微積分發(fā)展歷程.

1、微積分發(fā)展歷程（一）一、數(shù)學(xué)無窮發(fā)展的萌芽無窮作為一個極富迷人魅力的詞匯，長期以來就深深激動著人們的心靈。徹底弄清這一概念的實質(zhì)成為維護人類智力尊嚴的一種需要。而數(shù)學(xué)是“研究無限的學(xué)科”，因此數(shù)學(xué)就責(zé)無旁貸地擔(dān)當(dāng)起征服無窮的重任。我們在本文中將簡要介紹一下數(shù)學(xué)中無窮思想發(fā)展的歷程早在遠古時代，無限的概念就比其它任何概念都激動著人們的感情，而且遠在兩千年以前，人們就已經(jīng)產(chǎn)生了對數(shù)學(xué)無窮的萌芽認識。在我國，著名的莊子一書中有言：“一尺之棰，日取其半，而萬世不竭?！睆闹芯涂审w現(xiàn)出我國早期對數(shù)學(xué)無窮的認識水平。而我國第一個創(chuàng)造性地將無窮思想運用到數(shù)學(xué)中，且運用相當(dāng)自如的是魏晉時期著名數(shù)學(xué)家劉徽。他提出

2、用增加圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)來逼近圓的“割圓術(shù)”，并闡述道：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣?！笨梢妱⒒諏?shù)學(xué)無窮的認識已相當(dāng)深刻，正是以“割圓術(shù)”為理論基礎(chǔ)，劉徽得出徽率，而其后繼者祖沖之更是得出了圓周率介于3.1415926與3.1415927之間的領(lǐng)先國外上千年的驚人成果。在國外，早在畢達哥拉斯關(guān)于不可公度量的發(fā)現(xiàn)及關(guān)于數(shù)與無限這兩個概念的定義中已孕育了微積分學(xué)的關(guān)于無窮的思想方法。德謨克利特和柏拉圖學(xué)派探索過無窮小量觀念。歐多克索斯、安蒂豐、數(shù)學(xué)之神阿基米德所運用的窮竭法已備近代極限理論的雛形，尤其是阿基米德對窮竭法應(yīng)用之熟練，使后人感到他在當(dāng)時就已接

3、近了微積分的邊緣。由此，我們可以看到在數(shù)學(xué)無窮思想發(fā)展之初，古人就已在這個領(lǐng)域開創(chuàng)了一個光輝的起點。雖說，古人對無窮已有了較深刻認識，然而人們對無限的認識是缺乏嚴密的邏輯基礎(chǔ)的?？梢哉f，對于只熟知有限概念的人們來說“無限”這一概念仍然是陌生與神秘的。芝諾悖論的提出清楚地表明了這一點。芝諾，公元前五世紀中葉古希臘哲學(xué)家。他提出的四個悖論雖是哲學(xué)命題。但卻對數(shù)學(xué)無窮思想的發(fā)展產(chǎn)生了直接且深遠影響。這里僅舉其悖論之一。阿基里斯悖論：跑得最快的阿基里斯永遠追不上爬得最慢的烏龜。大意是說甲跑的速度遠大于乙，但乙比甲先行一段距離，甲為了趕上乙，須超過乙開始的A點，但甲到了A點，則乙已進到A1點，而當(dāng)甲再到

4、A1點，則乙又進到A2點，依次類推，直到無窮，兩者距離雖越來越近，但甲永遠在乙后面而追不上乙。這顯然違背人們常識的芝諾悖論，因與無限問題密切相連，就使得古希臘人對無窮有些望之卻步靜而遠之了。同時也導(dǎo)致古希臘數(shù)學(xué)家不得不把無限排斥在自己的推理之外了。芝諾悖論就這樣一直困惑著人們，問題的癥結(jié)何在呢？這里我們不得不提到一個偉大的數(shù)學(xué)家（物理學(xué)家）阿基米德(Archimedes，約公元前287212)，阿基米德確定了拋物線弓形、螺線、圓形的面積以及橢球體、拋物面體等各種復(fù)雜幾何體的表面積和體積的計算方法。在推演這些公式的過程中，他創(chuàng)立了“窮竭法”，即我們今天所說的逐步近似求極限的方法，因而被公認為微積

5、分計算的鼻祖。他用圓內(nèi)接多邊形與外切多邊形邊數(shù)增多、面積逐漸接近的方法，比較精確的求出了圓周率。面對古希臘繁冗的數(shù)字表示方式，阿基米德還首創(chuàng)了記大數(shù)的方法，突破了當(dāng)時用希臘字母計數(shù)不能超過一萬的局限，并用它解決了許多數(shù)學(xué)難題。 微積分發(fā)展歷程（二）微積分學(xué)的誕生隨著時代的發(fā)展，實踐中提出了越來越多的數(shù)學(xué)問題，待數(shù)學(xué)家們加以解決，如曲線切線問題、最值問題、力學(xué)中速度問題、變力做功問題初等數(shù)學(xué)方法對此越來越無能為力，需要的是新的數(shù)學(xué)思想、新的數(shù)學(xué)工具。不少數(shù)學(xué)家為此做了不懈努力，如笛卡爾、費馬、巴羅并取得了一定成績，正是站在這些巨人的肩膀上，牛頓、萊布尼茲以無窮思想為據(jù)，成功運用無限過程的運算，創(chuàng)

6、立了微積分學(xué)。這新發(fā)現(xiàn)、新方法的重要性使當(dāng)時的知識界深感震驚，因而出現(xiàn)了一門嶄新的數(shù)學(xué)分支：數(shù)學(xué)分析。這一學(xué)科的創(chuàng)立在數(shù)學(xué)發(fā)展史上翻開了嶄新一頁，譜寫了光輝動人的樂章。1）微積分的發(fā)展無限小算法的推廣，在英國和歐洲大陸國家是循著不同的路線進行的。不列顛的數(shù)學(xué)家們在劍橋、牛津、倫敦和愛丁堡等著名的大學(xué)里教授和研究牛頓的流數(shù)術(shù)，他們中的優(yōu)秀代表有泰勒（B.Taylor）、麥克勞林（C.Maclaurin）、棣莫弗（A.de Moivre）、斯特林（J.Stirling）等。泰勒（1685_1731）做過英國皇家學(xué)會秘書。他在1715年出版的正的和反的增量方法一書中，陳述了他早在1712年就已獲得的

7、著名定理其中v為獨立變量z的增量，和為流數(shù)。泰勒假定z隨時間均勻變化，故為常數(shù)，從而上述公式相當(dāng)于現(xiàn)代形式的“泰勒公式”：。泰勒公式使任意單變量函數(shù)展為冪級數(shù)成為可能，是微積分進一步發(fā)展的有力武器。但泰勒對該定理的證明很不嚴謹，也沒有考慮級數(shù)的收斂性。泰勒公式在x=0時的特殊情形后來被愛丁堡大學(xué)教授麥克勞林重新得到，現(xiàn)代微積分教科書中一直把x=0時的泰勒級數(shù)稱為“麥克勞林級數(shù)”。麥克勞林（1698_1746）是牛頓微積分學(xué)說的竭力維護者，他在這方面的代表性著作流數(shù)論，以純熟卻難讀的幾何語言論證流數(shù)方法，試圖從“若干無例外的原則”出發(fā)嚴密推演牛頓的流數(shù)論，這是使微各分形式化的努力，但因囿于幾何傳

8、統(tǒng)而并不成功。流數(shù)論中還包括有麥克勞林關(guān)于旋轉(zhuǎn)可恥橢球體的引力定理，證明了兩個共焦點的橢球體對其軸或赤道上一個質(zhì)點的引力與它們的體積成正比。麥克勞林之后，英國數(shù)學(xué)陷入了長期停滯的狀態(tài)。微積分發(fā)明權(quán)的爭論滋長了不列顛數(shù)學(xué)家的民族保守情緒，使他們不能擺脫牛頓微積分學(xué)說中弱點的束縛。與此相對照，在英吉利海峽的另一邊，新分析卻在萊布尼茨的后繼者們的推動下蓬勃發(fā)展起來。2）積分技術(shù)與橢圓積分18世紀數(shù)學(xué)家們以高度的技巧，將牛頓和萊布尼茨的無限小算法施行到各類不同的函數(shù)上，不僅發(fā)展了微積分本身，而且作出了許多影響深遠的新發(fā)現(xiàn)。在這方面，積分技術(shù)的推進尤為明顯。當(dāng)18世紀的數(shù)學(xué)家考慮無理函數(shù)的積分時，他們就

9、在自己面前打開了一片新天地，因為他們發(fā)現(xiàn)許多這樣的積分不能用已知的初等函數(shù)來表示。例如雅各布伯努利在求雙紐線（在極坐標下方程為）弧長時，得到弧長積分。在天文學(xué)中很重要的橢圓弧長計算則引導(dǎo)到積分。歐拉在1774年處理彈性問題時也得到積分。所有這些積分都屬于后來所說的“橢圓積分”的范疇，它們既不能用代數(shù)函數(shù)，也不能用通常的初等超越函數(shù)（如三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等）表示出來。橢圓積分的一般形式是。勒讓德后來將所有的橢圓積分歸結(jié)為三種基本形式。在18世紀，法尼亞諾、歐拉、拉格朗日和勒讓德等還就特殊類型的橢圓積分積累了大量結(jié)果。對橢圓積分的一般研究在19世紀20年代被阿貝爾和雅可比分別獨立地從反演的角度發(fā)展

10、為深刻的橢圓函數(shù)理論。微積分發(fā)展歷程（三）3）牛頓的“流數(shù)術(shù)”牛頓（Isaac Newton ,16421727）于伽利略去世那年1642年（儒略歷）的圣誕出生于英格蘭肯郡伍爾索普村一個農(nóng)民家庭，是遺腹子，且早產(chǎn)，生后勉強存活。少年牛頓不是神童成績并不突出，但酷愛讀書與制作玩具。17歲時，牛頓被母親從他就讀的格蘭瑟姆中學(xué)召回田莊務(wù)農(nóng)，但在牛頓的舅父W .埃斯庫和格蘭瑟姆中學(xué)校長史托克思的竭力勸說下，牛頓的母親在九個月后又允許牛頓返校學(xué)習(xí)。史托克思校長的勸說辭中，有一句話可以說是科學(xué)史上最幸運的預(yù)言，他對牛頓的母親說：“在繁雜的農(nóng)務(wù)中埋沒這樣一位天才，對世界來說將是多么巨大的損失！”牛頓于166

11、1年入劍橋大學(xué)三一學(xué)院，受教于巴羅，同時鉆研伽利略、開普勒、笛卡兒和沃利斯等人的著作。三一學(xué)院至今還保存著牛頓的讀書筆記，從這些筆記可以看出，就數(shù)學(xué)思想的形成而言，笛卡兒的幾何學(xué)和沃利斯的無窮算術(shù)對他影響最深，正是這兩部著作引導(dǎo)牛頓走上了創(chuàng)立微積分之路。1665年8月，劍橋大學(xué)因瘟疫流行而關(guān)閉，牛頓離校返鄉(xiāng)，隨后在家鄉(xiāng)躲避瘟疫的兩年，竟成為牛頓科學(xué)生涯中的黃金歲月。制定微積分，發(fā)現(xiàn)萬有引力和顏色理論，可以說牛頓一生大多數(shù)科學(xué)創(chuàng)造的藍圖，都是在這兩年描繪的。流數(shù)術(shù)的初建牛頓對微積分問題的研究始于1664年秋，當(dāng)時他反復(fù)閱讀笛卡兒幾何學(xué)，對笛卡兒求切線的“圓法”發(fā)生興趣并試圖尋找更好的方法。說在此

12、時，牛頓首創(chuàng)了小o記號表示x的無限小且最終趨于零的增量。1665年夏至1667年春，牛頓在家鄉(xiāng)躲避瘟疫期間，繼續(xù)探討微積分并取得了突破性進展。據(jù)他自述，1665年11月發(fā)明“正流數(shù)術(shù)”（微分法），次年5月又建立了“反流數(shù)術(shù)”（積分法）。1666年10月，牛頓將前兩年的研究成果整理成一篇總結(jié)性論文，此文現(xiàn)以流數(shù)簡論（Tract on Fluxions）著稱，當(dāng)時雖未正式發(fā)表，但在同事中傳閱。流數(shù)簡論（以下簡稱簡論）是歷史上第一篇系統(tǒng)的微積分文獻。流數(shù)簡論反映了牛頓微積分的運動學(xué)背景。該文事實上以速度形式引進了“流數(shù)”（即微商）概念，雖然沒有使用“流數(shù)”這一術(shù)語。牛頓在簡論中提出微積分的基本問題如

13、下：（a）設(shè)有兩個或更多個物體A，B，C，在同一時刻內(nèi)描畫線段x，y，z，。已知表示這些線段關(guān)系的方程，求它們的速度p，q，r，的關(guān)系。（b）已知表示線段x和運動速度p、q之比的關(guān)系方程式，求另一線段y。牛頓對多項式情形給出（a）的解法。以下舉例說明牛頓的解法。已知方程，牛頓分別以和代換方程中的x和y，然后利用二項式定理，展開得消去和為零的項，得，以o除之，得這時牛頓指出“其中含o的那些項為無限小”，略去這些無限小，得即所求的速度p與q的關(guān)系。牛頓對所有的多項式給出了標準的算法，即對多項式，問題（a）的解為對于問題（b），牛頓的解法實際上是問題（a）的解的逆運算，并且也是逐步列出了標準算法。特

14、別重要的是，簡論中討論了如何借助于這種逆運算來求面積，從而建立了所謂“微積分基本定理”。牛頓在簡論中是這樣推導(dǎo)微積分基本定理的：edacqbyxp=Ifg 如上圖，設(shè)ab=x,abc=y為已知曲線q=f（x）下的面積，作deabadbe=p=1。當(dāng)線cbe以單位速度向右移動時，eb掃出面積 abed=x，變化率；cb掃出面積abc=y，變化率，。由此得， 這就是說，面積y在點x處的變化率是曲線在該處的q值。這就是微積分基本定理。利用問題（b）的解法可求出面積y。 作為例子，牛頓算出縱坐標為 曲線下的面積是；反之，縱坐標為的曲線真切線斜率為。當(dāng)然，簡論中對微積分基本定理的論述并不能算是現(xiàn)代意義下

15、的嚴格證明。牛頓在后來的著作中對微積分基本定理又給出了不依賴于運動學(xué)的較為清楚的證明。 在牛頓以前，面積總是被看成是無限小不可分量之和，牛頓則從確定面積的變化率入手通過反微分計算面積。前面講過，面積計算與求切線問題的互逆關(guān)系，以往雖然也曾被少數(shù)人在特殊場合模糊地指出，但牛頓卻能以足夠的敏銳與能力將這種互逆關(guān)系明確地作為一般規(guī)律揭示出來，并將其作為建立微積分普遍算法的基礎(chǔ)。正如牛頓本人在流數(shù)簡論中所說：一旦反微分問題可解，許多問題都將迎刃而解。這樣，牛頓就將自古希臘以來求解無限小問題的各種特殊技巧統(tǒng)一為兩類普遍的算法正、反流數(shù)術(shù)亦即微分與積分，并證明了二者的互逆關(guān)系而將這兩類運算進一步統(tǒng)一成整體

16、。這是他超越前人的功績，正是在這樣的意義下，我們說牛頓發(fā)明了微積分。 在流數(shù)簡論的其余部分，牛頓將他建立的統(tǒng)一算法應(yīng)用于求曲線切線、曲率、拐點、曲線求長、求積、求引力與引力中心等16類問題，展示了他的算法的極大的普遍性與系統(tǒng)性。 流數(shù)術(shù)的發(fā)展 流數(shù)簡論標志著微積分的誕生，但它在許多方面是不成熟的。牛頓于1667年春天回到劍橋，對自己的微積分發(fā)現(xiàn)未作宣揚。他在這一年10月當(dāng)選為三一學(xué)院成員，次年又獲碩士學(xué)位，并不是因為他在微積分方面的工作，而是因為在望遠鏡制作方面的貢獻。但從那時起直到1693年大約四分之一世紀的時間里，牛頓始終不渝努力改進、完善自己的微積分學(xué)說，先后定成了三篇微積分論文，它們分

17、別是： （1）運用無限多項方程的分析（De Analysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas，簡稱分析學(xué)，完成于1669年）； （2）流數(shù)法與無窮級數(shù)（Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum，簡稱流數(shù)法，完成于1671年）； （3）曲線求積術(shù)（Tractatus de Quadratura Curvarum，簡稱求積術(shù)，完成于1691年）。這三篇論文，反映了牛頓微積分學(xué)說的發(fā)展過程，并且可以看到，牛頓對于微積分的基礎(chǔ)先后給出了不同的解釋。第一篇分析學(xué)是牛頓為了維護自己在無窮級數(shù)方面的優(yōu)先權(quán)而作。

18、1668年蘇格蘭學(xué)者麥卡托（N.Mercator）發(fā)表了對數(shù)級數(shù)的結(jié)果，這促使牛頓公布自己關(guān)于無窮級數(shù)的成果。分析學(xué)利用這些無窮級數(shù)來計算流數(shù)、積分以及解方程等，因此分析學(xué)體現(xiàn)了牛頓的微保健與無窮級數(shù)緊密結(jié)合的特點。關(guān)于微積分本身，分析學(xué)有簡短的說明。論文一開始就敘述了計算曲線下面積的法則。設(shè)有表示的曲線，牛頓論證所求面積為。牛頓在論證中取x而不是時間t的無限小增量“瞬”為o，以代x， 代z，則用二項式定理展示后以o除兩邊，略去o的項，即得。反過來就知曲線下的面積是。牛頓接著給出了另一條法則：若y值是若干項之和，那么所求面積就是由其中每一項得到的面積之和，這相當(dāng)于逐項積分定理。由上述可知，牛頓

19、分析學(xué)以無限小增量“瞬”為基本概念，但卻回避了流數(shù)簡論中的運動學(xué)背景而將“瞬”看成是靜止的無限小量，有時直截了當(dāng)令為零，從而帶上了濃厚的不可分量色彩。第二篇論文流數(shù)法可以看作是1666年流數(shù)簡論的直接發(fā)展。牛頓在其中又恢復(fù)了運動學(xué)觀點，但對以物體速度為原形的流數(shù)概念作了進一步提煉，并首次正式命名為“流數(shù)”（fluxion）。牛頓后來對流數(shù)法中的流數(shù)概念作了如下解釋：“我把時間看作是連續(xù)的流動或增長，而其他量則隨著時間而連續(xù)增長，我從時間的流動性出發(fā)，把所有其他量的增長速度稱之為流數(shù)，又從時間的瞬息性出發(fā)，把任何其他量在瞬息時間內(nèi)產(chǎn)生的部分稱之為瞬”。流數(shù)法以清楚明白的流數(shù)語言表述微積分的基本問

20、題為：“已知表示量的流數(shù)間的關(guān)系的方程，求流量間的關(guān)系”。流數(shù)語言的使用，使牛頓的微積分算法在應(yīng)用方面獲得了更大的成功。無論是分析學(xué)還是流數(shù)法都是以無限小量作為微積分算法的誰基礎(chǔ)，所不同的是：在流數(shù)法中變量x，y的瞬，隨時間瞬o而連續(xù)變化；而在分析學(xué)中變量x，y的瞬則是某種不依賴于時間的固定的無限小微元。大約到17世紀80年代中，牛頓關(guān)于微積分的基礎(chǔ)在觀念上發(fā)生了新的變革，這就是“首末比方法”的提出。首末比法最先以幾何形式在自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理一書中發(fā)布，其詳盡的分析表述則是在其第三篇微積分論文曲線求積術(shù)中給出的。曲線求積術(shù)是牛頓最成熟的微積分著述。牛頓在其中改變了對無限小量的依賴并批評自己過去

21、那種隨意忽略無限小瞬o的做法：“在數(shù)學(xué)中，最微小的誤差也不能忽略。在這里，我認為數(shù)學(xué)的量不是由非常小的部分組成的，而是用連續(xù)的運動來描述”。在此基礎(chǔ)上定義了流數(shù)概念之后，牛頓寫道：“流數(shù)之比非常接近于在相等但卻很小的時間間隔內(nèi)生成的流量的增量比。確切地說，它們構(gòu)成增量的最初比”。牛頓接著借助于幾何解釋把流數(shù)理解為增量消逝時獲得的最終比。他舉例說明自己的新方法如下：為了求的流數(shù)，設(shè)x變?yōu)椋瑒t變?yōu)?，?gòu)成兩變化的“最初比”：，然后“設(shè)增量o消逝，它們的最終比就是”，這也是x的流數(shù)與的流數(shù)之比。這就是所謂“首末比方法”，它相當(dāng)于求函數(shù)自變量與因變量變化之比的極限，因而成為極限方法的先導(dǎo)。牛頓在曲線求積

22、術(shù)中還第一次引進了后來被普遍采用的流數(shù)記號：，表示變量x，y，z的一次流數(shù)（導(dǎo)數(shù)），表示二次流數(shù)，表示三次流數(shù)，等等。牛頓對于發(fā)表自己的科學(xué)著作態(tài)度謹慎。除了兩篇光學(xué)著作，他的大多數(shù)菱都是經(jīng)朋友再三催促才拿出來發(fā)表。上述三篇論文發(fā)表都很晚，其中最先發(fā)表的是最后一篇曲線求積術(shù)，1704年載于光學(xué)附錄；分析學(xué)發(fā)表于1711年；而流數(shù)法則遲至1736年才正式發(fā)表，當(dāng)時牛頓已去世。牛頓微積分學(xué)說最早的公開表述出現(xiàn)在1687年出版的力學(xué)名著自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理（Philosophiae naturalis principia mathematica，以下簡稱原理）之中，因此原理也成為數(shù)學(xué)史上的劃時代著作。

23、微積分發(fā)展歷程（四）原理與微積分原理中并沒有明顯的分析形式的微積分，整部著作是以綜合幾何的語言寫成的。但牛頓在第一卷第1章開頭部分通過一組引理（共11條）建立了“首末比法”，這正是他后來在曲線求積術(shù)中作為流數(shù)運算基礎(chǔ)而重新提出的方法，不過在原理中，首末比方法本身也強烈地訴諸幾何直觀。第一卷引理1：“量以及量之比，若在一有限時間內(nèi)連續(xù)趨于相等，并在該時間結(jié)束前相互接近且其差可小于任意給定量，則它們最終也變?yōu)橄嗟取?，可以看作是初步的極限定義。在隨后的引理中牛頓便借極限過程來定義曲邊形的面積：如圖6.6，在曲線acE與直線Aa，AE所圍成的圖形AacE中內(nèi)接任意個數(shù)的矩形Ab，Bc，Cd，同時作矯形

24、akbl，bLcm，cMdn，。牛頓首先設(shè)所有的底AB，BC，CD，DE，皆相等，證明了“當(dāng)這些矩形的寬無限縮小而它們的個數(shù)無限增加時，內(nèi)接形AkbLcMdD，外接形AalbmcndoE與曲線abcdE相互的最終比是等量比”。然后指出當(dāng)矩形之寬互不相等（如圖設(shè)最大寬度為AF）但都無限縮小時，上述最終比仍是等量比。牛頓還證明書了：給定曲線弧以及相應(yīng)的弦和切線段，當(dāng)點A與B“相接近而最終相合時”，“弦、弧及切線間相互的最終比為等量比”，等等。M d oA B F C D EaKL c nl f牛頓預(yù)見到首末比方法可能遭受的批評，并意識到爭論的焦點將在于“最終比”概念，于是在前述引理的評注中對什么是

25、“最終比”作了進一步說明：“消逝量的最終比實際上并非最終量之比，而是無限減小的量之比所趨向的極限。它們無限接近這個極限，其差可小于任意給定的數(shù)，但卻永遠不會超過它，并且在這些量無限減小之間也不會達到它。”盡管原理表現(xiàn)出以極限方法作為微積分基礎(chǔ)的強烈傾向，但并不意味著牛頓完全摒棄無限小觀點。在第二卷第2章中，人們可以看到無限小瞬方法的陳述：“任何生成量（genitum）的瞬，等于生成經(jīng)的各邊的瞬乘以這些邊的冪指數(shù)及系數(shù)并逐項相加。”此處所謂“生成量”，即函數(shù)概念的雛形。牛頓說明這類量的例子有“積、商、根、”等，并把它們看成是“變化的和不定的”；生成量的瞬則是指函數(shù)的微分。因此上述陳述實際上相當(dāng)于

26、一些微分運算法則。例如牛頓分別以a，b，c，表示任意量A，B，C，的瞬，他證明了AB的瞬等于，的瞬等于，的瞬等于，一般冪的瞬等于，等等。原理在創(chuàng)導(dǎo)首末比方法的同時保留了無限小瞬，這種做法常常被認為自相矛盾而引起爭議。實際上，在牛頓的時代，建立微積分嚴格時，堅持對微積分基礎(chǔ)給出不同解釋，說明了他對微積分基礎(chǔ)所存在的困難的深邃洞察和謹慎態(tài)度。原理被愛因斯坦盛贊為“無比輝煌的演繹成就”。全書從三條基本的力學(xué)定律出發(fā)，運用微積分工具，嚴格地推導(dǎo)證明了包括開普勒行星運動三大定律、萬有引力定律等在內(nèi)有一系列結(jié)論，并且還將微積分應(yīng)用于流體運動、聲、光、潮汐、彗星乃至宇宙體系，充分顯示了這一新數(shù)學(xué)工具的威力。

27、原理中的微積分命題雖然都采用了幾何形式來敘述、證明，但正如牛頓本人后來解釋的那樣：發(fā)現(xiàn)原理中的絕大多數(shù)命題是依靠使用了“新分析法”，然后再“綜合地證明”。事實上，我們在前面已經(jīng)看到，牛頓發(fā)明微積分主要是依靠了高度的歸納算法的能力。并沒有多少綜合幾何的背景。他1664年參加巴羅主考的三一學(xué)院津貼生考試時，因歐氏幾何成績不佳差一點未能通過。而幾乎是在同時，他開始研究微積分并在不到一年的時間里就做了郵基本發(fā)現(xiàn)。牛頓后來才重新鉆研了巴羅譯注的幾何原本，彌補了這方面的不足，其結(jié)果是原理中的力學(xué)綜合體系。然而就數(shù)學(xué)而言，牛頓在原理中給微積分披上的幾何外衣，使他的流數(shù)術(shù)顯得僵硬呆板。固守牛頓的幾何形式，在1

28、8世紀阻礙了英國數(shù)學(xué)的發(fā)展。牛頓的科學(xué)貢獻是多方面的。在數(shù)學(xué)上，除了微積分，他的代數(shù)名著普遍算術(shù)，包含了方程論的許多重要成果，如虛數(shù)根必成對出現(xiàn)、笛卡兒符號法則的推廣、根與系數(shù)的冪和公式等等；他的幾何杰作三次曲線枚舉，首創(chuàng)對三次曲線的整體分類研究，是解析幾何發(fā)展新的一頁；在數(shù)值分析領(lǐng)域，今天任何一本教程都不能不提到牛頓的名字：牛頓迭代法（牛頓拉弗森公式）、牛頓格列高里公式、牛頓斯特林公式、；牛頓還是幾何概率的最早研究者。牛頓是一位科學(xué)巨人，但他有一次在談到自己的光學(xué)發(fā)現(xiàn)時卻說：“如果我看得更遠些，那是因為我站在巨人的肩膀上”。還有一次，當(dāng)別人問他是怎樣作出自己的科學(xué)發(fā)現(xiàn)時，他的回答是：“心里總

29、是裝著研究的問題，等待那最初的一線希望漸漸變成普照一切的光明！”據(jù)他的助手回憶，牛頓往往一天伏案18小時左右，仆人常常發(fā)現(xiàn)送到書房的午飯和晚飯一口未動。偶爾去食堂用餐，出門便陷入思考，兜個圈子又回到住所.惠威爾（W.Whewell）在歸納科學(xué)史中寫道：“除了頑強的毅力和失眠的習(xí)慣，牛頓不承認自己與常人有什么區(qū)別”?？赡苁怯捎谠缒杲?jīng)歷所致，牛頓性格沉郁內(nèi)向，不善在公眾場合表述思想，但這卻并沒有影響他后來出任倫敦造幣局局長和皇家學(xué)會連選連任，領(lǐng)導(dǎo)這個最高學(xué)術(shù)機構(gòu)長達四分之一世紀。牛頓終身未婚，晚年由外甥女凱瑟琳協(xié)助管家。牛頓的許多言論、軼聞，就是靠凱瑟琳和她的丈夫康杜德的記錄留傳下來的。家喻戶曉的

30、蘋果落地與萬有引力的故事，就是凱瑟琳告訴法國哲學(xué)家伏爾泰并被后者寫進牛頓哲學(xué)原理一書中。牛頓1727年因患肺炎與痛風(fēng)而逝世，葬于威斯特敏斯特大教堂。當(dāng)時參加了葬禮的伏爾泰親眼目睹英國的大人物爭抬牛頓的靈柩而無限感嘆。劍橋三一學(xué)院教堂大廳內(nèi)立有牛頓全身雕像。牛頓去世后，外甥女凱瑟琳夫婦在親屬們圍繞遺產(chǎn)的糾紛中不惜代價保存了牛頓的手稿?，F(xiàn)存牛頓手稿中，僅數(shù)學(xué)部分就達5000多頁。微積分發(fā)展歷程（五）6）牛頓與萊布尼茨牛頓和萊布尼茨都是他們時代的巨人。就微積分的創(chuàng)立而言，盡管在背景、方法和形式上存在差異、各有特色，但二者的功績是相當(dāng)?shù)摹Ｋ麄兌际刮⒎e分成為能普遍適用的算法，同時又都將面積、體積及相當(dāng)?shù)?/p>