基本不等式經(jīng)典例題(含知識點和例題詳細(xì)解析)-(1)

1、基本不等式專題知識點：1. (1)若，則(2)若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）2. (1)若，則(2)若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）(3)若，則 (當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）3.若，則 (當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）若，則 (當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）若，則 (當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）4.若，則 (當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）若，則 (當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）5.若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）注意：(1) 當(dāng)兩個正數(shù)的積為定植時，可以求它們的和的最小值，當(dāng)兩個正數(shù)的和為定植時，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”(2)求最值的條件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解

2、決實際問題方面有廣泛的應(yīng)用應(yīng)用一：求最值例：求下列函數(shù)的值域（1）y3x2 （2）yx解：(1)y3x22值域為，+）(2)當(dāng)x0時，yx22；當(dāng)x0時， yx= （ x）2=2值域為（，22，+）解題技巧技巧一：湊項例 已知，求函數(shù)的最大值。 解：因，所以首先要“調(diào)整”符號，又不是常數(shù)，所以對要進(jìn)行拆、湊項，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，上式等號成立，故當(dāng)時，。技巧二：湊系數(shù)例： 當(dāng)時，求的最大值。解析：由知，利用均值不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個式子積的形式，但其和不是定值。注意到為定值，故只需將湊上一個系數(shù)即可。當(dāng)，即x2時取等號 當(dāng)x2時，的最大值為8。變式：設(shè)，求函數(shù)的最大值。解

3、：當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立。技巧三： 分離技巧四：換元例：求的值域。解析一：本題看似無法運用均值不等式，不妨將分子配方湊出含有（x1）的項，再將其分離。當(dāng),即時,（當(dāng)且僅當(dāng)x1時取“”號）。解析二：本題看似無法運用均值不等式，可先換元，令1，化簡原式在分離求最值。當(dāng),即時,（當(dāng)2即x1時取“”號）。技巧五：在應(yīng)用最值定理求最值時，若遇等號取不到的情況，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性。例：求函數(shù)的值域。解：令，則因，但解得不在區(qū)間，故等號不成立，考慮單調(diào)性。因為在區(qū)間單調(diào)遞增，所以在其子區(qū)間為單調(diào)遞增函數(shù)，故。所以，所求函數(shù)的值域為。技巧六：整體代換多次連用最值定理求最值時，要注意取等號的條件的一致性，否則就會出

4、錯。例：已知，且，求的最小值。錯解：，且， 故 。錯因：解法中兩次連用均值不等式，在等號成立條件是，在等號成立條件是即,取等號的條件的不一致，產(chǎn)生錯誤。因此，在利用均值不等式處理問題時，列出等號成立條件是解題的必要步驟，而且是檢驗轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法。正解：，當(dāng)且僅當(dāng)時，上式等號成立，又，可得時， 。技巧七例：已知x，y為正實數(shù)，且x 21，求x的最大值.分析：因條件和結(jié)論分別是二次和一次，故采用公式。同時還應(yīng)化簡中y2前面的系數(shù)為 ， xxx·下面將x，分別看成兩個因式：x· 即x·x技巧八：已知a，b為正實數(shù)，2ba30，求函數(shù)y的最小值.分析：這是一個二元

5、函數(shù)的最值問題，通常有兩個途徑，一是通過消元，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問題，再用單調(diào)性或基本不等式求解，對本題來說，這種途徑是可行的；二是直接用基本不等式，對本題來說，因已知條件中既有和的形式，又有積的形式，不能一步到位求出最值，考慮用基本不等式放縮后，再通過解不等式的途徑進(jìn)行。法一：a， ·b由a0得，0b15令t1，1t16，2（t）34t2818 y當(dāng)且僅當(dāng)t4，即b3，a6時，等號成立。法二：由已知得：30a2ba2b2 302令u則u22u300， 5u33，18，y點評：本題考查不等式的應(yīng)用、不等式的解法及運算能力；如何由已知不等式出發(fā)求得的范圍，關(guān)鍵是尋找到之間的關(guān)系，由此想到不等式，這樣將已知條件轉(zhuǎn)換為含的不等式，進(jìn)而解得的范圍.技巧九、取平方例: 求函數(shù)的最大值。解析：注意到與的和為定值。又，所以當(dāng)且僅當(dāng)=，即時取等號。 故。應(yīng)用二：利用均值不等式證明不等式例：已知a、b、c，且。求證：分析：不等式右邊數(shù)字8，使我們聯(lián)想到左邊因式分別使用均值不等式可得三個“2”連乘，又，可由此變形入手。解：a、b、c，。同理，。上述三個不等式兩邊均為正，分別相乘，得。當(dāng)且僅當(dāng)時取等號。應(yīng)用三