隨機過程考試真題

1、1、 設隨機過程，為常數(shù)，服從區(qū)間上的均勻分布。（1）求的一維概率密度和一維分布函數(shù)；（2）求的均值函數(shù)、相關函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)。2、設是參數(shù)為的維納過程，是正態(tài)分布隨機變量；且對任意的，與均獨立。令，求隨機過程的均值函數(shù)、相關函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)。3、 設到達某商場的顧客人數(shù)是一個泊松過程，平均每小時有180人，即；且每個顧客的消費額是服從參數(shù)為的指數(shù)分布。求一天內（8個小時）商場營業(yè)額的數(shù)學期望與方差。4、設馬爾可夫鏈的轉移概率矩陣為： （1）求兩步轉移概率矩陣及當初始分布為 時，經兩步轉移后處于狀態(tài)2的概率。（2）求馬爾可夫鏈的平穩(wěn)分布。5設馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間，轉移概率矩陣為：求狀態(tài)的分類、

2、各常返閉集的平穩(wěn)分布及各狀態(tài)的平均返回時間。6、設是參數(shù)為的泊松過程，計算。7、考慮一個從底層啟動上升的電梯。以記在第層進入電梯的人數(shù)。假定相互獨立，且是均值為的泊松變量。在第層進入的各個人相互獨立地以概率在第層離開電梯，。令在第層離開電梯的人數(shù)。（1）計算（2）的分布是什么（3）與的聯(lián)合分布是什么8、一質點在1，2，3點上作隨機游動。若在時刻質點位于這三個點之一，則在內，它都以概率 分別轉移到其它兩點之一。試求質點隨機游動的柯爾莫哥洛夫微分方程，轉移概率及平穩(wěn)分布。1有隨機過程x(t)，-t和h(t)，-t，設x(t)=A sin(w t+Q)，h(t)=B sin(w t+Q+f), 其中

3、A，B，w，f為實常數(shù)，Q均勻分布于0，2p，試求Rxh(s,t) 2（15分）隨機過程x(t)=Acos(wt+F )，-t +，其中A, w,F 是相互統(tǒng)計獨立的隨機變量，EA=2, DA=4, w 是在-5, 5上均勻分布的隨機變量，F(xiàn) 是在-p，p上均勻分布的隨機變量。 試分析x(t)的平穩(wěn)性和各態(tài)歷經性。3某商店顧客的到來服從強度為4人每小時的Poisson過程，已知商店9：00開門，試求：（1）在開門半小時中，無顧客到來的概率； （2）若已知開門半小時中無顧客到來，那么在未來半小時中，仍無顧客到來的概率。4設某廠的商品的銷售狀態(tài)（按一個月計）可分為三個狀態(tài)：滯銷（用1表示）、正常（

4、用2表示）、暢銷（用3表示）。若經過對歷史資料的整理分析，其銷售狀態(tài)的變化（從這月到下月）與初始時刻無關，且其狀態(tài)轉移概率為pij（pij表示從銷售狀態(tài)i經過一個月后轉為銷售狀態(tài)j的概率），一步轉移開率矩陣為：試對經過長時間后的銷售狀況進行分析。5設X(t),t0是獨立增量過程, 且X(0)=0, 證明X(t),t0是一個馬爾科夫過程。6設是強度為的泊松過程，是一列獨立同分布隨機變量，且與獨立，令，證明：若，則7.設明天是否有雨僅與今天的天氣有關，而與過去的天氣無關。又設今天下雨而明天也下雨的概率為，而今天無雨明天有雨的概率為；規(guī)定有雨天氣為狀態(tài)0，無雨天氣為狀態(tài)1。設，求今天有雨且第四天仍有

5、雨的概率。8設是平穩(wěn)過程，令，其中w0是常數(shù)，Q為均勻分布在0,2p上的隨機變量，且與Q相互獨立，Rx(t)和Sx(w)分別是的相關函數(shù)與功率譜密度，試證：（1）是平穩(wěn)過程，且相關函數(shù)：（2）的功率譜密度為：9已知隨機過程x(t )的相關函數(shù)為：，問該隨機過程x(t )是否均方連續(xù)？是否均方可微？1、設隨機過程，為常數(shù)，服從區(qū)間上的均勻分布。（1）求的一維概率密度和一維分布函數(shù)；（2）求的均值函數(shù)、相關函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)?！纠碚摶A】（1），則為密度函數(shù)；（2）為上的均勻分布，概率密度函數(shù)，分布函數(shù)，；（3）參數(shù)為的指數(shù)分布，概率密度函數(shù)，分布函數(shù)，；（4）的正態(tài)分布，概率密度函數(shù)，分布函數(shù)，若

6、時，其為標準正態(tài)分布?！窘獯稹勘绢}可參加課本習題2.1及2.2題。（1）因為上的均勻分布，為常數(shù)，故亦為均勻分布。由的取值范圍可知，為上的均勻分布，因此其一維概率密度，一維分布函數(shù)；（2）根據相關定義，均值函數(shù)；相關函數(shù)；協(xié)方差函數(shù)（當時為方差函數(shù)）【注】；求概率密度的通解公式2、設是參數(shù)為的維納過程，是正態(tài)分布隨機變量；且對任意的，與均獨立。令，求隨機過程的均值函數(shù)、相關函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)?！窘獯稹看祟}解法同1題。依題意，因此服從于正態(tài)分布。故：均值函數(shù)；相關函數(shù)；協(xié)方差函數(shù)（當時為方差函數(shù)）3、 設到達某商場的顧客人數(shù)是一個泊松過程，平均每小時有180人，即；且每個顧客的消費額是服從參數(shù)為的

7、指數(shù)分布。求一天內（8個小時）商場營業(yè)額的數(shù)學期望與方差?！窘獯稹看祟}可參見課本習題3.10題。由題意可知，每個顧客的消費額是服從參數(shù)為的指數(shù)分布，由指數(shù)分布的性質可知：，故，則由復合泊松過程的性質可得：一天內商場營業(yè)額的數(shù)學期望；一天內商場營業(yè)額的方差。4、設馬爾可夫鏈的轉移概率矩陣為：（1）求兩步轉移概率矩陣及當初始分布為時，經兩步轉移后處于狀態(tài)2的概率。（2）求馬爾可夫鏈的平穩(wěn)分布?！窘獯稹靠蓞⒖冀滩睦?.3題及4.16題（1）兩步轉移概率矩陣當初始分布為時，故經兩步轉移后處于狀態(tài)2的概率為0.35。（2）因為馬爾可夫鏈是不可約的非周期有限狀態(tài)，所以平穩(wěn)分布存在。得如下方程組解上述方程組

8、得平穩(wěn)分布為5、設馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間，轉移概率矩陣為：求狀態(tài)的分類、各常返閉集的平穩(wěn)分布及各狀態(tài)的平均返回時間?！窘獯稹看祟}比較綜合，可參加例4.13題和4.16題畫出狀態(tài)轉移圖如下：42153（1）由上圖可知，狀態(tài)分類為（2）由上圖及常返閉集定義可知，常返閉集有兩個，下面分別求其平穩(wěn)分布及各狀態(tài)的平均返回時間。A、對常返閉集而言，解方程組解上述方程組得平穩(wěn)分布為則各狀態(tài)的平均返回時間分別為B、對常返閉集而言，解方程組解上述方程組得平穩(wěn)分布為則各狀態(tài)的平均返回時間分別為6、設是參數(shù)為的泊松過程，計算?！窘獯稹?7、考慮一個從底層啟動上升的電梯。以記在第層進入電梯的人數(shù)。假定相互獨立，且是均值

9、為的泊松變量。在第層進入的各個人相互獨立地以概率在第層離開電梯，。令在第層離開電梯的人數(shù)。（1）計算（2）的分布是什么（3）與的聯(lián)合分布是什么【解答】此題與本書聯(lián)系不大，據有關方面信息，此次考試此題不考。以記在第層乘上電梯，在第層離去的人數(shù)，則是均值為的泊松變量,且全部相互獨立。因此：(1) (2) 由泊松變量的性質知，(3) 因，則，為期望。8、一質點在1，2，3點上作隨機游動。若在時刻質點位于這三個點之一，則在內，它都以概率 分別轉移到其它兩點之一。試求質點隨機游動的柯爾莫哥洛夫微分方程，轉移概率及平穩(wěn)分布?！窘獯稹繀⒁娊滩牧曨}5.2題依題意，由得，柯爾莫哥洛夫向前方程為，由于狀態(tài)空間，故

10、，所以，解上述一階線性微分方程得：，由初始條件確定常數(shù)，得故其平穩(wěn)分布1、有隨機過程x(t)，-t和h(t)，-t，設x(t)=A sin(w t+Q)，h(t)=B sin(w t+Q+f), 其中A，B，w，f為實常數(shù)，Q均勻分布于0，2p，試求Rxh(s,t) 1.解：2、隨機過程x(t)=Acos(wt+F )，-t =0，依題意N(t)是參數(shù)為l的Poisson過程。（1）在開門半小時中，無顧客到來的概率為：（2）在開門半小時中無顧客到來可表示為，在未來半小時仍無顧客到來可表示為，從而所求概率為：4、設某廠的商品的銷售狀態(tài)（按一個月計）可分為三個狀態(tài)：滯銷（用1表示）、正常（用2表示

11、）、暢銷（用3表示）。若經過對歷史資料的整理分析，其銷售狀態(tài)的變化（從這月到下月）與初始時刻無關，且其狀態(tài)轉移概率為pij（pij表示從銷售狀態(tài)i經過一個月后轉為銷售狀態(tài)j的概率），一步轉移開率矩陣為：試對經過長時間后的銷售狀況進行分析。4、解答：由一步轉移概率矩陣可知狀態(tài)互通，且pii0，從而所有狀態(tài)都是遍歷狀態(tài)，于是極限分布就是平穩(wěn)分布。設平穩(wěn)分布為p=p1，p2，p3，求解方程組：p=pP, p1+p2+p3=1即：得：即極限分布為：由計算結果可以看出：經過相當長時間后，正常銷售狀態(tài)的可能性最大，而暢銷狀態(tài)的可能性最小。5、試對以下列矩陣為一步轉移概率矩陣的齊次馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間進行分解。（1）（2）5、6、一個服務系統(tǒng)，顧客按強度為l的Poisson過程到達，系統(tǒng)內只有一個服務員，并且服務時間服從參數(shù)為m的負指數(shù)分布，如果服務系統(tǒng)內沒有顧客，則顧客到達就開始服務，否則他就排隊。但是，如果系統(tǒng)內有兩個顧客在排隊，他就離開而不返回。令x(t)表示服務系統(tǒng)中的顧客數(shù)目。（1）寫出狀態(tài)空間；（2）求Q矩陣7、設是平穩(wěn)過程，令，其中w0是常數(shù)，Q為均勻分布在0,2p上的隨機變量