1-1-1正弦定理

1、【課標要求課標要求】 1了解正弦定理的推導過程了解正弦定理的推導過程 2掌握正弦定理，并能解決一些簡單的三角形問題掌握正弦定理，并能解決一些簡單的三角形問題【核心掃描核心掃描】 1利用正弦定理進行邊角轉(zhuǎn)化解決三角形問題利用正弦定理進行邊角轉(zhuǎn)化解決三角形問題(重點重點) 2已知兩邊和其中一邊的對角判斷三角形解的情況已知兩邊和其中一邊的對角判斷三角形解的情況(難點難點)1.1.1 正弦定理正弦定理1.1正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理正弦定理正弦定理自學導引自學導引正弦的比正弦的比1 ：嘗試用向量方法證明正弦定理嘗試用向量方法證明正弦定理當當ABC為直角三角形時，由三角函數(shù)定義知，顯然成立為直

2、角三角形時，由三角函數(shù)定義知，顯然成立圖圖2圖圖1解三角形解三角形(1)把三角形的把三角形的_和它們的和它們的_，叫做三角形的元素叫做三角形的元素(2)已知三角形的幾個元素求已知三角形的幾個元素求_的過程叫做解三角的過程叫做解三角形形2三個角三個角A，B，C對邊對邊a，b，c其他元素其他元素 ：在：在ABC中，已知角中，已知角A，B和邊和邊a，利用正弦定，利用正弦定理，你能求角理，你能求角C和邊和邊b，c嗎？嗎？正弦定理的常見變形正弦定理的常見變形(1)asin Bbsin A，asin Ccsin A，bsin Ccsin B.(2)三角形的邊長之比等于對應角的正弦比，即三角形的邊長之比等于

3、對應角的正弦比，即a b csin A sin B sin C.名師點睛名師點睛1利用正弦定理解三角形常見的兩種類型利用正弦定理解三角形常見的兩種類型(1)已知兩角與任一邊，求其他兩邊和一角已知兩角與任一邊，求其他兩邊和一角(2)已知兩邊與其中一邊的對角，求另一邊的對角，從而求已知兩邊與其中一邊的對角，求另一邊的對角，從而求出其他的邊和角出其他的邊和角如在如在ABC中，已知中，已知a，b和角和角A時，解的情況如下：時，解的情況如下：2A為銳角為銳角A為鈍角或直角為鈍角或直角圖圖形形A為銳角為銳角A為鈍角或直角為鈍角或直角關系式關系式absin Absin Aababab解的個解的個數(shù)數(shù)一解一解

4、兩解兩解一解一解一解一解題型一已知三角形的兩角及一邊解三角形題型一已知三角形的兩角及一邊解三角形 在在ABC中，已知中，已知a8，B60，C75，求，求A，b，c.思路探索思路探索 先求角先求角A，再用正弦定理求，再用正弦定理求b和和c. 【例例1】 已知三角形的兩角和任一邊解三角形，已知三角形的兩角和任一邊解三角形，基本思路是：基本思路是：(1)若所給邊是已知角的對邊時，可由正弦定理求另若所給邊是已知角的對邊時，可由正弦定理求另一角所對邊，再由三角形內(nèi)角和定理求出第三個一角所對邊，再由三角形內(nèi)角和定理求出第三個角角(2)若所給邊不是已知角的對邊時，先由三角形內(nèi)角若所給邊不是已知角的對邊時，先

5、由三角形內(nèi)角和定理求出第三個角，再由正弦定理求另外兩邊和定理求出第三個角，再由正弦定理求另外兩邊在在ABC中，中，a5，B45，C105，求邊，求邊c.【變式變式1】 在在ABC中，分別根據(jù)下列條件解三角形：中，分別根據(jù)下列條件解三角形：思路探索思路探索 解題的關鍵是判斷解的個數(shù)解題的關鍵是判斷解的個數(shù)題型題型二二已知兩邊及一邊的對角解三角形已知兩邊及一邊的對角解三角形【例例2】 利用正弦定理解決利用正弦定理解決“已知三角形的任意已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角求其他邊與角兩邊與其中一邊的對角求其他邊與角”的問題時，的問題時，可能出現(xiàn)一解、兩解或無解的情況，應結(jié)合可能出現(xiàn)一解、兩解或無解的

6、情況，應結(jié)合“三角三角形大邊對大角形大邊對大角”來判斷解的情況，做到正確取舍來判斷解的情況，做到正確取舍 滿足滿足a4，b3和和A45的的ABC的個數(shù)為的個數(shù)為 ()A0個個 B1個個 C2個個 D無數(shù)多個無數(shù)多個ba，B有一解，故有一解，故ABC的個數(shù)為的個數(shù)為1個個答案答案B【變式變式2】 在在ABC中，若中，若sin A2sin Bcos C，且，且sin2Asin2Bsin2C，試判斷，試判斷ABC的形狀的形狀思路探索思路探索 首先利用正弦定理將首先利用正弦定理將sin2Asin2Bsin2C中的中的角的關系轉(zhuǎn)化為邊的關系，再利用內(nèi)角和角的關系轉(zhuǎn)化為邊的關系，再利用內(nèi)角和ABC及及三角

7、函數(shù)的知識判斷形狀三角函數(shù)的知識判斷形狀題型題型三三利用正弦定理判斷三角形的形狀利用正弦定理判斷三角形的形狀【例例3】A90，BC90.由由sin A2sin Bcos C，得，得sin 902sin Bcos(90B)，ABC是等腰直角三角形是等腰直角三角形sin2Asin2Bsin2C，a2b2c2，ABC是直角三角形且是直角三角形且A90.A180(BC)，sin A2sin Bcos C，sin(BC)2sin Bcos C.sin Bcos Ccos Bsin C0，即即sin(BC)0.BC0，即，即BC.ABC是等腰直角三角形是等腰直角三角形【題后反思題后反思】 依據(jù)條件中的邊角

8、關系判斷三角形的形狀依據(jù)條件中的邊角關系判斷三角形的形狀時，主要有以下兩種途徑：時，主要有以下兩種途徑：(1)利用正弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為邊邊關系，通過因式分利用正弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為邊邊關系，通過因式分解、配方等得出邊的相應關系，從而判斷三角形的形狀；解、配方等得出邊的相應關系，從而判斷三角形的形狀；(2)利用正弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為內(nèi)角的三角函數(shù)間的關利用正弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為內(nèi)角的三角函數(shù)間的關系，通過三角函數(shù)恒等變形得出內(nèi)角的關系，從而判斷出系，通過三角函數(shù)恒等變形得出內(nèi)角的關系，從而判斷出三角形的形狀，此時要注意應用三角形的形狀，此時要注意應用ABC這個結(jié)論在這個結(jié)論在兩種解法的

9、等式變形中，一般兩邊不要約去公因式，應移兩種解法的等式變形中，一般兩邊不要約去公因式，應移項提取公因式，以免漏解項提取公因式，以免漏解 在在ABC中，已知中，已知a2tan Bb2tan A，試判斷，試判斷ABC的形狀的形狀sin Acos Asin Bcos B，即，即sin 2Asin 2B.2A2B或或2A2B，即即AB或或AB .ABC為等腰三角形或直角三角形為等腰三角形或直角三角形【變式變式3】 (12分分)在銳角在銳角ABC中，角中，角A，B，C分別對應邊分別對應邊a，b，c，且，且a2bsin A，求，求cos Asin C的取值范圍的取值范圍審題指導審題指導 本題綜合考查了正弦

10、定理、三角恒等變換及三本題綜合考查了正弦定理、三角恒等變換及三角函數(shù)性質(zhì)的應用角函數(shù)性質(zhì)的應用規(guī)范解答規(guī)范解答 設設R為為ABC外接圓的半徑外接圓的半徑a2bsin A，2Rsin A4Rsin Bsin A，題型題型四四利用正弦定理求最值或范圍利用正弦定理求最值或范圍【例例4】【題后反思題后反思】 在三角形中解決三角函數(shù)的取值范圍或最在三角形中解決三角函數(shù)的取值范圍或最值問題的方法：值問題的方法：(1)利用正弦定理理清三角形中基本量間的關系或求出某些利用正弦定理理清三角形中基本量間的關系或求出某些量量(2)將要求最值或取值范圍的量表示成某一變量的函數(shù)將要求最值或取值范圍的量表示成某一變量的函

11、數(shù)(三三角函數(shù)角函數(shù))，從而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域或最值的問題，從而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域或最值的問題【變式變式4】 在在ABC中，角中，角A，B，C所對的邊分別為所對的邊分別為a，b，c，若若(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，試判斷三角形，試判斷三角形的形狀的形狀錯解錯解 由已知得由已知得(a2b2)(sin Acos Bcos Asin B)(a2b2)(sin Acos Bcos Asin B)，化簡得化簡得a2cos Asin Bb2sin Acos B，由正弦定理得由正弦定理得sin2Acos Asin Bsin2Bsin Acos B，即即sin Acos Asin Bcos B，所以，所以sin 2Asin 2B，所以所以2A2B，即，即AB，故三角形是等腰三角形，故三角形是等腰三角形【示例示例】 誤區(qū)警示忽視等價轉(zhuǎn)化而致誤誤區(qū)警示忽視等價轉(zhuǎn)化而致誤 當兩個角的某三角函數(shù)值相等時，我當兩個角的某三角函數(shù)值相等時，我們并不能肯定這兩個角一定相等，一定要根據(jù)兩們并不能肯定這兩個角一定相等，一定要根據(jù)兩個角的取值范圍結(jié)合誘導公式寫出所有的情況個角的取值范圍結(jié)合誘導公式寫出所有的情況正解正解 易得易得sin 2Asin 2B，所以所以AB或或AB ，所以所以A