微分中值定理與導數(shù)的應用

1、第三章 微分中值定理與導數(shù)的應用本章內(nèi)容是上一章的延續(xù)，主要是利用導數(shù)與微分這一方法來分析和研究函數(shù)的性質(zhì)及其圖形和各種形態(tài)，這一切的理論基礎即為在微分學中占有重要地位的幾個微分中值定理。在分析、論證過程中，中值定理有著廣泛的應用。一、教學目標與基本要求（一）知識1.記住羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的條件和結(jié)論；2.記住泰勒公式及其拉格朗日余項的表達式；3.記住ex,sin(x),cos(x),ln(1+x),1/1+x的N階麥克勞林公式；4.知道極限的末定式及其常見的幾種類型的求法；5.知道函數(shù)的極值點、駐點的定義以及它們之間的關系；6.知道曲線的凹凸性與拐點的定義；7.知道弧微

2、分的定義與弧微分公式；8.知道光滑曲線、曲率和曲率半徑的定義；9.知道求方程的近似解的基本方法。（二）領會1.領會羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理，領會羅爾定理、拉格朗日中值定理的幾何意義；2.領會羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理之間的聯(lián)系；3.領會洛必達法則；4.領會函數(shù)的單調(diào)性與一階導數(shù)之間的聯(lián)系；5.領會函數(shù)的極值與一、二階導數(shù)之間的聯(lián)系；6.領會函數(shù)的極值和最值的定義以及它們之間的區(qū)別和聯(lián)系；7.領會曲線的凹凸性與二階導數(shù)之間的聯(lián)系。（三）運用1.會用中值定理證明等式和不等式；2.會用洛必達法則求末定式的極限；3.會求一些函數(shù)的泰勒公式和利用泰勒公式求函數(shù)

3、的極限及一些函數(shù)的近似值；4.會用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；5.會用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式；6.會用導數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性和拐點；7.會求曲線的水平漸近線和鉛直漸近線，會描繪函數(shù)的圖形；8.會求一些最值應用問題；9.會求曲率和曲率半徑；10.會用二分法和切線法求一些方程實根的近似值。（四）分析綜合1.綜合運用中值定理、介值定理和函數(shù)的單調(diào)性等證明方程實根的存在性和惟一性；2.綜合運用中值定理、函數(shù)的最（極）值和凹凸性等方面的知識及構(gòu)造性方法證明等式和不等式；3.綜合運用洛必達法則，泰勒公式和其他方法求末定式的極限；4.綜合運用函數(shù)的連續(xù)性、單調(diào)性、凹凸性和極值等方面的知識描繪函數(shù)的圖形。二

4、：教學內(nèi)容及學時分配根據(jù)教學實踐，建議本章的教學課數(shù)可一般控制在18學時（含習題課）左右，各節(jié)的學時分配大致如下：第一節(jié) 微分中值定理 2-3學時第二節(jié) 洛必達法則 2學時第三節(jié) 泰勒公式 2學時第四節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性 2學時第五節(jié) 函數(shù)的極值與最大值最小值 2-3學時第六節(jié) 函數(shù)圖形的描述 2學時第七節(jié) 曲率 1學時第八節(jié) 方程的近似解 1學時（選講）三：本章重點及難點1、 三個中值定理及泰勒公式2、 洛必達法則3、 函數(shù)的單調(diào)性，曲線的凹凸性與拐點4、 函數(shù)的極值概念及求法5、 函數(shù)的最值問題6、 函數(shù)圖形的描繪7、 弧微分、曲率的概念及計算、曲率半徑四：本章教學內(nèi)容的深化和拓

5、寬 柯西中值定理的幾何意義以及運用 洛必達法則 函數(shù)極值在實踐中的運用五：教學方法及注意事項本章的內(nèi)容比較多，要學好它，大家一定要抓住其中心內(nèi)容和主要特點，對本章中的思想方法要融會貫通，加深理解。首先要掌握中值定理的條件和結(jié)論，它是本章內(nèi)容的理論基礎，它建立了導數(shù)通向應用的橋梁。中值定理無論是在理論研究中還是在實際應用中都具有十分重要的作用。其次要掌握中值定理證明的思想方法構(gòu)造性證明方法。此方法是一個十分常用的數(shù)學思想方法，它不僅在中值定理的證明中，而且在不等式的證明，方程根的存在性及導數(shù)的應用中都具有廣泛的應用，它為我們提供了求未定型的極限的一種重要方法，大家一定要將前面所介紹過的求極限的方

6、法與洛必達法則結(jié)合起來，融會貫通，真正掌握和靈活使用洛必達法則。第四要熟悉和掌握導數(shù)的應用。利用導數(shù)可以研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，最值，曲線的凹凸性和拐點等，對它們的研究，最基本的方法是用它們的定義和判定定理，這是很重要的。要注意所研究的問題與導數(shù)之間的聯(lián)系，并加以比較。導數(shù)的應用問題的求法比較規(guī)范，步驟明確，簡單易懂，但在求解過程中要特別注意列表法的使用。注意要點：1 羅爾定理、拉格朗日定理、柯西中值定理的條件與結(jié)論中的共同點與不同點，并且知道它們之間的關系；羅爾定理是拉格朗日定理的特例；拉格朗日定理又是柯西中值定理的特例。2 注意羅爾、拉格朗日、柯西中值定理的中值定理的中值點是開區(qū)間內(nèi)的某一

7、點，而非區(qū)間內(nèi)的任意點或指定一點，換言之，這三個中值定理都僅“定性”地指出了中值點的存在性，而非“定量”地指明的具體數(shù)值。3 結(jié)合這三個中值定理在本節(jié)中的應用以及在以后各章節(jié)的應用，反復體會這些定理在微積分學的意義與作用。六：思考題和習題第一節(jié) 習題31 2，7，8，11，12，14第二節(jié) 習題32 1，4第三節(jié) 習題33 1，3，4，10第四節(jié) 習題34 1，3，4，7，8，9第五節(jié) 習題35 1，2，4，5，8，9，10第六節(jié) 習題36 1，2，3第七節(jié) 習題37 1，3，5七、教學方式（手段）本章主要采用講授新課的方式。第一節(jié) 微分中值定理一：內(nèi)容要點1費馬引理: f(x)在x0可導，且

8、在某個領域U(x0)內(nèi).2中值定理： 羅爾中值定理：且f(a)=f(b),使得 拉格朗日中值定理：，使得 柯西中值定理： 使得3推論 二：教學要求和學習注意點 教學要求：理解費爾馬引理和拉格朗日中值定理并了解柯西中值定理。1. 會用中值定理證明簡單的不等式和證明方程解的存在性。 學習注意點：1. 要注意羅爾、拉格朗日、柯西中值定理的條件與結(jié)論中的共同點與不同點，并且知道它們之間的關系：羅爾定理是拉格朗日定理的特例；拉格朗日定理又是柯西定理的特例。2. 要注意羅爾、拉格朗日、柯西中值定理的中值點是開區(qū)間（a,b）內(nèi)的某一點，而非區(qū)間內(nèi)的任意點或指定一點。換言之，這三個中值定理都僅“定性“地指出了

9、中值點的存在性，而非”定量“地指明的具體數(shù)值。3. 要結(jié)合這三個中值定理在本節(jié)中的應用以及在以后章節(jié)中的應用，反復體會這些定理在微積分學中意義與作用。 第二節(jié) 泰勒公式一：內(nèi)容要點：1泰勒中值定理 如果函數(shù)f(x)在含x0的某個開區(qū)間（a,b）內(nèi)具有直到(n+1)階導數(shù)，即 fDn+1(a,b),那么對于x(a,b),有相應的泰勒公式 ，其中 ，是x0與x之間的某個值。當x0=0時，（1）式稱為帶有拉格朗日余項的麥克勞林公式，即 2.帶有佩亞諾余項的泰勒公式 如果函數(shù)f(x)在含有x0的開區(qū)間（a, b）內(nèi)有連續(xù)的n階導數(shù)，則對于x(a,b),有 ，當x0=0時，（2）式稱為帶有佩亞諾余項的麥

10、克勞林公式，即 二：教學要求和學習注意點 教學要求： 1理解泰勒中值定理。了解ex,sinx,cosx,ln(1+x)等函數(shù)的麥克勞林公式，會用定理證明一些相關的命題。 2學習注意點：（1）要懂得泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的進一步的推廣，即拉格朗日中值定理是泰勒中值定理當n=0時的特例；并懂得 函數(shù)在一點x0附近.的近似表達式，比起函數(shù)的依次近似，高階泰勒多項式有更好的近似精度。（2）記住基本初等函數(shù)的帶有佩亞諾余項的麥克勞林公式：第三節(jié) 洛必達法則 一：內(nèi)容要點 在求0/0型或/型未定式極限時，在一定的條件下可以用洛必達法則。1（0/0型）： Limit(f(x)/g(x)=lim(f(

11、x)/g(x) (xx0) 2（/型）：Limit(f(x)/g(x)=lim(f(x)/g(x) (xx0)以上xx0的極限過程改為xx0+0，xx00，x, x+,或x時，公式仍然成立。 二：教學要求和學習注意點 教學要求：會用洛必達法則求各種類型的未定式極限，基本類型是？和？，而1. 對0*，±型未定式，可通過取倒數(shù)、通分等恒等變形化為0/0型或/型。2. 對00，1，0等冪指型未定式，可取對數(shù)化為0*型，然后化為0/0型或/型。 學習注意點：1. 要懂得洛必達法則是求0/0型與/型未定式極限的一種比較有效的方法，但也有一定的使用范圍：只有滿足條件lim(f(x)/g(x) (

12、xx0)存在或為（這時我們稱lim(f(x)/g(x) (xx0)有確定意義），用洛必達法則求的的極限Limit(f(x)/g(x)才是正確的，洛必達法則的條件是未定式存在極限的充分而非必要條件，換言之，當lim(f(x)/g(x) (xx0)不存在或也不為時，Limit(f(x)/g(x)仍然可能是確定的。2. 應注意洛必達法則不是求0/0型或與/型未定式的唯一方法。讀者在計算時應該結(jié)合使用等價無窮小的替換、帶有佩亞諾余項的泰勒公式等方法，以使計算簡便、準確。3. 在每一次使用洛必達法則前，都要驗證以下所求極限是否為0/0或/型未定式，否則就會出錯。 第四節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性 一：

13、內(nèi)容要點1函數(shù)單調(diào)性的判別法2函數(shù)的凸性極其判別法（1）定義 （2）判別法1。判別法2。（3）通常用f(x)=0的點（函數(shù)的駐點）和導數(shù)不存在的點來劃分并討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；用f(x)=0的點和二階導數(shù)不存在的點來劃分并討論函數(shù)的凹凸區(qū)間。 二：教學要求和學習注意點教學要求：1掌握用導數(shù)判別函數(shù)單調(diào)性的方法。2會用導數(shù)判斷函數(shù)的凹凸性。3會利用函數(shù)單調(diào)性與凹凸性證明某些不等式。學習注意點： 在討論函數(shù)形態(tài)（單調(diào)性與凹凸性）時，要注意一階導數(shù)和二階導數(shù)各自所起的作用，并進行比較以加深理解。第四節(jié) 函數(shù)的極值與最大值、最小值 一：內(nèi)容要點1. 函數(shù)的極值極其判別法(1) 函數(shù)的極值與極值點的定義(

14、2) 函數(shù)極值的判別法必要條件 若函數(shù)f(x)在區(qū)間I 內(nèi)連續(xù)且除了某些點外處處可導，則可疑極值點為駐點與不可導點。第一充分條件 第二充分條件2. 最大值與最小值(1) 某些優(yōu)先問題可歸結(jié)為求函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的最大值與最小值，求連續(xù)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a, b上最大（?。┲档囊话悴襟E是：（1） 求出f(x)在(a,b)內(nèi)的全部的駐點與不可導點x1, x2,。xn,;（2） 計算出函數(shù)值f(x1), f(x2), f(xn);以及f(a)與f(b);（3） 比較上述值的大小.(2有關最大（?。┲档膽脝栴}，其關鍵是建立目標函數(shù)。該函數(shù)的實際意義下的定義域稱為約束集或可行域。若f(x)在約束

15、I內(nèi)的駐點唯一，又根據(jù)問題的實際意義知f(x)的最大（?。┲荡嬖?，則該駐點即為最大（小）值點，不必另行判定。二：教學要求和學習注意點 教學要求：1理解函數(shù)的極值概念，掌握求函數(shù)極值的方法。2根據(jù)實際問題，會建立目標函數(shù)與約束集，從而解決有關的優(yōu)化問題。學習注意點：1要將極大（極?。┲蹬c最大（最小）值混為一談，要懂得它們的區(qū)別和聯(lián)系。2不要將極值點與駐點混為一談，要清楚駐點是對可導函數(shù)而言的，二極值點對不可導函數(shù)、甚至對不連續(xù)函數(shù)也是有意義的，只有可導函數(shù)的極值點才是駐點；而可導函數(shù)的駐點僅是可疑極值點。3要學會用極值判定條件來求函數(shù)的極值，但又要知道極值的判定條件是充分而不必要的。第六節(jié) 函數(shù)

16、圖形的描述 一：內(nèi)容要點：函數(shù)的圖形為我們提供了函數(shù)的直觀的幾何形象，這對于研究函數(shù)很有幫助，以前作函數(shù)圖形的基本方法是描點法，這種方法的最大缺陷在于選點的盲目性，不能把握整個圖形的特點和趨勢。前面，我們應用導數(shù)給出了一套研究函數(shù)性態(tài)的方法，將其應用于函數(shù)作圖上，就可以得到一種遠比秒點法更有效的作圖方法微分作圖法。應用微分作圖法去作函數(shù)圖形，是前幾節(jié)所講知識的綜合性應用，二：教學要求和學習注意點函數(shù)作圖的步驟如下：（1）確定函數(shù)的定義域，判斷函數(shù)是否有奇偶性，周期性；（2）求出y，y，并求出使f(x)=0；f(x)=0在定義域內(nèi)的所有點及y，y不存在點；（3）這些點將定義域分成若干小區(qū)間，在各小區(qū)間內(nèi)確定y，y的符號，由此確定每個區(qū)間上函數(shù)圖像的單調(diào)性，凹凸性，極值點和拐點。（4）確定函數(shù)的漸進線；（5）求出極值點，拐點對應的縱坐標，必要時可再補充一些特殊點；（6）描點并根據(jù)上述結(jié)果繪出函數(shù)的圖形。第七節(jié) 曲率一：內(nèi)容要點1光滑曲線上一點M處的曲率的定義：圓的曲率為該圓半徑的倒數(shù)k=1/R；直線的曲率為0。2曲率公式：3曲率半徑、曲率圓與曲率中心曲率半徑：設曲線C在點M處的曲率半徑為，在M處作法線，取C的凹向的一側(cè)的法線上一點D，滿足|DM|=,則D是曲率中心；以D為中心，為半徑的圓是曲線C在M處的曲率圓。