證明線段相等的方法(共10頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上平面幾何中線段相等的證明幾種方法平面幾何中線段相等的證明看似簡(jiǎn)單，但方法不當(dāng)也會(huì)帶來麻煩，特別是在有限的兩個(gè)小時(shí)考試中。恰當(dāng)選用正確的方法，可取得事半功倍的效果。一、利用全等三角形的性質(zhì)證明線段相等這種方法很普遍，如果所證兩條線段分別在不同的三角形中，它們所在三角形看似全等，或者，通過簡(jiǎn)單處理，它們所在三角形看似全等，可考慮這種方法。例1如圖，C是線段AB上一點(diǎn)，ACD和BCE是等邊三角形。求證：AE=BD。證明 ACB和BCE都是等邊三角形ACD=60，BCE=60，DCE=60ACE=ACDDCE=120BCD=BCEDCE=120AC=CD，CE=CBACEDC

2、B（SAS）AE=DB例2如圖，已知ABC中，AB=AC，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)F在AC的延長(zhǎng)線上，且BE=CF，EF與BC交于D，求證：ED=DF。證明：過點(diǎn)E作EG/AF交BC于點(diǎn)GEGB=ACB，EGD=FCDAB=ACB=ACB，B=FGB，BE=GEBE=CF，GE=CF在EGD和FCD中，EGD=FCD，EDG=FDC，GE=CFEGDFCD（AAS） ED=FD二、利用等腰三角形的判定（等角對(duì)等邊）證明線段相等如果兩條所證線段在同一三角形中，證全等一時(shí)難以證明，可以考慮用此法。例1如圖，已知在ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上的一點(diǎn)，且BE=AC，延長(zhǎng)BE交AC于F。求證：AF

3、=EF。證明：延長(zhǎng)AD到G，使DG=AD，連結(jié)BG。AD=GD，ADC=GDB，CD=BDADCGDBAC=GB，F(xiàn)AE=BGEBE=ACBE=BG，BGE=BEGFAE=BGE=BEG=AEFAE=EF例2如圖，已知ABC中，AB=AC，DFBC于F，DF與AC交于E，與BA的延長(zhǎng)線交于D，求證：AD=AE。證明：DFBCDFB=EFC=90，D=90B，CEF=90CAB=AC，B=CD=CEFCEF=AEDD=AEDAD=AE三、利用平行四邊形的性質(zhì)證明線段相等如果所證兩線段在一直線上或看似平行，用上面的方法不易，可以考慮此法。例1如圖，ABC中，C=90，A=30，分別以AB、AC為邊

4、在ABC的外側(cè)作正ABE和正ACD，DE與AB交于F，求證：EF=FD。證明：過D作DOAC交AB于點(diǎn)OOD垂直平分AC，ACB=90BCACO點(diǎn)必為AB的中點(diǎn)，連結(jié)EO，則EOABCAB=30，BAE=CAD=60ADAB，AEACOE/AD，AE/OD四邊形ODAE為平行四邊形EF=FD例2如圖，AD是ABC的中線，過DC上任意一點(diǎn)F作EG/AB，與AC和AD的延長(zhǎng)線分別交于G和E，F(xiàn)H/AC，交AB于點(diǎn)H。求證：HG=BE。證明：延長(zhǎng)AD到A”，使DA”=AD又BD=CD四邊形BACA”是平行四邊形BA=A”C由題設(shè)可知HFGA也是平行四邊形HF=AGHF/AC，又，HF=AG，BA=A

5、”CBH=EG四邊形BEGH是平行四邊形HG=BE四、利用中位線證明線段相等如果已知中含有中點(diǎn)或等邊等，用上面方法較難，可以考慮此法。例1如圖，以ABC的邊AB、AC為斜邊向外作直角三角形ABD和ACE，且使ABD=ACE，M是BC的中點(diǎn)。證明：DM=EM。證明：延長(zhǎng)BD至F，使DF=BD。延長(zhǎng)CE到G，使EG=CE，連結(jié)AF、FC，連結(jié)AG、BGBD=FD，ADB=ADF=90，AD=ADRtABDRtAFDBAD=FAD同理可得：CAE=GAEABD=ACEFAB=GAC，故FAC=GAB在ABG和AFC中，AB=AF，GAB=CAF，AG=ACABGAFCBG=FC又DF=DB，EC=E

6、G，M是BC的中點(diǎn)DM=EM，即DM=EM例2如圖，ABC中，C為直角，A=30，分別以AB、AC為邊在ABC的外側(cè)作正ABE與正ACD，DE與AB交于F。求證：EF=FD。證明：過D作DG/AB交EA的延長(zhǎng)線于G，可得DAG=30BAD=3060=90ADG=90DAG=30=CAB，AD=ACRtAGDRtABCAG=AB，AG=AEDG/ABEF/FD五、利用“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”證明線段相等。如果所證兩線段所在的圖形能構(gòu)成直角三角形，并且可能構(gòu)成斜邊及斜邊上的中線，用上面方法一時(shí)證不出來，可以考慮此法。例如圖，正方形ABCD中，E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)，EC和DF

7、相交于G，連接AG，求證：AG=AD。證明：作DA、CE的延長(zhǎng)線交于HABCD是正方形，E是AB的中點(diǎn)AE=BE，AEH=BECBEC=EAH=90AEHBEC（ASA）AH=BC，AD=AH又F是BC的中點(diǎn)RtDFCRtCEBDFC=CEBGCFGFC=ECBCEB=90CGF=90DGH=CGF=90DGH是RtAD=AHAG=AD證明線段相等的技巧要證明兩條線段相等，一般的思路是從結(jié)論入手，結(jié)合已知分析，主要看要證明的兩條線段分布的位置怎樣，無外乎有三種情況：（1）要證明的兩條線段分別在兩個(gè)三角形中；（2）要證明的兩條線段在同一個(gè)三角形中；（3）要證明的兩條線段在同一條直線上或其它情況。

8、一、如果要證明的兩條線段分別在兩個(gè)三角形中一般的思路是利用兩條線段所在的兩個(gè)三角形全等。例1 已知：如圖1，B、C、E三點(diǎn)在一條直線上，ABC和DCE均為等邊三角形，連結(jié)AE、DB，求證：AE=DB。分析：從結(jié)論入手，要證明線段AE=DB，即看AE和DB分別是ACE和BCD的一邊，因此，欲證AE=DB，只須證ACEBCD即可，而在這兩個(gè)三角形中，AC=BC，EC=DC，欲證ACEBCD，只須證ACE=DCB，又因?yàn)镈CE=ACE=，于是，DCE+ACD=ACB+ACD，即ACE=DCB，故結(jié)論可證，證明略。二、如果要證明的兩條線段在同一三角形中一般的思路是利用等角對(duì)等邊。例2 已知：如圖2，A

9、BC中AB=AC，D為BC上一點(diǎn)，過D作DFBC交AC于E，交BA的延長(zhǎng)線于F，求證：AE=AF。分析：證明同一三角形中兩條邊相等，一般不采用全等三角形，而且把兩邊所對(duì)的角遷移到相應(yīng)三角形中找出相等關(guān)系。證明：法一：因?yàn)镈FBC于D，所以F+B=，C+DCE=，又因?yàn)?，所以B=C，所以F=DCE=AEF，所以AE=AF。法二：考慮到AB=AC，即ABC是以BC為底的等腰三角形的特殊性（三線合一），過頂點(diǎn)A作AGBC于G，于是BAG=CAG，又因?yàn)镈FBC，所以AGDF，所以AEF=CAG，BAG=F，所以AEF=F，所以AE=AF。法三：考慮到要證的結(jié)論AE=AF，即要證AEF是等腰三角形，也

10、由等腰三角形的特殊性質(zhì)（三線合一）作輔助線，過頂點(diǎn)A作AHDF于H，于是，AHBC，所以有EAH=C，F(xiàn)AH=B，又有B=C，于是EAH=FAH，即AH是高又是角平分線，故AE=AF。三、如果要證明的線段在同一直線上或其它情況一般的思路是作輔助線構(gòu)成全等三角形或利用面積法來證明。例3 已知：如圖3，ABC中AB=AC，D是AB上一點(diǎn)，E是AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且BD=EC，連結(jié)DE交BC于F，求證：DF=EF。分析：已知線段相等，要證線段相等，一般的思路是利用等腰三角形或全等三角形來證明，但這兩條線段不在一個(gè)三角形中，且它們所在的兩個(gè)三角形顯然不全等。因此，欲證DE=DF，必須添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)

11、成證題所需的等腰三角形或全等三角形，這樣的輔助線有：（1）過D作DGAE交BC于G，則易證DGB=ACB，又因?yàn)锳B=AC，所以B=ACB，即DGB=B得DB=DG，從而得DG=EC，易證DGFECF。（2）過E作EHAB交BC的延長(zhǎng)線于H，易得B=H，又因?yàn)?=2，B=1，所以2=H，從而EH=EC=DB，易證DBFEHF。例4 已知：如圖5，在平行四邊形ABCD中，E、F分別為邊AD、CD上一點(diǎn)，且BE=BF，AGBF于F，CHBE于H，求證：AG=CH。分析：從結(jié)論入手，要證線段AG=CH就看線段AG、CH是否在同一三角形中的兩條邊或兩個(gè)三角形中的兩條邊，這里的AG、CH雖然在兩個(gè)三角形中，但顯然不全等，作輔助線構(gòu)成全等三角形也無法作，由于BE=BF要證明的線段AG、CH恰是這兩邊上的高，這時(shí)就應(yīng)該想到面積法，作輔助線構(gòu)成兩個(gè)等底等高的三角形或平行四邊形，很顯然結(jié)合已知條件可知構(gòu)成平行四邊形，延