè))命題的真假,求出此時(shí)參數(shù)成立的 條件，再求出含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題成立的條件.知能遷移4 已知命題p:對(duì)加£ -1,11,不等式以-5° -3M J府+8恒成立；命題

14、g：不等式x2+ox+20有解.若P是真命題，q是假命題，求a的取值范圍.解 V/ne -1, 1,.V + 8e 272,3-；對(duì)加丘T, 1,不等式a25a3J加2恒成立, 可得N 3,.。三6或aW-l故命題P為真命題時(shí)，或aW-l又命題g:不等式必+亦+2<0有解， =a2-8>0.:.a > 2血或° < -2運(yùn).從而命題g為假命題時(shí)，-22 <a <22,命題P為真命題，q為假命題時(shí)，a的取值范圍為一 2逅SaS_思想方法感悟提高方法與技巧1. 同一個(gè)全稱命題或存在性命題，不同的表述形式, 列表如下：命題全稱命題“ p (x) ”存在性

15、命題“日兀£4, p (x) ”表述 方法 對(duì)所有的才GA,p(x) 成立 對(duì)一切尤丘A, p (x) 成立 存松WA,使p(x) 成立 至少有一個(gè)xWA,使 p(x)成立表述 方法 對(duì)每一個(gè)xEA,p(x) 成立 任選_個(gè) e A,使p (£ 成立 凡xWA,都有卩(兀) 成立 對(duì)有些炸A,使卩&) 成立 對(duì)某個(gè)兀使pd)成立 有一個(gè)兀W A,使p (%) 成立2. 一些常用正面敘述的詞語及它的否定詞語列表如下：正面 詞語等 T (二)大于(»小于()是都是不等于(H)不大于(W)不小于(M)不是不都是正面 詞語至多有 一個(gè)至少有 一個(gè)任意的所有的一定

16、至少有 兩個(gè)一個(gè)也 沒有某個(gè)某些一定不 失誤與防范LpPq為真命題，只需p、Q有一個(gè)為真即可，p/q 為真命題，必須p、q同時(shí)為真.2p或？的否定為：非p且非g； p且g的否定為：非p或 非?3. 全稱命題的否定是存在性命題;存在性命題的否定 是全稱命題.定時(shí)檢測(cè)一、選擇題1 .下列有關(guān)命題的說法正確的是（）A. 命題“若必二1,則牙二1”的否命題為：“若兀2二1,則 WB. ax=-r是條2一5廠6二0”的必要不充分條件C. 命題“ 3xeR,使得兀2+x+i<o”的否定是：“目灼R,均有兀2+x+l<0”D. 命題"若兀二y,貝ijsinx=sin y9f的逆否命題為

17、真命解析 A中，否命題應(yīng)為若兀2工1,貝中，x=l=>好-5廠6二0,應(yīng)為充分條件；C中，命題的否定應(yīng)為vxeR,均有好+兀+imo.答案D2.下列命題:VxeR,x2x; 3xeR,4M3;“必工1”的充要條件是“兀H1,或兀工-1” ,其中正確命題的個(gè)數(shù)是（C）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3解析正確，故選C.3. （2008 廣東）已知命題"所有有理數(shù)都是實(shí)數(shù);題的是（D）A.qB.命題中正數(shù)的對(duì)數(shù)都是負(fù)數(shù)，則下列命中為真命C. C/?）aC）D. C/2）vC）解析 不難判斷命題p為真命題，命題g為假命題, 從而上述敘述中只有r）v為真命題.4. 已知命題p：a2

18、M0（aGR）,命題g：函數(shù)代x）二穴2-%在區(qū)間0, +8）上單調(diào)遞增，則下列命題為真命題的是A. pZ qD(J) /q解析P真，g假，:卩7q為真，故選A.5命題“存在x£Z使護(hù)+么+加三?！钡姆穸ㄊ牵― ） A.存在xWZ使兀2+2兀+加0B. 不存在才EZ使兀2+2x+zn0C. 對(duì)任意穴WZ使以+2兀+加0D. 對(duì)任意兀WZ使兀2+2尢+加0解析由定義知選D.6. 己知命題p: vxR, 2x2+2x+ y <0;命題0： 3xR, sin lcos 則下列判斷正確的是 （D）A. p是真命題B. q是假命題C.是假命題D.q是假命題解析 2x2+2x+ |<0 O（2x+1） 2<0, p為假； sin xcos x=V2 sin（v） < V2,故g為真.4P為假，故選D.二、填空題7. 若命VxeR,x2-l>0,則命題p的否定是8. 己知命題p: mxWR, t-j+iwo,則命題 B是PX W Rr L 4 1 ' O'9命題“ mxER,“W12>4”的否定是fx u Rj乂 > 1 丨 I*' < 4解析已知命題為存在性命題，故其否定應(yīng)是全稱 命題.三、解答題10.已知pCc）： x2+2x-m>0, J§Lp是假命題，p是 真命題