數(shù)學223《二項分布及其應用--獨立重復試驗

1、復習引入復習引入2.2.3二項分布及獨立重復試驗俺投籃，也是俺投籃，也是講概率地！講概率地！情境創(chuàng)設情境創(chuàng)設OhhhhOhhhh，進球拉！，進球拉！第一投，我要努力！第一投，我要努力！又進了，不愧又進了，不愧是姚明啊是姚明啊 ！第二投，動作要注意！第二投，動作要注意！第三次登場了！第三次登場了！這都進了！這都進了！太離譜了！太離譜了！第三投，厲害了??！第三投，厲害了??！第四投，大灌藍哦！第四投，大灌藍哦！ 姚明作為中鋒，他職業(yè)生涯的罰球姚明作為中鋒，他職業(yè)生涯的罰球命中率為命中率為0 08 8，假設他每次命中率相同，假設他每次命中率相同, ,請問他請問他4投投3中中的概率是多少的概率是多少?

2、姚明罰球一次姚明罰球一次,命中的概率是命中的概率是0.8, 引例引例1：他在練習罰球時，投籃：他在練習罰球時，投籃4次次,恰好全都投中恰好全都投中 的概率是多少的概率是多少?結論結論:1).每次試驗是在同樣的條件下進行的每次試驗是在同樣的條件下進行的;2).各次試驗中的事件是相互獨立的各次試驗中的事件是相互獨立的3).每次試驗都只有兩種結果每次試驗都只有兩種結果:發(fā)生與不發(fā)生發(fā)生與不發(fā)生4).每次試驗每次試驗,某事件發(fā)生的概率是相同的某事件發(fā)生的概率是相同的.引例引例 2.他投籃他投籃4次次,恰好都沒有投中的概率是多少恰好都沒有投中的概率是多少?在此問題中，在此問題中，姚明罰球姚明罰球4次次,

3、這這4次投籃是否次投籃是否獨立？每次投中的概率是多少？獨立？每次投中的概率是多少？ （獨立的，重復的）（獨立的，重復的）判斷下列試驗是不是獨立重復試驗：判斷下列試驗是不是獨立重復試驗：1).1).依次投擲四枚質地不同的硬幣依次投擲四枚質地不同的硬幣,3,3次正面向上次正面向上; ;2).2).某人射擊某人射擊, ,擊中目標的概率是穩(wěn)定的擊中目標的概率是穩(wěn)定的, ,他連續(xù)射擊他連續(xù)射擊 了了1010次次, ,其中其中6 6次擊中次擊中; ;3).3).口袋裝有口袋裝有5 5個白球個白球,3,3個紅球個紅球,2,2個黑球個黑球, ,從中從中依次依次 抽取抽取5 5個球個球, ,恰好抽出恰好抽出4

4、4個白球個白球; ;4).4).口袋裝有口袋裝有5 5個白球個白球,3,3個紅球個紅球,2,2個黑球個黑球, ,從中從中有放回有放回 的抽取的抽取5 5個球個球, ,恰好抽出恰好抽出4 4個白球個白球問題問題1：在：在4次投籃中姚明恰好命中次投籃中姚明恰好命中1次的概率是多少次的概率是多少?分解問題：分解問題：1)在在4次投籃中他恰好命中次投籃中他恰好命中1次的情況有幾種次的情況有幾種? (1)(2)(3)(4) 表示投中表示投中, , 表示沒投中表示沒投中, ,則則4 4次投籃中投中次投籃中投中1 1次的情況有以下四種次的情況有以下四種: :2)說出每種情況的概率是多少說出每種情況的概率是多

5、少? 3)上述四種情況能否同時發(fā)生上述四種情況能否同時發(fā)生? 學生活動學生活動11340.8(1 0.8)0.03PC130.8(1 0.8)問題問題2：在：在4次投籃中姚明恰好命中次投籃中姚明恰好命中2次的次的概率是多少概率是多少?問題：問題：在在4次投籃中姚明恰好命中次投籃中姚明恰好命中3次的次的概率是多少概率是多少?22240.8(1 0.8)0.15PC3340.8(1 0.8)0.41PC問題：問題：在在n次投籃中姚明恰好命中次投籃中姚明恰好命中k次的次的概率是多少概率是多少?nkppCkXPknkkn, 2 , 1 , 0)1 ()(，意義建構意義建構).,2, 1 ,0()1()

6、(nkPPCkPknkknn在在 n 次獨立重復試驗中，如果事件次獨立重復試驗中，如果事件在其中次試驗中發(fā)生的概率是在其中次試驗中發(fā)生的概率是，那么在那么在n次獨立重復試驗中這個事件恰次獨立重復試驗中這個事件恰好發(fā)生好發(fā)生 k 次的概率是次的概率是:1).公式適用的條件公式適用的條件2).公式的結構特征公式的結構特征knkknnppCkP )1()(（其中（其中k = 0，1，2，n ）實驗總次數(shù)實驗總次數(shù)事件事件 A 發(fā)生的次數(shù)發(fā)生的次數(shù)事件事件 A 發(fā)生的概率發(fā)生的概率發(fā)生的概率發(fā)生的概率事件事件A意義理解意義理解此公式僅用于獨立重復試驗此公式僅用于獨立重復試驗項展開式中的第）（是1k n

7、PP1二項分布公式二項分布公式變式變式5.5.填寫下列表格：填寫下列表格：姚明投中姚明投中次數(shù)次數(shù)X X0 01 12 23 34 4相應的相應的概率概率P P數(shù)學運用數(shù)學運用44()0.8(10.8)kkkPXkC（其中（其中k = 0，1，2，4 ）XB記為（4,0.8)隨機變量隨機變量X的分布列的分布列:并稱并稱p為成功概率。為成功概率。與二項式定與二項式定理有聯(lián)系嗎理有聯(lián)系嗎?我們稱這樣的隨機變量我們稱這樣的隨機變量服從服從二項分布二項分布,記作記作 ,其中其中n，p為參數(shù)為參數(shù),并記并記 在一次試驗中某事件發(fā)生的概率是在一次試驗中某事件發(fā)生的概率是p，那么在，那么在n次次獨立重復試驗

8、中這個事件獨立重復試驗中這個事件恰發(fā)生恰發(fā)生x x次次,顯然顯然x x是一個隨機是一個隨機變量變量. .01knp于是得到隨機變量于是得到隨機變量的概率分布如下：的概率分布如下：00nnC p q111nnC p q kkn knC p q 0nnnC p q(1)( ; , )kkn knC ppb k n p ( , )Bn px x( ,)MB nNx x ()(0,1,2,)kn kMNMnNC CPkkmCx x min(, )mM n (其中其中變式變式6.姚明姚明在在4次投籃中至少投中次投籃中至少投中1次的概率是多少次的概率是多少?解法一：正向思考解法一：正向思考解法二解法二:

9、逆向思考逆向思考變式變式7.姚明姚明在在4次投籃中至多投中次投籃中至多投中3次的概率是多少次的概率是多少?數(shù)學運用數(shù)學運用變式變式5.5.填寫下列表格：填寫下列表格： X0 01 12 23 34 4 P P0.00160.0256 0.15360.40960.4096變式變式8.8.麥蒂投籃的命中率是麥蒂投籃的命中率是0.7,0.7,姚明和麥蒂進行投姚明和麥蒂進行投籃比賽籃比賽, ,每人投每人投4 4次次,(1),(1)麥蒂投進麥蒂投進3 3次的概率是多少次的概率是多少? ?麥蒂投麥蒂投中中次數(shù)次數(shù)0 01 12 23 34 4相應的相應的概率概率姚明投姚明投中次數(shù)中次數(shù)0 01 12 23

10、 34 4相應的相應的概率概率0.00160.0256 0.15360.40960.4096(2)(2)兩人進球數(shù)相等的概率是多少兩人進球數(shù)相等的概率是多少? ?例例1 1 設一射手平均每射擊設一射手平均每射擊1010次中靶次中靶4 4次，求在五次射擊中次，求在五次射擊中擊中一次，擊中一次，第二次擊中，第二次擊中，擊中兩次，擊中兩次，第二、三第二、三兩次擊中，兩次擊中，至少擊中一次的概率至少擊中一次的概率由題設，此射手射擊由題設，此射手射擊1 1次，中靶的概率為次，中靶的概率為0.40.4 n n5 5，k k1 1，應用公式得，應用公式得 事件事件“第二次擊中第二次擊中”表示第一、三、四、五

11、次擊中或表示第一、三、四、五次擊中或擊不中都可，它不同于擊不中都可，它不同于“擊中一次擊中一次”，也不同于，也不同于“第二次第二次擊中，其他各次都不中擊中，其他各次都不中”，不能用公式它的概率就是，不能用公式它的概率就是0.40.4n n5 5，k k2 2，“第二、三兩次擊中第二、三兩次擊中”表示第一次、第四次及第五表示第一次、第四次及第五次可中可不中，所以概率為次可中可不中，所以概率為0.40.40.40.40.160.16設設“至少擊中一次至少擊中一次”為事件為事件B B，則，則B B包括包括“擊中一次擊中一次”，“擊中兩次擊中兩次”，“擊中三次擊中三次”，“擊中四次擊中四次”，“擊中擊

12、中五次五次”，所以概率為，所以概率為P(B)P(B)P P5 5(1)(1)P P5 5(2)(2)P P5 5(3)(3)P P5 5(4)(4)P P5 5(5)(5) 0.25920.25920.34560.34560.23040.23040.07680.07680.010240.01024 0.922240.922241P5 5 (0)例例1 1 設一射手平均每射擊設一射手平均每射擊1010次中靶次中靶4 4次，求在五次射擊中次，求在五次射擊中擊中一次，擊中一次，第二次擊中，第二次擊中，擊中兩次，擊中兩次，第二、三第二、三兩次擊中，兩次擊中，至少擊中一次的概率至少擊中一次的概率例例2

13、某氣象站天氣預報的準確率為某氣象站天氣預報的準確率為80%,計算計算(結果保留結果保留兩個有效數(shù)字兩個有效數(shù)字): (1) 5次預報中恰有次預報中恰有4次準確的概率次準確的概率;(2) 5次預報中至少有次預報中至少有4次準確的概率。次準確的概率。解解:(1) 記記預報預報1次次,結果準確結果準確”為事件為事件A.預報預報5次相當次相當于作于作5次獨立重復試驗次獨立重復試驗,根據(jù)根據(jù)n次獨立重復試驗中事件發(fā)次獨立重復試驗中事件發(fā)生生k次的概率公式次的概率公式, 5次預報中恰有次預報中恰有4次準確的概率是：次準確的概率是：4 44 45 5- -4 45 55 54 4P P ( (4 4) )

14、= = C C 0 0. .8 8 ( (1 1- - 0 0. .8 8) )= = 5 5 0 0. .8 8 0 0. .2 20 0. .4 41 1答答: 5次預報中恰有次預報中恰有4次準確的概率約為次準確的概率約為0.41.例例2 某氣象站天氣預報的準確率為某氣象站天氣預報的準確率為80%,計算計算(結果保留結果保留兩個有效數(shù)字兩個有效數(shù)字): (1) 5次預報中恰有次預報中恰有4次準確的概率次準確的概率;(2) 5次預報中至少有次預報中至少有4次準確的概率。次準確的概率。(2) 5次預報中至少有次預報中至少有4次準確的概率次準確的概率,就是就是5次預報中恰次預報中恰有有4次準確的

15、概率與次準確的概率與5次預報都準確的概率的和次預報都準確的概率的和,即即:5555445-4445-45 5555-5555-55 54545P =P (4)+P (5)P =P (4)+P (5)= C 0.8 (1-0.8)= C 0.8 (1-0.8)+C 0.8 (1-0.8)+C 0.8 (1-0.8)= 50.8 0.2+0.8= 50.8 0.2+0.80.410+0.3280.740.410+0.3280.74答答: 5次預報中至少有次預報中至少有4次準確的概率約為次準確的概率約為0.74.例例3 某射手每次射擊擊中目標的概率是某射手每次射擊擊中目標的概率是0.8，求這名射手，

16、求這名射手在在10次射擊中，次射擊中，（1）恰有）恰有8次擊中目標的概率；次擊中目標的概率；（2）至少有）至少有8次擊中目標的概率。次擊中目標的概率。解：設解：設X為擊中目標的次數(shù)，則為擊中目標的次數(shù)，則XB(10,0.8)(1)在在10次射擊中，恰有次射擊中，恰有8次擊中目標的概率為次擊中目標的概率為30. 0)8 . 01 (8 . 0)8(8108810CXP(2)在在10次射擊中，至少有次射擊中，至少有8次擊中目標的概率為次擊中目標的概率為)10()9()8()8(XPXPXPXP68. 0)8 . 01 (8 . 0)8 . 01 (8 . 0)8 . 01 (8 . 0101010

17、101091099108108810CCC1獨立重復試驗是在同樣條件下重復地，獨立重復試驗是在同樣條件下重復地，各次之間獨立地進行的一種試驗，在這種試各次之間獨立地進行的一種試驗，在這種試驗中，每一次試驗的結果只有兩種，即事件驗中，每一次試驗的結果只有兩種，即事件要么發(fā)生要么不發(fā)生，并且任何一次試驗中要么發(fā)生要么不發(fā)生，并且任何一次試驗中事件發(fā)生的概率都是相等的。事件發(fā)生的概率都是相等的。小結：小結：2n次獨立重復試驗中某事件恰好發(fā)生次獨立重復試驗中某事件恰好發(fā)生k次的概率是次的概率是:knkknnPPCkP)1 ()(記憶記憶:它是它是nPP)1(展開式的第展開式的第k+1項項3例例1.設設

18、3次獨立重復試驗中，事件次獨立重復試驗中，事件A發(fā)發(fā)生的概率相等，若已知生的概率相等，若已知A至少發(fā)生一至少發(fā)生一次的概率等于次的概率等于19/27，求事件，求事件A在一次在一次試驗中發(fā)生的概率。試驗中發(fā)生的概率。31321278127191133PPPPPA，）（，）（則則：，率率為為在在一一次次試試驗驗中中發(fā)發(fā)生生的的概概解解法法一一：設設事事件件31271913271913132719113322333232231PPPPPPPPPPCPPCPPCPA:，）（）（）（）（）（則則：，率率為為在在一一次次試試驗驗中中發(fā)發(fā)生生的的概概設設事事件件解解法法二二例例2.甲、乙兩個籃球運動員投籃甲

19、、乙兩個籃球運動員投籃命中率為命中率為0.7及及0.6,若每人各投若每人各投3次次,試求甲至少勝乙試求甲至少勝乙2個進球的概率個進球的概率 021952060170333.)(P）（）（個個球球甲甲勝勝31232233(2)0.70.6 1 0.60.7 (1 0.7) (1 0.6)0.0998840.0256640.125548PCC甲勝 球 （）（）甲至少勝乙甲至少勝乙2個進球的概率為個進球的概率為0.021952+0.125548=0.1475 例例3 甲，乙兩人進行五局三勝制的乒乓球比賽，若甲，乙兩人進行五局三勝制的乒乓球比賽，若 甲每局獲勝的概率是甲每局獲勝的概率是0.6，乙每局獲

20、勝的概率是，乙每局獲勝的概率是0.4。 （1）求甲以）求甲以3:0獲勝的概率；獲勝的概率；（2）求甲以）求甲以3:1獲勝的概率；獲勝的概率；（3）求甲以）求甲以3:2獲勝的概率。獲勝的概率。解解（1）記）記“在一局比賽中，甲獲勝在一局比賽中，甲獲勝”為事件為事件A，甲，甲3:0獲勝相當于在獲勝相當于在3次獨立重復試驗中事件次獨立重復試驗中事件A發(fā)生了發(fā)生了3次，次，根據(jù)根據(jù)n次獨立重復試驗中事件發(fā)生次獨立重復試驗中事件發(fā)生k次的概率公式次的概率公式,甲甲3:0獲勝的概率是：獲勝的概率是：3333133133P =P (3)= C 0.6 = 0.216P =P (3)= C 0.6 = 0.2

21、16答：答：甲甲3:0獲勝的概率是獲勝的概率是0.216 例例3 甲，乙兩人進行五局三勝制的乒乓球比賽，若甲，乙兩人進行五局三勝制的乒乓球比賽，若 甲每局獲勝的概率是甲每局獲勝的概率是0.6，乙每局獲勝的概率是，乙每局獲勝的概率是0.4。 （1）求甲以）求甲以3:0獲勝的概率；獲勝的概率；（2）求甲以）求甲以3:1獲勝的概率；獲勝的概率；（3）求甲以）求甲以3:2獲勝的概率。獲勝的概率。(2)甲甲3:1獲勝即甲在前獲勝即甲在前3局中有局中有2局獲勝，且第局獲勝，且第4局局獲勝。記獲勝。記 “甲在前甲在前3局中有局中有2局獲勝局獲勝”為事件為事件 ，“甲在第甲在第4局獲勝局獲勝”為事件為事件 ，由于它們是相互，由于它們是相互獨立事件，則甲獨立事件，則甲3:1獲勝的概率是：獲勝的概率是：1A2A)()()(21212APAPAAPP2592. 06 . 0)6 . 01 (6 . 0223 C答：答：甲甲3:1獲勝的概率是獲勝的概率是0.2592 例例3 甲，乙兩人進行五局三勝制的乒乓球比賽，若甲，乙兩人進行五局三勝制的乒乓球比賽，若 甲每局獲勝的概率是甲每局獲勝的概率是0.6，乙每局獲勝的概率是，乙每局獲勝的概率是0.4。 （1）求甲以）求甲以3:0獲勝的概率；獲勝的概率