布條纏繞管道數(shù)學(xué)模型

1、布條纏繞數(shù)學(xué)模型摘要：通過(guò)確定重合點(diǎn)，在已知布條寬度和圓形管道直徑的情況下，運(yùn)用一些簡(jiǎn)單的幾何知識(shí)解決了布條與管道軸線的夾角問(wèn)題，得到了該如何纏繞才能使布條長(zhǎng)度最小。進(jìn)而從管道表面積和布條面積相等的角度，采用剪切的方法把一個(gè)三維空間中布條纏繞圓形管道問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面上面積相等問(wèn)題，在已知管道長(zhǎng)度的情況下，求出了布條的長(zhǎng)度。同時(shí)也考慮到了布條兩端的影響。此外，分兩種情況考慮了其他形狀的管道的布條纏繞問(wèn)題：布條緊貼于管道纏繞和布條不緊貼貼于管道纏繞。關(guān)鍵詞：重合點(diǎn)、表面積、等量、轉(zhuǎn)化正文1問(wèn)題重述用寬為的布條纏繞直徑為的圓形管道，如果用布條全部包住管道，問(wèn)布條應(yīng)該如何纏繞，才能使所用的布條長(zhǎng)度最小，

2、若知道管道長(zhǎng)度為,需用多長(zhǎng)布條（可考慮管道兩端影響），如果管道是其他形狀呢？2合理假設(shè)2.1布條的厚度可忽略不計(jì)，即不會(huì)影響結(jié)果。2.2布條纏繞在管道上不重疊時(shí)可以完全緊密地排在一起。2.3布條是完全沒(méi)有彈性的。3符號(hào)說(shuō)明 布條的寬度 布條的長(zhǎng)度（不考慮兩端影響時(shí)） 布條的長(zhǎng)度（考慮兩端影響時(shí)） 管道的直徑 管道的長(zhǎng)度 布條與管道軸線的夾角 布條面積 管道的表面積4模型建立與求解模型一：夾角的模型不妨將管道表面展開(kāi)如圖1，黃色部分為纏繞的布條。由于要求布條完全纏繞于管道上且不重疊，那么A、B應(yīng)該在管道上重合。則故 AC B圖1模型二：布條長(zhǎng)度的模型由于布條是完全纏繞于管道上的，且沒(méi)有重疊，可以

3、從管道表面積和布條面積相等來(lái)考慮。且 ，即 也即 但由于布條兩端都成弧度，會(huì)有所浪費(fèi)，因此也考慮兩端的影響，即多加上圖中AC段的長(zhǎng)度。故 所需布條長(zhǎng)度為 5模型優(yōu)化與推廣優(yōu)化：布條厚度的考慮既然布條厚度為一個(gè)影響結(jié)果的因素，不妨考慮一下布條的厚度。設(shè)布條厚度為，圓形管道的橫截面如圖2。布條上表面伸展，下表面收縮，中間的長(zhǎng)度不變。那么圓形管道的直徑相當(dāng)于故 圖1 ：圓形管道橫截面推廣：其他形狀的管道若管道的橫截面是相等的，且布條完全貼于管道上，考慮方向就和圓形管道相同。只需將圓形管道的橫截面周長(zhǎng)換為其他形狀管道的橫截面周長(zhǎng)即可。那么圖2 ：五角星形管道如圖3，布條貼于五角星形狀的管道纏繞，那么周長(zhǎng)即為五角星的周長(zhǎng)設(shè)五角星邊長(zhǎng)為，則有代入和的等式計(jì)算即可。若布條不是完全貼于管道上的，那么就以布條所纏繞的形狀作為周長(zhǎng)計(jì)算。比如五角星形狀的管道，布條不貼于管道纏繞，如圖4。那么計(jì)算周長(zhǎng)時(shí)就不是計(jì)算五角星的周長(zhǎng)了，而是計(jì)算布條纏繞所形成的五邊形的周長(zhǎng)。 圖4：五角星形管道布條設(shè)五角