直線與圓錐曲線的位置關(guān)系(上課實錄)

1、 湯洪偉湯洪偉復(fù)習(xí)要求復(fù)習(xí)要求:掌握直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的判定方法掌握直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的判定方法會運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想將交點問題轉(zhuǎn)化為方程根的會運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想將交點問題轉(zhuǎn)化為方程根的問題來研究問題來研究能解決直線與圓錐曲線相交所得的弦的有關(guān)問題能解決直線與圓錐曲線相交所得的弦的有關(guān)問題知識與方法知識與方法1）相離）相離2）相切）相切3）相交）相交直線與圓錐曲線的位置關(guān)系直線與圓錐曲線的位置關(guān)系知識與方法知識與方法直線與圓錐曲線的位置關(guān)系直線與圓錐曲線的位置關(guān)系圓錐圓錐l0AxByC( , )0F x y 0( ,)0AxByCFx yy20PxQx R或消去或消去x，得，得20P

2、yQy R知識梳理知識梳理:此時此時，若圓錐曲線為雙曲線若圓錐曲線為雙曲線，則直線與漸則直線與漸近線平行近線平行,此時，直線與雙曲線相交。此時，直線與雙曲線相交。若圓錐曲線為拋物線若圓錐曲線為拋物線， 則直線與對稱軸平則直線與對稱軸平行或重合，此時，直線與拋物線相交。行或重合，此時，直線與拋物線相交。 (1)當(dāng)當(dāng) P=0 時時，若一次方程有解若一次方程有解，則只有一解則只有一解， 即直線與圓錐曲線只有一個交點即直線與圓錐曲線只有一個交點(2) (2) 當(dāng)當(dāng)P0P0時時,0, 0, 方程有兩不等實根方程有兩不等實根 , , 相交相交( (于兩點于兩點) ) 0, 0, 方程有兩相等實根方程有兩相

3、等實根, , 相切相切( (于一點于一點) ) 0, 0, 方程沒有實根方程沒有實根 , , 相離相離( (無公點無公點) )問題與探究問題與探究221xy過點過點 （0，1）與雙曲線與雙曲線只有一個公共點只有一個公共點的直線有幾條？的直線有幾條？OxypP對于直線對于直線 與雙曲線與雙曲線當(dāng)當(dāng) 或或 時時, ,只有一個公共點。只有一個公共點。:1l ykx22:1C xy2k 1k 求弦長可用下列三種方法：求弦長可用下列三種方法：第一種方法，求交點法：把直線方程與圓錐曲線方第一種方法，求交點法：把直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，解得弦端點程聯(lián)立，解得弦端點A、B的坐標(biāo)，然后用兩點間距的坐標(biāo)，然后

4、用兩點間距離公式，便得到弦離公式，便得到弦AB的長。的長。第二種方法，定義法（或焦半徑公式法）：當(dāng)直線第二種方法，定義法（或焦半徑公式法）：當(dāng)直線過拋物線的焦點而產(chǎn)生的弦，其弦長可以用拋物線過拋物線的焦點而產(chǎn)生的弦，其弦長可以用拋物線的定義即焦半徑公式解答，即的定義即焦半徑公式解答，即 。特。特殊地，拋物線的通徑為殊地，拋物線的通徑為2p，橢圓、雙曲線的通徑，橢圓、雙曲線的通徑都是都是12|ABxxp第三種方法，韋達(dá)定理法（弦長公式法）：不求交第三種方法，韋達(dá)定理法（弦長公式法）：不求交點坐標(biāo)，可用韋達(dá)定理求解。點坐標(biāo)，可用韋達(dá)定理求解。2121xxk|AB|=|AB|=22121 2) ()

5、4(1xxx xk21211yky22121 21) ()4(1yyy ykXYoFl12,A x x12,B x x知識梳理知識梳理:22ba對于中點弦問題，除用通法（韋達(dá)定理法）外，還常用點差對于中點弦問題，除用通法（韋達(dá)定理法）外，還常用點差法（設(shè)點代入作差法），其解題步驟為：法（設(shè)點代入作差法），其解題步驟為：（1 1）設(shè)點：設(shè)出弦的兩端點坐標(biāo)；）設(shè)點：設(shè)出弦的兩端點坐標(biāo)；（2 2）代入：代入圓錐曲線方程；）代入：代入圓錐曲線方程；（3 3）作差：兩式相減，再用平方差公式把式子分解因式；）作差：兩式相減，再用平方差公式把式子分解因式；（4 4）整理：轉(zhuǎn)化為斜率與中點坐標(biāo)的關(guān)系式，最后求

6、解。）整理：轉(zhuǎn)化為斜率與中點坐標(biāo)的關(guān)系式，最后求解。注意：設(shè)點代入作差法的要點是：建立弦的中點坐標(biāo)與弦的注意：設(shè)點代入作差法的要點是：建立弦的中點坐標(biāo)與弦的斜率之間的關(guān)系式，同時要滿足斜率之間的關(guān)系式，同時要滿足00知識梳理知識梳理:問題與探究問題與探究已知雙曲線的方程為已知雙曲線的方程為 。2222xy（1）過定點）過定點P（2,1）作直線交雙曲線于）作直線交雙曲線于P1、P2兩點，當(dāng)點兩點，當(dāng)點P(2,1)是弦是弦P1P2的中點的中點時，求時，求:此直線方程。此直線方程。（2）過定點）過定點Q（1，1）能否作直線）能否作直線 ，使使 與雙曲線相交于與雙曲線相交于A、B兩點，且兩點，且Q是弦

7、是弦AB的中點？若存在，求出的中點？若存在，求出 的方程；若不的方程；若不存在，說明理由。存在，說明理由。lll問題與探究問題與探究直線直線 ：y=x+b與拋物線與拋物線 相切于相切于A點。點。（1）求）求b的值；的值；（2）求以）求以A為圓心且與拋物線準(zhǔn)線相切的為圓心且與拋物線準(zhǔn)線相切的圓的方程；圓的方程；（3）若直線與拋物線相交于）若直線與拋物線相交于A、B兩點，兩點，且且|AB|= ，求，求b。l24xy4 2問題一：問題一：過點過點 P(0,4) 且與橢圓只有一個且與橢圓只有一個公共點的直線有幾條公共點的直線有幾條?13422yx變式二：把橢圓換成拋物線結(jié)果又如變式二：把橢圓換成拋物線

8、結(jié)果又如 何？何？xy42(2條條)（4條）條）15422yx變式一：把橢圓換成雙曲線變式一：把橢圓換成雙曲線 結(jié)果結(jié)果 如何？如何？（3條）條）1、已知斜率為已知斜率為1的直線，過橢圓的直線，過橢圓的右焦點交橢圓于的右焦點交橢圓于A 、B兩點，求弦長兩點，求弦長 |AB|。 1242 yx2、頂點在原點，焦點在、頂點在原點，焦點在x軸上的拋物線，被直線軸上的拋物線，被直線y=2x+1截得的弦長為截得的弦長為 ，求拋物線的方程。，求拋物線的方程。15l5yx 2214yx 3 3、ABAB問題一：問題一：過點過點 P(0,4) 且與橢圓只有一個且與橢圓只有一個公共點的直線有幾條公共點的直線有幾

9、條?13422yx變式二：把橢圓換成拋物線結(jié)果又如變式二：把橢圓換成拋物線結(jié)果又如 何？何？xy42(2條條)（4條）條）15422yx變式一：把橢圓換成雙曲線變式一：把橢圓換成雙曲線 結(jié)果結(jié)果 如何？如何？（3條）條）歸納與小結(jié)歸納與小結(jié)1直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題及弦長問題的直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題及弦長問題的 處理思路和方法。處理思路和方法。2數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)方程、數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)方程、 轉(zhuǎn)化思想等。轉(zhuǎn)化思想等。 應(yīng)用與拓展應(yīng)用與拓展1.(1.(設(shè)計題設(shè)計題) )為了慶祝衢州建市二十周年，某單位欲在一長軸長為為了慶祝衢州建市二十周年，某單位欲在一長軸

10、長為10 10 ，短，短軸長為軸長為6 6 的橢圓形花圃中擺放一塊面積為的橢圓形花圃中擺放一塊面積為15 15 的鮮花圖案，為了美觀希的鮮花圖案，為了美觀希望能設(shè)計成望能設(shè)計成“蝴蝶形蝴蝶形”（關(guān)于橢圓中心對稱，邊界為兩個三角形）如圖所（關(guān)于橢圓中心對稱，邊界為兩個三角形）如圖所示：邊界三角形的一個頂點在橢圓中心，一條邊過橢圓的焦點，另外兩個示：邊界三角形的一個頂點在橢圓中心，一條邊過橢圓的焦點，另外兩個頂點在橢圓上，假如你是一位設(shè)計師，請你策劃如何擺放花盆頂點在橢圓上，假如你是一位設(shè)計師，請你策劃如何擺放花盆? ?mm2m應(yīng)用與拓展應(yīng)用與拓展1.(1.(設(shè)計題設(shè)計題) )為了慶祝衢州建市二十周年，某單位欲在一長軸長為為了慶祝衢州建市二十周年，某單位欲在一長軸長為10 10 ，短，短軸長為軸長為6 6 的橢圓形花圃中擺放一塊面積為的橢圓形花圃中擺放一塊面積為15 15 的鮮花圖案，為了美觀希的鮮花圖案，為了美觀希望能設(shè)計成望能設(shè)計成“蝴蝶形蝴蝶形”（關(guān)于橢圓