知識(shí)點(diǎn)9應(yīng)力狀態(tài)理論和強(qiáng)度理論

1、知識(shí)點(diǎn)9:應(yīng)力狀態(tài)理論和強(qiáng)度理論一、應(yīng)力狀態(tài)理論（一）應(yīng)力狀態(tài)的概念1. 一般情況下，受力構(gòu)件內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力是不同的，且同一點(diǎn)的不同方位截 面上應(yīng)力也不相同。過(guò)構(gòu)件內(nèi)某一點(diǎn)不同方位上總的應(yīng)力情況， 稱為該點(diǎn)的應(yīng)力 狀態(tài)。2 .研究一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，通常是圍繞該點(diǎn)截取一個(gè)微小的正六面體（即單 元體）來(lái)考慮。單元體各面上的應(yīng)力假設(shè)是均勻分布的， 并且每對(duì)互相平行截面 上的應(yīng)力，其大小和性質(zhì)完全相同，三對(duì)平面上的應(yīng)力代表通過(guò)該點(diǎn)互相垂直的 三個(gè)截面上的應(yīng)力。當(dāng)單元體三個(gè)互相垂直截面上的應(yīng)力已知時(shí)， 可通過(guò)截面法 確定該點(diǎn)任一截面上的應(yīng)力。截取單元體時(shí)，應(yīng)盡可能使其三個(gè)互相垂直截面的 應(yīng)力為已知。3 .單

2、元體上切應(yīng)力等于零的截面稱為主平面，主平面上的正應(yīng)力稱為主應(yīng) 力。過(guò)受力構(gòu)件內(nèi)任一點(diǎn)，一定可以找到一個(gè)由三個(gè)相互垂直主平面組成的單元 體，稱為主單元體。它的三個(gè)主應(yīng)力通常用；1，二2和二3來(lái)表示，它們按代數(shù)值 大小順序排列，即G ；2 ；3。4. 一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)常用該點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力來(lái)表示，根據(jù)三個(gè)主應(yīng)力的情況 可分為三類：只有一個(gè)主應(yīng)力不等于零時(shí)，稱為單向應(yīng)力狀態(tài)；有兩個(gè)主應(yīng)力不 等于零時(shí)，稱為二向應(yīng)力狀態(tài)（或平面應(yīng)力狀態(tài)）；三個(gè)主應(yīng)力都不等于零時(shí)， 稱為三向應(yīng)力狀態(tài)。其中二向和三向應(yīng)力狀態(tài)稱為復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)，單向應(yīng)力狀態(tài) 稱為簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)。5. 研究一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)是對(duì)構(gòu)件進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算的基礎(chǔ)。（

3、二）平面應(yīng)力狀態(tài)的分析1.分析一點(diǎn)的平面應(yīng)力狀態(tài)有解析法和圖解法兩種方法，應(yīng)用兩種方法時(shí) 都必須已知過(guò)該點(diǎn)任意一對(duì)相互垂直截面上的應(yīng)力值，從而求得任一斜截面上的 應(yīng)力。2 應(yīng)力圓和單元體相互對(duì)應(yīng)，應(yīng)力圓上的一個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)于單元體的一個(gè)面， 應(yīng)力圓上點(diǎn)的走向和單元體上截面轉(zhuǎn)向一致。 應(yīng)力圓一點(diǎn)的坐標(biāo)為單元體相應(yīng)截面上的應(yīng)力值；單元體兩截面夾角為：，應(yīng)力圓上兩對(duì)應(yīng)點(diǎn)中心角為2應(yīng)力圓與匚軸兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為單元體的兩個(gè)主應(yīng)力值；應(yīng)力圓的半徑為單元體的最 大切應(yīng)力值。3 .在平面應(yīng)力狀態(tài)中，過(guò)一點(diǎn)的所有截面中，必有一對(duì)主平面，也必有一 對(duì)與主平面夾角為4 5 的最大(最小)切應(yīng)力截面。4.在平面應(yīng)力狀態(tài)中，

4、任意兩個(gè)相互垂直截面上的正應(yīng)力之和等于常數(shù)。圖9-1 (a)所示單元體為平面應(yīng)力狀態(tài)的一般情況。單元體上，與 x軸垂直 的平面稱為x平面，其上有正應(yīng)力ex和切應(yīng)力岡；與y軸垂直的平面稱為y平面, 其上有正應(yīng)力Cy和切應(yīng)力.yx ；與z軸垂直的z平面上應(yīng)力等于零，該平面是主平 面，其上主應(yīng)力為零。平面應(yīng)力狀態(tài)也可用圖9-1 (b)所示單元體的平面圖來(lái)表示。設(shè)正應(yīng)力以拉應(yīng)力為正，切應(yīng)力以截面外法線順時(shí)針轉(zhuǎn)90所得的方向?yàn)檎?，反之為?fù)。(a)(b)(c)圖9-1圖9-1 (c)所示斜截面的外法線與x軸之間的夾角為規(guī)定角從x軸逆 時(shí)針向轉(zhuǎn)到截面外法線n方向時(shí)為正。：斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力為:J =y

5、 JYy十C0S2aJySI n2a2 xysin2： - xy cos2：最大正應(yīng)力和最小正應(yīng)力2xy-maxCmin最大正應(yīng)力和最小正應(yīng)力是平面應(yīng)力狀態(tài)的兩個(gè)主應(yīng)力，其所在截面即為兩個(gè)主 平面，方位由下式確定：tan2： 0 =2 xy二x最大切應(yīng)力和最小切應(yīng)力T-maxT min2xy最大切應(yīng)力和最小切應(yīng)力所在截面相互垂直，且和兩個(gè)主平面成45，其方位由下式確定:tan2： j2xy（三）平面應(yīng)力狀態(tài)分析的圖解法1 在G .直角坐標(biāo)系中，平面應(yīng)力狀態(tài)可用一個(gè)圓表示，如圖G + CT ）I7Jf其圓心坐標(biāo)為 ,0，半徑為J y +壬；。該圓周上任I 2 丿 I 2丿都對(duì)應(yīng)著單元體上某一個(gè)：

6、截面上的應(yīng)力，這個(gè)圓稱為應(yīng)力圓。9-2所示。，點(diǎn)的坐標(biāo)*CF + ；2 ；3。如果單元體的各面上既有正應(yīng)力又有切應(yīng)力時(shí),不計(jì)切應(yīng)力對(duì)單元棱邊的長(zhǎng)度變化的影響，廣義虎克定律為-(二 y），xyGItE),vyzyzG+ CTy)lYzxzxG2. 體積變形(h)（a）受力前的徹幾休積V(I+EpdrZ g兒也卸引甘陽(yáng)Lev圖9.3圖9-3所示單元體的單位體積變化（即體積變形）為y= ；l+ 邊+ 31設(shè)平均主應(yīng)力二m=（二l+ ；2 + - 3），則體積改變虎克定律為3式中K，稱為體積彈性模量。3（1 _2卩）（六）平面應(yīng)變分析1 本章所指平面應(yīng)變狀態(tài)是平面應(yīng)力所對(duì)應(yīng)的應(yīng)變狀態(tài)，不同于彈性力學(xué)

7、中的平面應(yīng)變狀態(tài)，研究的范圍僅限于應(yīng)變發(fā)生在同一平面內(nèi)的平面應(yīng)變狀態(tài)。 切應(yīng)變?yōu)榱惴较蛏系木€應(yīng)變稱為主應(yīng)變，各向同性材料的主應(yīng)力和主應(yīng)變方向相 同。2 在用實(shí)測(cè)方法研究構(gòu)件的變形和應(yīng)力時(shí)，一般是用電測(cè)法測(cè)出一點(diǎn)處幾 個(gè)方向的應(yīng)變，然后確定主應(yīng)變及其方向，進(jìn)行應(yīng)變分析。3 .在進(jìn)行一點(diǎn)的平面應(yīng)變分析時(shí)，首先應(yīng)測(cè)定該點(diǎn)的三個(gè)應(yīng)變分量；x，；y和xy。由于切應(yīng)變難以直接測(cè)量，一般先測(cè)出三個(gè)選定方向：-1，-2，: 3上的線應(yīng)變，然后求解下列聯(lián)立方程式Ex 十 gy*X Eyc xy . _名刊=+cos2ct i sin 2.1a 2 2 2名x+名y名xgy小xy .2 j =+cos2a 2 s

8、in 2一2022 2 2 2 2名X 十 EyZxy，xy . _j =+cos2a3 一 sin 2a 3嚴(yán) 223 23即可求得x , y和xyo實(shí)際測(cè)量時(shí)，常把：1, ?2 , :-3選取便于計(jì)算的數(shù)值，得到簡(jiǎn)單的計(jì)算式，以 簡(jiǎn)化計(jì)算。如選取、曲=0 ，-；2=45，-3=90 ，則得到、二;o90yxy主應(yīng)變的數(shù)值亠己2-09022(- ) ( ) 2 045 丿 V 4590 /主應(yīng)變方向tan2： 02 ；45 一 ；0 一 ；900904一點(diǎn)的應(yīng)變分析完成后，可用廣義虎克定律求得該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。、強(qiáng)度理論（一）強(qiáng)度理論的概念1桿件在軸向拉伸時(shí)的強(qiáng)度條件為N乞A式中許用應(yīng)力為材料

9、破壞時(shí)的應(yīng)力，塑性材料以屈服極限 三（或二0.2） n為其破壞應(yīng)力，而脆性材料則以強(qiáng)度極限6為其破壞應(yīng)力。簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)的強(qiáng)度條件是根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果建立的。2 材料的破壞形式大致可分為兩種類型：一種是塑性屈服；另一種是脆性 斷裂。不同的破壞形式有不同的破壞原因。3 關(guān)于材料破壞原因的假說(shuō)稱為強(qiáng)度理論。這些假說(shuō)認(rèn)為在不同應(yīng)力狀態(tài)下，材料某種破壞形式是由于某一種相同的因素引起的。這樣，便可以利用軸向拉伸的試驗(yàn)結(jié)果，建立復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度條件。（二）四種常用的強(qiáng)度理論1 最大拉應(yīng)力理論（第一強(qiáng)度理論）這一理論認(rèn)為：最大拉應(yīng)力是引起材料斷裂破壞的主要因素。第一強(qiáng)度理論 的強(qiáng)度條件是2 最大拉應(yīng)變理論（第二

10、強(qiáng)度理論）這一理論認(rèn)為：最大拉應(yīng)變是引起材料斷裂破壞的主要因素。第二強(qiáng)度理論 的強(qiáng)度條件是T1（；二+ ；3）乞這一理論假設(shè)材料直到斷裂前服從虎克定律。3 最大切應(yīng)力理論（第三強(qiáng)度理論）這一理論認(rèn)為：材料發(fā)生塑性屈服的主要因素是最大切應(yīng)力。第三強(qiáng)度理論 的強(qiáng)度條件是4形狀改變比能理論（第四強(qiáng)度理論）這一理論認(rèn)為：材料發(fā)生塑性屈服的主要因素是形狀改變比能。第四強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件是（三）強(qiáng)度理論的應(yīng)用與相當(dāng)應(yīng)力1 運(yùn)用強(qiáng)度理論解決工程實(shí)際問(wèn)題，應(yīng)當(dāng)注意其適用范圍。脆性材料一般 是發(fā)生脆性斷裂，應(yīng)選用第一或第二理論，而塑性材料的破壞形式大多是塑性屈 服，應(yīng)選用第三或第四強(qiáng)度理論。2 工程實(shí)際中，常將

11、強(qiáng)度條件中與許用應(yīng)力二進(jìn)行比較的應(yīng)力稱為相當(dāng) 應(yīng)力，用Cxd表示。上述四種強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件，可寫成統(tǒng)一的形式；xdi _叮 (i = 1, 2, 3, 4)四種強(qiáng)度理論的相當(dāng)應(yīng)力分別是xd 1 =1Cxd 2 = ；1一 2+ ；3). xd 3 = 1 一 3xd42 (二1 -二 2)2 2(二 2 -二 3)(二 3 7)三、難題解析【例1】一點(diǎn)處的平面應(yīng)力狀態(tài)如圖9-4 (a)所示。已知=60MPa ,=-40MPa , .xy = -30MPa , = -30。試求(1) 斜面上的應(yīng)力；(2) 主應(yīng)力、主平面；(3) 繪出主應(yīng)力單元體。(a)(b)圖9-4解：(1)斜面上的應(yīng)力CT

12、 + CTCF CFx y x y cos2： - xy sin2： 口22xy60 -402.60 402cos(-60 ) 30sin(-60 )= 9.02MPaJ x . . ysin 2：亠 xycos2：2 xy60 40 .sin(一60 ) -30cos(-60 )-58.3MPa(2)主應(yīng)力、主平面maxx y)22xy = 68.3MPa-minx y)22xy - -48.3MPa所以“十=68.3MPa, “-2=0,二3 二-48.3MPa主平面的方位角為tan2： 02 xy60 0.660 40：0 =15.5：-0 =15.590 =105.5由此可知，主應(yīng)力-1方向：0=15.5，主應(yīng)力二3方向：0 =105.5(3)繪制主應(yīng)力單元體，如圖9-4 (b)所示?！纠?】如圖9-5所示圓柱體，在剛性圓柱形凹模中軸向受壓，壓應(yīng)力為二。試 計(jì)算圓柱體的主應(yīng)力與軸向變形，材料的彈性模量與泊松比分別為柱長(zhǎng)度為I。圖9-5解：在凹模中的軸向壓縮圓柱體，由于其橫向變形受阻，其側(cè)面也受壓，壓