利用對稱性計算曲線積分與曲面積分

1、利用對稱性計算曲線積分與曲面積分摘要：借助于（平面）空間曲線及空間曲面的直觀幾何意義，利用曲線、曲面關于坐標軸及坐標面得對稱性，探討了對于定義在具有對稱性的曲線、曲面上的奇（偶）函數(shù)，如何利用對稱性計算曲線積分及曲面積分。這種積分方法使得曲線（面）積分更為簡便、快捷，同時，也有利于避免因符號處理不當而導致的積分錯誤。而第二類曲線積分與曲面積分涉及到方向性問題，因此利用對稱性來計算較為困難，文中給出了利用對稱性計算第二類曲線積分與曲面積分的方法，并證明了方法的可行性，并通過實例表明，此方法有時能起到簡化計算的作用。關鍵詞：奇（偶）函數(shù) 曲線積分 曲面積分 對稱 計算引： 在高等數(shù)學的學習和研究中

2、，各種積分的運算，有時會給我們帶來較多的困難，而借助于（平面）空間曲線及空間曲面的直觀幾何意義，定義在關于坐標軸及坐標面對稱的曲線、曲面上的奇（偶）函數(shù)，利用它們的對稱性計算曲線積分及曲面積分，可以使得曲線（面）積分更為簡便、快捷。 一、 曲線積分（一） 第一類曲線積分的對稱問題 定義1 設函數(shù)定義在二維光滑曲線上，（1）若滿足關系式=或=，則稱為關于或的偶函數(shù)；（2）若滿足關系式=-或=-，則稱為關于或的奇函數(shù)； 定義2 設函數(shù)定義在三維光滑曲線上（1）若滿足關系式=或=或=，則稱為關于或或的偶函數(shù)；（2）若滿足關系式=-或=-或=-，則稱為關于或或的奇函數(shù)； 定理1 設函數(shù)在二維光滑（或分

3、段光滑）曲線上可積，且曲線關于（或）對稱，則： （1）當偶函數(shù)時，=2（其中是位于對稱軸一側(cè)的部分）； （2）當是（或）的奇函數(shù)時，=0 證 設關于軸對稱的光滑曲線（其中、分別是曲線位于軸上、下兩側(cè)的部分）； 則： = 用曲線上關于軸對稱點系分割，在上的小弧段中任取一點（，），在上關于對稱于軸的小弧段中任取一點（，-），構造和式：+ 令：諸小弧段中最長者為，由于在上可積且=,于是 （1）當是的偶函數(shù)，即=時， =+ =2 =2 （2）當是的奇函數(shù)，即=-時， =+ =+ =0 （證畢）定理2 設函數(shù)在三維光滑或（分段光滑）曲線上可積，且曲線對稱于（或或）坐標面，則（1）當為關于（或或）的偶函數(shù)

4、時，有=2（其中是位于對稱坐標面一側(cè)的部分）；（2）當為關于（或或）奇函數(shù)時，有=0 推論 設函數(shù)在二維光滑（或分段光滑）曲線上可積，對稱于和軸，則 （1）當是關于和的偶函數(shù)時，有=4（其中是位于第象限中的部分） （2）當是關于和中至少某一變量的奇函數(shù)時，有=0例1 計算 解：積分曲線既對稱于軸又對稱于軸，且被積函數(shù)=是的奇函數(shù) y 原式=0 x注：除利用對稱性之外，還用到了利用積分曲線方程化簡被積函數(shù)的技巧。（二）第二類曲線積分的對稱問題 定理3 設為平面上關于軸對稱的一條有向光滑曲線弧，其方程是一雙值函數(shù)，設為，（）。記,分別為位于軸的上半部分與下半部分，,分別在軸上的投影的方向相反，函數(shù)

5、在上連續(xù)，那么 （1）當關于為偶函數(shù)時，則 =0 （2）當關于為奇函數(shù)時，則 =2證明 依定理條件不妨設：，從點變到點：，從點變到點 于是由對坐標曲線積分的性質(zhì)及計算方法有=+ = + =故（1）當關于為偶函數(shù)時，有 =0 （2）當關于為奇函數(shù)時，有= =2 =2 注：對于有類似定理1的結(jié)論例2 計算I=，其中我拋物線從點A（1，-1到點B（1，1）的一段弧 解：依題設條件知，該曲線積分滿足定理3，故有 I=2=2= 其中，：，從點0變到點1。關于曲線積分還有另一個對稱性的結(jié)論是:定理4 設為平面上關于軸對稱的一條有向光滑曲線弧，奇方程為，（），記,分別為位于軸的右半部分與左半部分，,分別在軸

6、上的投影方向相同，函數(shù)在上連續(xù)，那么 （1）當關于為奇函數(shù)時，則 =0 （2）當關于為偶函數(shù)時，則 =2 證明 依定理條件不妨設 ：，從點0變到點：，從點-變到點0于是由對坐標曲線積分的性質(zhì)及計算方法有=+ = +對右端第2個積分，令，有 =因此有 =+ = 故 （1）當在上關于為奇函數(shù)時，有= =0 （2）當在上關于為偶函數(shù)時，有 = =2=2 注：對于有類似定理4的結(jié)論例3 計算I=，其中為（0）按逆時針方向從點A（，0）到點B（-，0）的上半圓周 解 可將原式改寫為3個曲線積分的代數(shù)和，即 I=-2- 依題設條件分析知，等式右端第一、第二、第三個曲線積分滿足定理4，故有 I=2=2=-2

7、二 曲面積分 （一）第一類曲面積分的對稱問題 定理5 設函數(shù)在光滑（或分片光滑）曲面上可積，且對稱于（或或）坐標面，則 （1）當是關于，和的偶函數(shù)時， =8（其中是位于對稱坐標面一側(cè)的部分） （2）當是關于，和的奇函數(shù)時， =0 推論 設函數(shù)在光滑（或分片光滑）曲面上可積，且關于,坐標面均對稱，則 （1）當是關于，和的偶函數(shù)時，=8（其中是在第卦限的部分） （2）當是關于，和中至少某一變量的奇函數(shù)時，=0例4 計算，其中：平面，之間的圓柱面 解：因為積分曲面對稱于坐標面，且被積函數(shù)= 是關于的奇函數(shù)，所以= 0 z H o y R x 例5 計算，其中： 解：令：，則： ds= 因為對稱于三個

8、坐標面，且被積函數(shù)=是關于，,的偶函數(shù)，所以由對稱性知 =8 =8a=8a =8a = （二）第二類曲面積分的對稱問題 與第二類曲線積分類似有以下結(jié)論定理6 設為關于xoy平面對稱的有向光滑曲面，其方程式一雙直函數(shù)，設為，（其中為在平面的投影區(qū)域），記，分別位于平面的上半部分與下半部分，與的側(cè)關于平面相反，函數(shù)在上連續(xù)，那么 （1）當關于為偶函數(shù)時，則 =0 （2）當關于為奇函數(shù)時，則 =2證明 依定理條件不妨設：，取上側(cè)：，取下側(cè)于是由對坐標的曲面積分的性質(zhì)及計算方法有=+ =- 故 （1）當關于為偶函數(shù)時，有 = =0 （2）當關于為奇函數(shù)時，有 = =2 =2 注：對于，有類似定理6的結(jié)

9、論例6 計算I=，式中為球面的外側(cè)位于0，0的部分。 解：依題設條件分析知，該曲面積分滿足定理6，故有 I=2=2 = = 其中：z=，=1，0，0例7 I=.其中，為錐面z=1-被平面=0所截得的部分，取上側(cè) 解：原式可寫為三個曲面積分之和，即 I=+2 依題設條件可知右端第一，第二曲面積分均滿足定理3的結(jié)論，故有 I=2 =2 =2 = 其中：=1.三 結(jié)束語由以上幾例可以看出利用對稱性計算曲線積分與曲面積分不僅是可行的，而且有時還可以起到簡化計算的作用，在學習中可以充分利用對稱性計算曲線積分與曲面積分，提高運算速度和效果，給學習帶來很多方便。參考文獻：1 格·馬·菲赫

10、金哥爾茨。數(shù)學分析原理M.北京：人民教育出版社，1979.2 同濟大學數(shù)學系.高等數(shù)學M.北京：高等教育出版社，1997.3 翁莉娟，韓云瑞.光滑曲線與可求長曲線數(shù)學的實踐與認識，2006，36（5）：308-3104 時統(tǒng)業(yè)，周本虎.第二類平面曲線積分的對稱性質(zhì)及其應用.高等數(shù)學研究，2006，112（2）：25-295 同濟大學數(shù)學教研室，高等數(shù)學.北京：高等教育出版社，20026 錢吉林，肖新平.高等數(shù)學詞典.武漢：華中師范大學出版社，1999Methods of Applying Symmetry to Calculate Curvilinear Integral and Surfac

11、e IntegralName:zhangjinming Student Number:200540501355 Advisor:niuxiangyangAbstract:By the help of geometric significance of plane or space curve and space surface,and by use of the symmetry of curve and surface to coordinate and coordinate surface,how to use the symmetry to calculate the surface i

12、ntegral and curve integral is discussed for the odd(even) functions that are defined on the curve or surface with symmetry.This method makes curve(surface) integral more simple and convenient,At same time,it has advantage of avoiding mistakes in integrating by missing symbol.The second kind of curvilinear integral and surface integral are concerning orientation,so it is hard to calculate them with symmetry.A good method is provided and its