矢量函數(shù)的導數(shù)

1、 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 參考教材參考教材:電磁場與電磁波電磁場與電磁波 孫玉發(fā)孫玉發(fā) 郭業(yè)才等郭業(yè)才等 編編 合肥工業(yè)大學出版社合肥工業(yè)大學出版社 第一章第一章 矢矢 量量 分分 析析1.1基本概念基本概念一、標量場與矢量場一、標量場與矢量場 如果在空間中一個區(qū)域內的每一點都有一物理量的確定值與之對應，在這個區(qū)域中就構成該物理量的場。v標量場：如果物理量是一個確定的數(shù)值的標量，這種場就叫標量場（scalar field），如溫度場、密度場、電位場等。v矢量場矢量場：如果物理量是一個既有確定數(shù)值又有確定方向的矢量，這種場就叫矢量場（vector field）。如水流中的速度場、地球表面的

2、重力場、 帶電體周圍的電場等。 xyzox1x1x1圖1-1 直角坐標系的單位矢量xyzo 圖1-2 直角坐標系矢量的分解1.直角坐標系中矢量表示法直角坐標系中矢量表示法 過空間任意點的坐標矢量記為 。 的方向不隨點位置的變化而變化。v在直角坐標系內的任一矢量(圖1-2)可表示 （1-1）v 分別是矢量 在方向 上的投影。v矢量的長度或模值 （記為 ）可從圖1-2中寫出 （1-2） ,xyze ee,xyze eex xy yz zAAAAeee,xyzA AAA,xyze eeAA222xyzAAAAv 分量是矢量 分別在坐標單位矢量方向上的投影，即 （1-3） 式（1-1）可寫為 （1-4

3、）v 模等于1的矢量叫做單位矢量。v按矢量與數(shù)量乘積的定義，有 由式（1-4），在直角坐標系中，有 （1-5）,xyzAAAAcoscoscosxxyyzzAAAAAAA eA eA ecoscoscosxyzAAAAeeeAAAA= A eeAxyzcoscoscosAAeeeev 直角坐標系中以坐標原點為起點，引向空間任一點的矢量，稱為點的矢徑，如圖1-2。有 （1-6） （1-7） （1-8） 空間點的矢徑在三個坐標軸上的投影數(shù)值分別等于點 的坐標值。 空間一點對應著一個矢徑；反之，與每一矢徑對應著空間確定的一個點，即矢徑的終點。所以又叫做位置矢量。 如果空間任一矢量的起點是 ，終點是

4、，xyzxyzree + e22rxyzrrxyzcoscoscosrreeeeM,P x y z, ,Q x y z 根據(jù)式（1-6）及矢量的加法規(guī) 則，矢量 表示為 （1-7）v矢量的模值記為 ，是點 與點 之間的距離，由式 （1-9）得 （1-10）v矢量的單位矢量 （1-11）xyzOx1圖1-3 空間矢量表示方法( ,)P x y zxyzx xy yz z R r reee= =RR,P x y z , ,Q x y z222Rxxyyzz222222222RxyzxxRxxyyzzyyzzxxyyzzxxyyzzReeee 式中三個分量的系數(shù)也就是矢量的方位余弦。v 如果空間有一

5、長度元矢量，它在直角坐標單位矢量上的投影值分別是 ，則 （1-12） （1-13）2 矢量場的矢量線矢量場的矢量線v一個矢量場，可以用一個矢量函數(shù)來表示。 在直角坐標系中，某一矢量物理函數(shù)可表示為 （1-14） 用分量表示為 （1-15） 上式中 、 、 分別是矢量 在三個坐標軸上的投影。R,dx dy dzdxdydzxyzdl=e +e + e222dldxdydzzyx ,FF, , , , ,xxyyzzx y zF x y zF x y zF x y zF FeeezyxFx,zyxFx,zyxFx,zyx,F 為描繪矢量場在空間的分布狀況，引入矢量線的概念。矢量線上每一點的切線方向

6、都代表該點的矢量場的方向。v一般說來，矢量場的每一點均有唯一的一條矢量線通過，所以矢量線充滿了整個矢量場所在的空間。電場中的電力線和磁場中的磁力線等，都是矢量線的例子。v為繪出矢量線，求出矢量線方程。在矢量線上任一點的切向長度元與該點的矢量場的方向平行，即 （1-16） 由式（1-12）， 式（1-15）簡寫為dFl0ddddxyzxyzleeexxyyzzFFFFeeev式（1-16）可寫為 展開上式，并根據(jù)零矢量的三個分量均為零的性質，或兩矢量平行的基本條件，可得 （1-17） 這就是矢量線的微分方程。v【例例1-1】設點電荷位于坐標原點，它在周圍空間的任一點所產(chǎn)生的電場強度矢量 求 的矢

7、量方程的通解。ddddxyzxyzFFFxyzeeeFl0dddxyzxyzFFFrE304rqE 【解解】 由式（1-17）化簡后得矢量線微分方程 此方程的通解是 （ 為任意常數(shù)）v將此解綜合，可以寫為 ：（ 為任意常數(shù)）可以看出，電力線是一簇從點電荷所在點（原點）向空間發(fā)散的徑向輻射線。這樣一簇矢量線形象地描繪出點電荷電場的分布狀況。30()4xyzxxyyzzqxyzEEErEeeeeeeddddxyxyyzyz12yCxzC y12,C C12zD xD y12,D D 3 矢量代數(shù)運算矢量代數(shù)運算v假設兩個矢量，v(1) 矢量的和差矢量的和差 把兩個矢量的對應分量相加或相減，就得到它

8、們的和或差，即 （1-18）v(2) 矢量的標量積和矢量積矢量的標量積和矢量積 矢量的相乘有兩種定義，標量積（點乘）和矢量積（叉乘）。v 標量積: 是一標量，其大小等于兩個矢量模值相乘，再乘以它們夾角（取小角，即）的余弦： （1-19）x xy yz zAAAAeeex xy yz zBBBBeee()()()xxxyyyzzzABABABA BeeeA BcosABABA B 是一個矢量的模與另一矢量再該矢量上的投影的乘積。符合交換律： （1-20） （1-21） 矢量積: 是一個矢量，其大小等于兩個矢量的模值相乘，再乘以它們夾角的正弦，實際就是與所形成的平行四邊行面積，其方向與 、 乘右手

9、螺旋關系，為 、 所在平面的右手法向： （1-22） 它不符合交換律。由定義知 （1-23） 并有 （1-24）A BB AxxyyzzA BA BA BA BA BAABBsinABABABn ABBA0,xxyyzzxyzyzxzxyeeeeeeeeeeeeeee （1-25） 各分量的下標次序具有規(guī)律性。（1-25）式可以寫成行列式 （1-26） 矢量的三重積：矢量的三連乘也有兩種。v標量三重積為 （1-27） 因為，的模值就是 與 所形成的平行四邊行面積，因此， 就是該平行四邊行與C所構成的平行六面體的體積。矢量三重積為 （1-28）v上式右邊為“BACCAB”，稱為“BackCab”

10、法則() ()()()()x xy yz zx xy yz zyzzyxzxxzyxyyxzAAABBBABABABABABAB A BeeeeeeeeexyzxyzxyzAAABBBeeeAB()()()AB CBCACABAB()CAB()()()AB CB A CC A B4 矢量函數(shù)的微積分矢量函數(shù)的微積分（一）矢量函數(shù)的概念（一）矢量函數(shù)的概念v常矢：模和方向都保持不變的矢量稱為常矢。v變矢：模和方向或其中之一會改變的矢量稱為變矢。v矢量函數(shù)：表示物理量的矢量一般都是一個或幾個 （標量）變量的函數(shù)，叫矢量函數(shù)。例如，靜電場中的電場強度矢量，它的三個坐標分量一般也是 的函數(shù)，即 （1-

11、29）v如果給定矢量場中任一點的坐標，式（1-29）就給出該點的一個確定的矢量（電場強度）。, ,x y z, , , ,xxyyzzx,y,zE x yzE x yzE x yzEe +e +e（二）矢量函數(shù)的導數(shù)（二）矢量函數(shù)的導數(shù) 矢量對空間坐標的導數(shù)v設是單變量的矢量函數(shù)，它 對 的導數(shù)定義是 （1-30）v這里假定此極限存在（即極限是單值的和有限的）。如圖1-4所示，在一般情況下，矢量的增量不一定與矢量的方向相同。如果 是一個常矢量；則 必等于零。一階導數(shù)仍然是一個矢量函數(shù)。逐次求導，就可得到 的二階導數(shù)以及更高階導數(shù)。 u 00dlimlimduuuuuuu F+FFFuFdduF

12、Fv如果 和 分別是變量的標量函數(shù)和矢量函數(shù)，則它們之積的導數(shù)由式（1-30）可得 當 時，上式右端第三項趨向于零。因此 （1-31）v 和 之積的導數(shù)在形式上與兩個標量函數(shù)之積的導數(shù)運算法則相同。v如果 是多變量(如)的函數(shù)，則對一個變量的偏導數(shù)的定義是 （1-32） Ff0000dlimlimlimlimduuuufffffffuuuuu FF+ FFFFF0u ddddddfffuuuFFFfFF11231123123011, , , ,limuu u uuu u uu u uuu FFF 由式（1-32）可以證明 （1-33） 對 再次取偏微分又可以得到象 ， 等等這樣一些矢量函數(shù)。若

13、至少有連續(xù)的二階偏導數(shù)，則有v在直角坐標系中，坐標單位矢量和都是常矢量，其導數(shù)為零。v利用式（1-50）有111fffuuuFFF1uF221uF212u u F221221u uuu FFxxxyzzyyxxzzxxyyzzyxzxyzEEExxEEEEEExxxxxxEEExxxEeeeeeeeeeeeev結論：在直角坐標系中，矢量函數(shù)對某一坐標變量的偏導數(shù)（或導數(shù)）仍然是個矢量，它的各個分量等于原矢量函數(shù)各分量對該坐標變量的偏導數(shù)（或導數(shù)）的矢量和。簡單地說，只要把坐標單位矢量提到微分號外就可以了。 在柱坐標和球坐標系中，由于一些坐標單位矢量不是常矢量，在求導數(shù)時，不能把坐標單位矢量提到

14、微分符號之外。v在柱坐標系中，各坐標單位矢量對空間坐標變量地偏導數(shù)是 （1-34a） （1-34b） 0zzzzzzeeeeeeeee （1-34c） v結論：在柱坐標系下， 是常矢，它對任何一個坐標變量求導都為零， 都不隨 變化而變化，也就是它們對 求導也為零。從單位矢量在空間坐標系中隨位置的變化情況能夠體會到這一點。v在球坐標系中，各坐標單位矢量對空間坐標變量地偏導數(shù)是 （1-35a） （1-35b） eeze,zeee, z, z0rreeesinree0rer eecosee （1-35c） v在柱、球坐標系中，求矢量函數(shù)對坐標變量得偏導數(shù)時，必須考慮式（1-34）和（1-35）中的各

15、個關系式。例如，在柱坐標系中，矢量函數(shù)可表示為 對 坐標變量的偏導數(shù)是 又如在球坐標系中矢量函數(shù)可表示為0re0ecossinreee, ,zzzEEE EeeeEzzEEEEEEeee, ,rrrEEE Eeee 對 坐標變量的偏導數(shù)是v結論: 直角坐標系下的坐標單位矢量 不是空間位置的函數(shù)，而柱坐標系、球坐標系下的坐標單位矢量 都隨空間位置變化而變化，是空間位置的函數(shù)。 矢量函數(shù)對時間的導數(shù) 有些矢量場既是空間坐標變量的函數(shù)，又是時間變量的函數(shù)。在各種坐標系中的坐標單位矢量不隨時間變化，求偏導數(shù)時，可以把它們作為常矢量提到偏微分符號之外。在球坐標系中，ErrrEEEEEEeee,xyze

16、ee,reeee 從上述分析看出: 矢量函數(shù)對時間和空間坐標變量的導數(shù)（或偏導數(shù)）仍然是矢量。 5 矢量函數(shù)的積分矢量函數(shù)的積分 矢量函數(shù)的積分，包括不定積分和定積分兩種。例如，已知是的一個原函數(shù)，則有不定積分 （1-36）v一般函數(shù)積分的基本法則對矢量函數(shù)積分也都適用。在柱坐標系和球坐標系中求矢量函數(shù)的積分時，仍然要注意式（1-34）和（1-35）中的關系，不能在如何情況下都將坐標單位矢量提到積分運算符號之外。例如，在柱坐標系中的積分rr rrEEEEEEttttt Eeeeeee dtttABC 將 代入后再進行積分。因 ， 與坐標變量無關，可以提到積分符號之外。得dd22200eeedc

17、ossindcos dsin d022xy0022xy00 ee +eeecossinxye =e +exeye1.2 標量函數(shù)的梯度標量函數(shù)的梯度 一、標量場的等值面一、標量場的等值面v一個標量場，可用一個標量函數(shù)來表示。例如，在直角坐標系中，一物理標量函數(shù)可表示為 （1-37）v或用矢徑確定點的位置 。下面假定 是坐標變量的連續(xù)可微函數(shù)。方程 (C為任意常數(shù)) （1-38） 隨著 的取值不同，給出一組曲面。在每一個曲面上的各點，雖然坐標值不同，但函數(shù)值相等。這樣, ,uu x y z uur, ,u x y z, ,u x y zCC 的曲面稱為標量場的等值面標量場的等值面。如溫度場的等溫

18、面，電位場的等位面。式（1-38）為等值面方程。v根據(jù)標量場的定義，空間的每一點上只對應一個場函數(shù)的確定值。因此，充滿整個標量場所在空間的許許多多等值面互不相交?；蛘哒f場中的一個點只能在一個等值面上。v如果某一標量物理函數(shù)是兩個坐標變量的函數(shù)，這樣的場稱為平面標量場。則方程 （為任意常數(shù)） （1-39） 為等值線方程，在幾何上表示一組等值曲線。場中的等值線也是互不相交的。, x yC 【例例1-2】 設點電荷位于直角坐標系的原點，在它周圍空間的任一點的電位是 式中 和 是常數(shù)。試求等電位面方程。v【解解】 令 （ C常數(shù)）即得到等電位面方程 或 它表示一簇以原點為中心，以 為半徑的球面。值（電

19、位值）越小，對應的球面半徑越大；與C值等于零對應的是一個半徑為無限大的球面。2220, ,4qx y zxyzq0, ,x y zC22204qCxyz222204qxyzC04qC 二、方向導數(shù)二、方向導數(shù)v在研究標量場時，需要了解標量函數(shù)在場中各個點地鄰域內沿每一方向的變化情況。為此，引入方向導數(shù)。 如圖1-6所示，設 為標量場中的一點，從 點 出發(fā)朝任一方向引一條射線 并在該方向上靠近點取一動 點 ,兩點的距離表示為 。根據(jù)偏導數(shù)定義，可以寫出 （1-40）0000,Mxy z0M000,M xx yy zzl000limlMu Mu Mull 稱為函數(shù)在點 沿 方向的方向導數(shù)。 ，說明

20、函數(shù) 沿 方向是增加的； ，說明函數(shù) 沿 方向是減小的； ，說明函數(shù) 沿 方向無變化。v因此，方向導數(shù)是函數(shù)在給定點沿某一方向對距離的變化率。在直角坐標系中， 三個坐標軸方向的方向導數(shù)。v在圖1-6中 根據(jù)多元函數(shù)的全增量和全微分的關系，有0Ml0ul, ,u x y zl0ul0ul, ,u x y z, ,u x y zll,uuuxyz222lxyz 0000MMMuu Mu Muuuxyzlxyz 上式兩端除以 ，并令 取極限得v由方向導數(shù)的定義式（1-40）。略去下標 ，即得到直角坐標系中任意點上沿 方向的方向導數(shù)的表達式 （1-41）【例例1-3】 求函數(shù) 在點 沿 方向的方向導數(shù)

21、。l0l 00000limcoscoscoslMMMu Mu Mluuuxyz 0Mlcoscoscosuuuulxyz222ux y z 1,0,1M22xyzleee222uxxxyz222uyyxyz222uzzxyz【解解】在點 有 的方向余弦是 由式（1-41）得1,0,1M12ux0uy12uzl22211cos31222cos32cos301121210333222Mul 三、梯度三、梯度(Gradient) （一）梯度的定義（一）梯度的定義v方向導數(shù)是函數(shù)在給定點沿某個方向對距離的變化率。從標量場中的給定點出發(fā)，有無窮多個方向。函數(shù)沿其中哪個方向的變化率最大呢？這個最大的變化率

22、又是多少呢？我們首先分析在直角坐標系中的方向導數(shù)公式（1-41）。根據(jù)定義式（1-5）， 方向的單位矢量是 把式（1-41）中的 看作一個矢量沿三個坐標方向的分量，表示為 （1-43）lcoscoscoslxyzeeee,uuuxyzxyzuuuxyzGeee 矢量 與 的標量積（或稱點乘）恰好與式（1-41）右端相等。即 （1-44）v式（1-43）確定的矢量 在給定點是一個固定矢量，它只與函數(shù) 有關。而 則是在給定點引出的任一方向上的單位矢量，它與函數(shù) 無關。v式（1-44）說明，矢量 在 方向上的投影等于函數(shù) 在該方向上的方向導數(shù)。當選擇的 方向與的方向一致時， ，則方向導數(shù)取最大值，即

23、 （1-45） 矢量的方向就是函數(shù)在給定變化率最大的方向，矢量的模也正好就是它的最大變化率。矢量被稱作函數(shù)在給定點的梯度。 GGGGlelecos,llulG eGG e, ,u x y z, ,u x y z, ,u x y zllcos,lG eGmaxulGv定義：標量場在點 處的梯度（Gradient）是一個矢量，記作 grad （1-46） 它的大小等于場在點所有方向導數(shù)中的最大值， 它的方向等于取到這個最大值所沿的那個方向。 （二）梯度的性質（二）梯度的性質v1一個標量函數(shù)（標量場）的梯度是一個矢量函數(shù)。在給定點，梯度的方向就是函數(shù)變化率最大的方向，它的模恰好等于函數(shù)在該點的最大變

24、化率的數(shù)值。又因函數(shù)沿梯度方向的方向導數(shù) 恒大于零，說明梯度總是指向函數(shù)增大的方向。v2 函數(shù)在給定帶你沿任意方向的方向導數(shù)等于函數(shù)的梯度在方向上的投影。Mu Gmaxgraduulv3在任一點，標量場的梯度垂直于過該點的等值面，也就是垂直于過點的等值面的切平面。根據(jù)解析幾何知識，過等值面點切平面的法線矢量是 （1-47） 對照式（1-43）和式（1-45），可見法線矢量剛好等于在點 函數(shù)的梯度。即 。因此在點 的梯度垂直于過點 的等值面。v根據(jù)這一性質，曲面 上任一點的單位法線矢量可以用梯度表示，即 （1-48）xyzMuuuxyzneeeMgradun,M uM, ,u x y zCgra

25、dgradnuue（三）哈密頓（三）哈密頓（Hamilton）算子）算子v引入一個算子 （1-49）v稱為哈密頓算子。算子是把一個函數(shù)映射為另外一個函數(shù)。讀作“del（德爾）”或“nabla（那勃拉）”?！啊奔仁且粋€微分算子，又可以看作一個矢量，所以稱它為一個矢性微分算子。算子對標量函數(shù)作用產(chǎn)生一矢量函數(shù)。在直角坐標系中， （1-50） 用哈密頓算子可將梯度記為 （1-51）xyzxyzeee ()xyzxyzuuuuuxyzxyzeeeeee graduu (四四) 梯度運算基本公式梯度運算基本公式 （C為常數(shù)） （1-52） （C為常數(shù)） （1-53） （1-54） （1-55） （1-5

26、6） （1-57）v這些公式與對一般函數(shù)求導數(shù)的法則類似。 0C CuC u uvuv uvv uu v 21uv uu vvv f ufuu 1.3 矢量函數(shù)的散度與旋度矢量函數(shù)的散度與旋度 一、通量一、通量v矢量在場中某一個曲面上的面積分，稱為該矢量場通過此曲面的通量，記作 （1-61） 在場中任意曲面上的點周圍取一小面積元，它有兩個方向相反的單位法線矢量。 對于開曲面上的面元，設這個開曲面是由封閉曲線所圍成的，則當選定繞行的方向后，沿繞行方向按右手螺旋的拇指方向就是方向， ddsss 0FsF nv 對于封閉曲面上的面元，取為封閉曲面的外法線方向。通量是一個代數(shù)量，它的正負與面積元法線矢

27、量方向的選取有關。v通量可以認為是穿過曲面的矢量線總數(shù)。故矢量線也叫做通量線。式（1-61）中的矢量場則可稱為通量面密度矢量，它的模就等于在某點與垂直的單位面積上通過的矢量線的數(shù)目。v如果是限定一定體積的閉合面，則通過閉合面的總通量可表示為 (1-62)v對于閉合面，假定面積元的單位法線矢量均由面內指向面外。在閉合面的一部分面積上，各點的 與 ddsss 0FsF n0nF 夾角，矢量線穿出這部分面積上，各點的 與 的夾角 ，矢量線穿入這部分面積，通量為負值。式（1-62）中的則表示從內穿出的正通量與從外穿入的負通量的代數(shù)和，叫通過面的凈通量。v當 時，穿出閉合面的通量線多于穿入的通量線，這時

28、內必有發(fā)出通量線的源，我們稱它為正源。v當 時，穿入多于穿出，這時內必有吸收通量線的溝，為對稱起見，我們稱它為負源。v當 時，穿出等于穿入，這時內正源與負源的代數(shù)和為零，或者內沒有源。 這里的正源和負源都叫通量源，對應的場叫具有通量源的場（簡稱通量場）。 F0n 900 0 0 0 S內有發(fā)出通量的源- 正源圖1-8 通量源示意圖v如果一閉合面上任一點的矢量場 則通過面的矢量場的通量是 （1-63） 二、散度二、散度(Divergence)（一）（一） 散度的定義散度的定義v定義：在連續(xù)函數(shù)的矢量場中，任一點的鄰域內，作一包圍該點的任意閉合面，并使所限定的體積以任意方式趨于零。取下列極限nii

29、n121FFFFF11dddnnisssii iFsFsFs000ddlimlimssVVsVV FsF n 這個極限稱為矢量場在點的散度（divergence），記作 （讀作散度 F）。即 （1-64）v這個定義與所選取的坐標系無關。 表示在場中任意一點處，通過包圍該點的單位體積的表面的通量。所以 可稱為“通量源密度”。v在點 ，若 ，則該點有發(fā)出的通量線的正源。v若 ，則該點有吸收的通量線的負源，v若 ，則該點無源。 若在某一區(qū)域內的所有點上的矢量場的散度都等于零，則稱該區(qū)域內的矢量場為無源場。Fdiv00ddivlimsVsV F nFFdivFdivMdiv0Fdiv0Fdiv0F（二

30、）散度在直角坐標系中的表達式（二）散度在直角坐標系中的表達式 設在點 ，矢量的三個分量為 。在點鄰域取一空間閉區(qū)域，其邊界曲面為 ，假設矢量場的分量在上有一階連續(xù)偏導數(shù)，則有下列高斯公式 （1-65）v證明：根據(jù)三重積分的 計算法，有zyxM,zyxFFF,yxzxyzVFFFF dydzF dxdzF dxdydxdydzxyzxyzO1( , )zz x y2( , )zzx y圖 1-9 曲面積分與體積分關系 示意圖21( , )( , )21d d dd dd( , , )( , , ) d dxyxyz x yzzDz x yzzDFFx y zx yzzzF x y zF x y

31、zx y 根據(jù)曲面積分的計算法，則函數(shù)在邊界曲面的積分為 于是，比較上面所得得兩個結果，我們證得v同樣可證212121d dd dd d( , ,)d d( , , )d d( , ,)( , , ) d dxyxyxyzzzzzDDzzDF x yF x yF x yF x y zx yF x y zx yF x y zF x y zx yd dd d dzzVFF x yx y zzd dd d dxxVFF y zx y zxd dd d dyyVFF x zx y zyv合并上述三式即得（1-65）式。 由于 （1-66） 根據(jù)散度的定義，利用式（1-64）、（1-65）和（1-66）

32、得v利用積分中值定理，則可以得到 點得散度為dd dd dd dxyzy zx zy zseee000dd dd dd ddivlimlimd d dlimxyzssVVyxzVVF y zF x zF x yVVFFFx y zxyzVFsFzyxM,*0divlimyxzyxMzVMFFFVFxyzFFVxyz Fv可得到散度在直角坐標系中的表達式 （1-67） 可以看出， 剛好等于哈密頓算子與量的標積，即 （1-68）v可見：一個矢量函數(shù)的散度是一個標量函數(shù)一個矢量函數(shù)的散度是一個標量函數(shù)。在場中任一點，矢量場的散度等于在各坐標軸上的分量對各自坐標變量的偏導數(shù)之和。（三）（三） 散度的基

33、本運算公式散度的基本運算公式v （C為常矢量） （1-69）v （C為常數(shù)） （1-70）v （1-71）v （u為標量函數(shù)） （1-72） divyxzFFFxyzFdivFdivyxzxyzx xy yz zFFFFFFxyzxyz FeeeeeeF0CCCFFGFGFuuu FFF三、高斯三、高斯(Gauss)散度定理散度定理v 等于空間某一點從包圍該點的單位體積內穿出的通量。所以從空間任一體積內穿出的通量應等于 在 內的體積分，即 這個通量也就是從限定體積的閉合面上穿出的凈通量。所以 （1-73） 這就是高斯散度定理高斯散度定理。v意義：任意矢量場的散度在場中任意一個體機內的體積分等于

34、矢量場在限定該體積的閉合面上的法向分量沿閉合面的積分。這種矢量場中的積分變換關系，在電磁場理論中將經(jīng)常用到。FFdVV FddVsVFFs 【例例1-5】點電荷位于坐標原點，在離其 處產(chǎn)生的電通量密度為 求任意點處電通量密度的散度，并求穿出以 為半徑的球面的電通量。 【解解】r34qrDrxyzxyzreeer222 3 24 ()xyzx xy yz zxyzqDDDxyzeeeDeee222 322222 32222 522254()134()()34xDqxxx xyzqxxyzxyzq rxrv同理可得v可見，除點電荷所在源點外，空間各點得電通量密度散度均為0。 這證明在此球面上所穿過

35、的電通量的源正是點電荷。22225533,44yzDDq ryq rzyrzr2222533()04yxzDDDqrxyzxyzrD03222dd4d444SSSqsrqqsrqrr Dsr r 四、矢量函數(shù)的旋度四、矢量函數(shù)的旋度v一個具有通量源的矢量場，可采用通量與散度來描述場與源之間的關系。對于具有另一種源（即旋渦源）的矢量場，必須引入環(huán)量和旋度的概念。v1. 環(huán)量(Circulation)v定義：矢量 ，沿某一閉合曲線（路徑）的線積分，稱為該矢量沿此閉曲線的環(huán)量。記作 （1-74） 環(huán)量是一個代數(shù)量，它的大小正負不僅與矢量場的分布有關，而且與所取的積分環(huán)繞方向有關。如果某一矢量場的環(huán)量

36、不等于零，我們就認為場中必定有產(chǎn)生這種場的漩渦源。 如果在一個矢量場中沿任何閉合路徑上的環(huán)量恒等于零，則在這個場中不可能有旋渦源。這種類型的場稱為保守場或無旋。Fdcos dllFl Flv2. 旋旋 度度v矢量場沿某一在閉合曲線的環(huán)量，是與矢量場在那個區(qū)域的旋渦源分布有關，同時也與閉合曲線的取法有關。環(huán)量只能描繪這種關系的較大范圍的情況。需要引入矢量場旋度的概念。v(一) 旋度的定義v定義：矢量場中，在任意點的 鄰域內，取任意有向閉合路徑， 限定曲面為 ，取 為的單位法 向矢量 ，周界的環(huán)繞方向與方 向成右手螺旋關系，如果不論曲面的形狀如何，只要無限收縮于 點時下列極限存在圖1-10 矢量場

37、的環(huán)量SS0nM （1-75） 稱此極限為場在點處繞方向的渦量（或稱環(huán)量密度），把這些渦量的最大值以及取到最大值的方向所構成的一個矢量，稱為場在點的旋度(Curl or Rotation)，記作 ，或 ，讀作旋度 F。 環(huán)量面密度是一個標量，而旋度是個矢量。矢量場中點處的旋度，在任一方向上的投影就等于點以 為法向的上的環(huán)量面密度。即 （1-76）0dlimlssFlrotFcurlF0n000rotlimlSnds FlFn (二二) 旋度在直角坐標系中的表示式旋度在直角坐標系中的表示式v 在直角坐標系下 （1-77） （1-78）v利用高等數(shù)學中學過的格林公式xyzO( , )zf x y圖

38、 1-11 曲面積分與線積分關 系示意圖ddddxyzxyzleeeddddxyzllF xF yF zFl( , , )d, ,( , ) dxxlF x y zxFx y f x yxddd dlSQPP xQ yx yxy, ,( , )( , , )d dd dxyxyxxlDxxyDFx y f x yF x y z dxx yyFFfx yyz 又對于曲面S來說，其方程為 ，假設其上任一點的法向單位矢量的方向余弦為 ，則有 （1-80） 且有 （1-81）v得 （1-82） 將（1-82）代入到（1-79）式得 （1-83）v同理可證：( , )zf x ycos ,cos ,co

39、scoscoscos1xyffd dcosd ,d dcosd ,d dcosdy zsx zsx yscosd dd dd dcosyx zx yfx y d dd dxxxlSSFFF dxx zx yzyv組合（1-81）（1-82）式，利用（1-80）式得v由（1-75）式，當 時 ， ，所以有d dd dyyylSSFFF dyx yy zxzd dd dzzzlSSFFF dzy zx zyx*dcoscoscosdcoscoscosyxxzzzLSyxxzzzMFFFFFFSyzzxzxFFFFFFSyzzxzxFl0S *MM00drotlimcoscoscosyyxxLzzS

40、FFFFFFSyzzxxy FlF nv得旋度在直角坐標系中的表示式 （1-86） 由上式看出， 剛好等于哈密頓算子與矢量的矢積，即 一個矢量函數(shù)的旋度仍然是一個矢量函數(shù)，可以用來描述場在空間的變化規(guī)律。旋度描述的是空間各點上場與漩渦源的關系。 rotyyxxzzxyzFFFFFFyzzxxyFeeerotFrotxyzx xyyzzxyzxyzFFFxyzxyzFFFFeeeeeeeeeF（三）（三） 旋度與散度的區(qū)別旋度與散度的區(qū)別v（1） 一個矢量場的旋度是一個矢量函數(shù)；一個矢量場的散度是一個標量函數(shù)。v（2） 旋度表示兩場中各點的場與漩渦源的關系。如果在矢量場所存在的全部空間里，場的旋

41、度處處等于零，則這種場不可能有漩渦源，稱為無旋場或保守場。散度表示場中各點的場與通量源的關系。如果在矢量場所充滿的空間里，場的散度處處為零，則場不可能有通量源，稱為管形場或無源場。靜電場是無旋場，而磁場是管形場。v（3）矢量場的分量只對求偏導數(shù)，旋度描述的是場分量沿著與它相垂直的方向上的變化規(guī)律。散度描述的是場分量沿著各自方向上的變化規(guī)律。（四）（四） 旋度的基本運算公式旋度的基本運算公式v （C為常矢量） （1-88）v （C為常數(shù)） （1-89）v （1-90）v （u為標量函數(shù)） （1-91） （1-92） C0CCFFGFGFuuu FFFGFFGGF 3 斯托克斯（斯托克斯（Stok

42、es）定理）定理v對于矢量場所在的空間中任一個以為周界的曲面，存在以下關系 （1-93） 這就是斯托克斯定理斯托克斯定理。它的意義是：任意矢量場的旋度沿場中任意一個以為周界的曲面的面積分，等于矢量場沿此周界的線積分。在任意曲面的通量等于沿該曲面的周界的環(huán)量。 斯托克斯定理的證明同高斯散度定理的證明十分相似。 如圖1-12所示，在矢量場中，任取一個非閉合曲面它的周界長度是 ，把分成許多面積元。對于其中任一個面積元，其周界面為 ，應用旋度的定義式ddslFsFllil（1-76）有 在 的條件下，下式成立v曲面上的通量，就是把上式兩端分別求和 （1-94） 上式左端求和時，各面積元之間的公共邊上都

43、經(jīng)過兩次積分，但因公共邊上的相同而積分元方向相反，即所以兩者的積分值相互抵消。0dlimiilsis 0iFlFn圖 1-12 斯托克斯定 理示意圖0is00dlimlimiiiiilsss 0iFlFnFsNiisNilii101limsFdlF 曲面的周界上的各個線元的積分不被抵消。即v于是得v這就從幾何的角度直觀地解釋了斯托克斯定理。1ddiNlliFlFl01limdiNissi FsFsslddFsFl【例例1-7】矢量場 ,試求它沿閉合曲線上的環(huán)量并驗證斯托克斯定理。是一條星形線，其參量方程是： ?！窘饨狻坑墒噶糠匠蹋?，可解得 （C為任意函數(shù)） 所以矢量線是一族以坐標原點為中心的平面圓。v先計算環(huán)量： 由閉合曲線的參量方程得xyyx Fee33sin,cosayaxddxyxyFFCyx22 dxyxylllyxdxdyydxxdyFleeee3232ddcos3 cossin dddsin3 sincos dxaayaa 沿曲線一周v再用公 式 計算的通量： 由于 由 的參量方程可得 。由于對稱關系，上述以為周界的面積分值等于第一象限中的四倍，所以2224224203d3 cossin3 sincosd4laaaFldsFs20 xyzzxyzyxeee