高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題技巧方法總結(jié)(高考)-學(xué)生版

1、高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)一、. 函數(shù)的三要素是什么？如何比較兩個(gè)函數(shù)是否相同？ （定義域、對(duì)應(yīng)法則、值域）相同函數(shù)的判斷方法：表達(dá)式相同；定義域一致 (兩點(diǎn)必須同時(shí)具備)二、. 求函數(shù)的定義域有哪些常見(jiàn)類(lèi)型？ 函數(shù)定義域求法：l 分式中的分母不為零；l 偶次方根下的數(shù)（或式）大于或等于零；l 指數(shù)式的底數(shù)大于零且不等于一；對(duì)數(shù)式的底數(shù)大于零且不等于一，真數(shù)大于零。l 正切函數(shù) 當(dāng)以上幾個(gè)方面有兩個(gè)或兩個(gè)以上同時(shí)出現(xiàn)時(shí)，先分別求出滿足每一個(gè)條件的自變量的范圍，再取他們的交集，就得到函數(shù)的定義域。三、. 如何求復(fù)合函數(shù)的定義域？ 義域是_。 復(fù)合函數(shù)定義域的求法：已知的定義域?yàn)?，求的定義域，可由解出

2、x的范圍，即為的定義域。例 若函數(shù)的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)?。四、函數(shù)值域的求法1、直接觀察法對(duì)于一些比較簡(jiǎn)單的函數(shù)，其值域可通過(guò)觀察得到。例 求函數(shù)y=的值域2、配方法配方法是求二次函數(shù)值域最基本的方法之一。例、求函數(shù)y=-2x+5，x-1，2的值域。3、判別式法對(duì)二次函數(shù)或者分式函數(shù)（分子或分母中有一個(gè)是二次）都可通用，但這類(lèi)題型有時(shí)也可以用其他方法進(jìn)行化簡(jiǎn)，不必拘泥在判別式上面4、反函數(shù)法直接求函數(shù)的值域困難時(shí)，可以通過(guò)求其原函數(shù)的定義域來(lái)確定原函數(shù)的值域。例 求函數(shù)y=值域。5、函數(shù)有界性法直接求函數(shù)的值域困難時(shí)，可以利用已學(xué)過(guò)函數(shù)的有界性，來(lái)確定函數(shù)的值域。我們所說(shuō)的單調(diào)性，最常用的

3、就是三角函數(shù)的單調(diào)性。例 求函數(shù)y=，的值域。6、函數(shù)單調(diào)性法 通常和導(dǎo)數(shù)結(jié)合，是最近高考考的較多的一個(gè)內(nèi)容例求函數(shù)y=（2x10）的值域7、換元法通過(guò)簡(jiǎn)單的換元把一個(gè)函數(shù)變?yōu)楹?jiǎn)單函數(shù)，其題型特征是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型。換元法是數(shù)學(xué)方法中幾種最主要方法之一，在求函數(shù)的值域中同樣發(fā)揮作用。例 求函數(shù)y=x+的值域。8 數(shù)形結(jié)合法其題型是函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點(diǎn)的距離公式直線斜率等等，這類(lèi)題目若運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法，往往會(huì)更加簡(jiǎn)單，一目了然，賞心悅目。例：已知點(diǎn)P（x.y）在圓x2+y2=1上，例求函數(shù)y=+的值域。例求函數(shù)y=+ 的值域 9 、不等式法利用基本不等式a+

4、b2，a+b+c3（a，b，c），求函數(shù)的最值，其題型特征解析式是和式時(shí)要求積為定值，解析式是積時(shí)要求和為定值，不過(guò)有時(shí)須要用到拆項(xiàng)、添項(xiàng)和兩邊平方等技巧。例：10.倒數(shù)法有時(shí)，直接看不出函數(shù)的值域時(shí)，把它倒過(guò)來(lái)之后，你會(huì)發(fā)現(xiàn)另一番境況例 求函數(shù)y=的值域多種方法綜合運(yùn)用總之，在具體求某個(gè)函數(shù)的值域時(shí)，首先要仔細(xì)、認(rèn)真觀察其題型特征，然后再選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?，一般?yōu)先考慮直接法，函數(shù)單調(diào)性法和基本不等式法，然后才考慮用其他各種特殊方法。五、. 如何用定義證明函數(shù)的單調(diào)性？ （取值、作差、判正負(fù)）判斷函數(shù)單調(diào)性的方法有三種：(1)定義法：根據(jù)定義，設(shè)任意得x1,x2，找出f(x1),f(x2)之間的

5、大小關(guān)系可以變形為求的正負(fù)號(hào)或者與1的關(guān)系(2)參照?qǐng)D象：若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，b)對(duì)稱，函數(shù)f(x)在關(guān)于點(diǎn)(a，0)的對(duì)稱區(qū)間具有相同的單調(diào)性； （特例：奇函數(shù)）若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線xa對(duì)稱，則函數(shù)f(x)在關(guān)于點(diǎn)(a，0)的對(duì)稱區(qū)間里具有相反的單調(diào)性。（特例：偶函數(shù)）(3)利用單調(diào)函數(shù)的性質(zhì)：函數(shù)f(x)與f(x)c(c是常數(shù))是同向變化的函數(shù)f(x)與cf(x)(c是常數(shù))，當(dāng)c0時(shí)，它們是同向變化的；當(dāng)c0時(shí)，它們是反向變化的。如果函數(shù)f1(x)，f2(x)同向變化，則函數(shù)f1(x)f2(x)和它們同向變化；（函數(shù)相加）如果正值函數(shù)f1(x)，f2(x)同向變化，則

6、函數(shù)f1(x)f2(x)和它們同向變化；如果負(fù)值函數(shù)f1(2)與f2(x)同向變化，則函數(shù)f1(x)f2(x)和它們反向變化；（函數(shù)相乘）函數(shù)f(x)與在f(x)的同號(hào)區(qū)間里反向變化。若函數(shù)u(x)，x，與函數(shù)yF(u)，u()，()或u(),()同向變化，則在，上復(fù)合函數(shù)yF(x)是遞增的；若函數(shù)u(x),x，與函數(shù)yF(u)，u()，()或u()，()反向變化，則在，上復(fù)合函數(shù)yF(x)是遞減的。（同增異減）f(g)g(x)fg(x)f(x)+g(x)f(x)*g(x) 都是正數(shù)增增增增增增減減/減增減/減減增減減 六、.如何利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性？ 值是（ ） 七、 函數(shù)f(x)具有奇

7、偶性的必要（非充分）條件是什么？ （f(x)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱） 注意如下結(jié)論： （1）在公共定義域內(nèi)：兩個(gè)奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；兩個(gè)偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；一個(gè)偶函數(shù)與奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù)。 八.判斷函數(shù)奇偶性的方法1、定義域法一個(gè)函數(shù)是奇（偶）函數(shù)，其定義域必關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，它是函數(shù)為奇（偶）函數(shù)的必要條件.若函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)為非奇非偶函數(shù).2、 奇偶函數(shù)定義法在給定函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的前提下，計(jì)算，然后根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義判斷其奇偶性.3、 復(fù)合函數(shù)奇偶性f(g)g(x)fg(x)f(x)+g(x)f(x)*g(x)奇奇奇奇偶奇偶偶非奇非偶奇偶奇偶非奇非偶奇偶偶偶偶

8、偶九、. 你熟悉周期函數(shù)的定義嗎？ 函數(shù)，T是一個(gè)周期。） 我們?cè)谧鲱}的時(shí)候，經(jīng)常會(huì)遇到這樣的情況：告訴你f(x)+f(x+t)=0,我們要馬上反應(yīng)過(guò)來(lái)，這時(shí)說(shuō)這個(gè)函數(shù)周期2t. 推導(dǎo)：，同時(shí)可能也會(huì)遇到這種樣子：f(x)=f(2a-x),或者說(shuō)f(a-x)=f(a+x).其實(shí)這都是說(shuō)同樣一個(gè)意思：函數(shù)f(x)關(guān)于直線對(duì)稱， 對(duì)稱軸可以由括號(hào)內(nèi)的2個(gè)數(shù)字相加再除以2得到。比如，f(x)=f(2a-x),或者說(shuō)f(a-x)=f(a+x)就都表示函數(shù)關(guān)于直線x=a對(duì)稱。如： 十. 你掌握常用的圖象變換了嗎？ 聯(lián)想點(diǎn)（x,y）,(-x,y) 聯(lián)想點(diǎn)（x,y）,(x,-y) 聯(lián)想點(diǎn)（x,y）,(-x,

9、-y) 聯(lián)想點(diǎn)（x,y）,(y,x) 聯(lián)想點(diǎn)（x,y）,(2a-x,y) 聯(lián)想點(diǎn)（x,y）,(2a-x,0) 注意如下“翻折”變換： 十一、 你熟練掌握常用函數(shù)的圖象和性質(zhì)了嗎？ (k為斜率，b為直線與y軸的交點(diǎn)) 的雙曲線。 應(yīng)用：“三個(gè)二次”（二次函數(shù)、二次方程、二次不等式）的關(guān)系二次方程求閉區(qū)間m，n上的最值。 求區(qū)間定（動(dòng)），對(duì)稱軸動(dòng)（定）的最值問(wèn)題。 一元二次方程根的分布問(wèn)題。 由圖象記性質(zhì)！ （注意底數(shù)的限定?。?利用它的單調(diào)性求最值與利用均值不等式求最值的區(qū)別是什么？（均值不等式一定要注意等號(hào)成立的條件）15. 你在基本運(yùn)算上常出現(xiàn)錯(cuò)誤嗎？ 16. 如何解抽象函數(shù)問(wèn)題？ （賦值法

10、、結(jié)構(gòu)變換法） （對(duì)于這種抽象函數(shù)的題目，其實(shí)簡(jiǎn)單得都可以直接用死記了1、 代y=x，2、 令x=0或1來(lái)求出f(0)或f(1)3、 求奇偶性，令y=x；求單調(diào)性：令x+y=x1 幾類(lèi)常見(jiàn)的抽象函數(shù) 1. 正比例函數(shù)型的抽象函數(shù) f（x）kx（k0）-f（x±y）f（x）±f（y）2. 冪函數(shù)型的抽象函數(shù) f（x）xa-f（xy） f（x）f（y）；f（）3. 指數(shù)函數(shù)型的抽象函數(shù) f（x）ax- f（xy）f（x）f（y）；f（xy）4. 對(duì)數(shù)函數(shù)型的抽象函數(shù)f（x）logax（a>0且a1）-f（x·y）f（x）f（y）；f（） f（x）f（y）5. 三

11、角函數(shù)型的抽象函數(shù)f（x）tgx- f（xy）f（x）cotx- f（xy）例1已知函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y均有f（xy）f（x）f（y），且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>0，f(1) 2求f(x)在區(qū)間2,1上的值域.分析：先證明函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)（注意到f（x2）f（x2x1）x1f（x2x1）f（x1）；再根據(jù)區(qū)間求其值域.例2已知函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y均有f（xy）2f（x）f（y），且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>2，f(3) 5，求不等式 f（a22a2）<3的解.分析：先證明函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)（仿例1）；再求出f（1）3；最后脫去函數(shù)符號(hào).

12、例3已知函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y都有f（xy）f（x）f（y），且f（1）1，f（27）9，當(dāng)0x1時(shí)，f（x）0，1.（1）判斷f（x）的奇偶性；（2）判斷f（x）在0，上的單調(diào)性，并給出證明；（3）若a0且f（a1），求a的取值范圍.分析：（1）令y1； （2）利用f（x1）f（·x2）f（）f（x2）； （3）0a2.例4設(shè)函數(shù)f（x）的定義域是（，），滿足條件：存在x1x2，使得f（x1）f（x2）；對(duì)任何x和y，f（xy）f（x）f（y）成立.求：（1）f（0）；(2)對(duì)任意值x，判斷f（x）值的符號(hào).分析：（1）令x= y0；（2）令yx0.例5是否存在函數(shù)f（x），

13、使下列三個(gè)條件：f（x）>0,xN；f（ab） f（a）f（b），a、bN；f（2）4.同時(shí)成立？若存在，求出f（x）的解析式，若不存在，說(shuō)明理由.分析：先猜出f（x）2x；再用數(shù)學(xué)歸納法證明.例6設(shè)f（x）是定義在（0，）上的單調(diào)增函數(shù)，滿足f（x·y）f（x）f（y），f（3）1，求：（1） f（1）；（2） 若f（x）f（x8）2，求x的取值范圍.分析：（1）利用31×3；（2）利用函數(shù)的單調(diào)性和已知關(guān)系式.例7設(shè)函數(shù)y f（x）的反函數(shù)是yg（x）.如果f（ab）f（a）f（b），那么g（ab）g（a）·g（b）是否正確，試說(shuō)明理由.分析：設(shè)f（a）

14、m，f（b）n，則g（m）a，g（n）b，進(jìn)而mnf（a）f（b） f（ab）f g（m）g（n）.例8已知函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿足以下三個(gè)條件： x1、x2是定義域中的數(shù)時(shí)，有f（x1x2）； f（a） 1（a0，a是定義域中的一個(gè)數(shù)）； 當(dāng)0x2a時(shí)，f（x）0. 試問(wèn)：（1） f（x）的奇偶性如何？說(shuō)明理由；（2） 在（0，4a）上，f（x）的單調(diào)性如何？說(shuō)明理由. 分析：（1）利用f （x1x2） f （x1x2），判定f（x）是奇函數(shù)；（3） 先證明f（x）在（0，2a）上是增函數(shù)，再證明其在（2a，4a）上也是增函數(shù). 對(duì)于抽象函數(shù)的解答題，雖然不可用特殊模型代替求

15、解，但可用特殊模型理解題意.有些抽象函數(shù)問(wèn)題，對(duì)應(yīng)的特殊模型不是我們熟悉的基本初等函數(shù).因此，針對(duì)不同的函數(shù)要進(jìn)行適當(dāng)變通，去尋求特殊模型，從而更好地解決抽象函數(shù)問(wèn)題. 例9已知函數(shù)f（x）（x0）滿足f（xy）f（x）f（y），（1） 求證：f（1）f（1）0；（2） 求證：f（x）為偶函數(shù)；（3） 若f（x）在（0，）上是增函數(shù)，解不等式f（x）f（x）0.分析：函數(shù)模型為：f（x）loga|x|（a0）（1） 先令xy1，再令xy 1；（2） 令y 1；（3） 由f（x）為偶函數(shù)，則f（x）f（|x|）.例10已知函數(shù)f（x）對(duì)一切實(shí)數(shù)x、y滿足f（0）0，f（xy）f（x）·

16、f（y），且當(dāng)x0時(shí)，f（x）1，求證：（1） 當(dāng)x0時(shí)，0f（x）1；（2） f（x）在xR上是減函數(shù).分析：（1）先令xy0得f（0）1，再令yx；（3） 受指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的啟發(fā)：由f（xy）f（x）f（y）可得f（xy），進(jìn)而由x1x2，有f（x1x2）1.練習(xí)題：1.已知：f（xy）f（x）f（y）對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y都成立，則（ ）（A）f（0）0 （B）f（0）1 （C）f（0）0或1 （D）以上都不對(duì)2. 若對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y總有f（xy）f（x）f（y），則下列各式中錯(cuò)誤的是（ ）（A）f（1）0 （B）f（） f（x） （C）f（） f（x）f（y） （D）f（xn）nf（x）（n

17、N）3.已知函數(shù)f（x）對(duì)一切實(shí)數(shù)x、y滿足：f（0）0，f（xy）f（x）f（y），且當(dāng)x0時(shí)，f（x）1，則當(dāng)x0時(shí)，f（x）的取值范圍是（ ）（A）（1，） （B）（，1）（C）（0，1） （D）（1，）4.函數(shù)f（x）定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且對(duì)定義域內(nèi)不同的x1、x2都有f（x1x2），則f（x）為（ ）（A）奇函數(shù)非偶函數(shù) （B）偶函數(shù)非奇函數(shù)（C）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) （D）非奇非偶函數(shù)5.已知不恒為零的函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y滿足f（xy）f（xy）2f（x）f（y），則函數(shù)f（x）是（ ）（A）奇函數(shù)非偶函數(shù) （B）偶函數(shù)非奇函數(shù)（C）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) （D）非奇非偶函數(shù)

18、函數(shù)典型考題1.若函數(shù)為偶函數(shù)，則的值是 （ ）A. B. C. D. 2已知函數(shù)是定義域在上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，求滿足的的集合 3.若f(x)是偶函數(shù)，它在上是減函數(shù),且f（lgx）>f(1),則x的取值范圍是（ ）A. (，1) B. (0，)(1，) C. (，10) D. (0，1)(10，)4.若a、b是任意實(shí)數(shù)，且a>b,則 （ ）A. a2>b2 B. <1 C. >0 D.< 5.設(shè)a,b,c都是正數(shù)，且，則下列正確的是 （ ）(A) (B) (C) (D) 6對(duì)于函數(shù)（）（）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的零點(diǎn)；（）若對(duì)任意實(shí)數(shù)，函數(shù)恒有兩個(gè)相異的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍6. 二次函數(shù)中，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（ ）A 0個(gè) B 1個(gè) C