焦點專題3導(dǎo)數(shù)與函數(shù)綜合問題(上)

1、焦點專題3導(dǎo)數(shù)與函數(shù)綜合問題(上)【根底盤點】1、判斷函數(shù)單調(diào)性四法：1和、積函數(shù)型觀察法：(i)增函數(shù)+增函數(shù)為，如y x丄；x(ii)正的增函數(shù)x正的增函數(shù)為，如y x ex(x 0)；復(fù)合函數(shù)型箭頭分析法在 fg(x)中，令 t g(x)，有 fg(x)f(t)，當(dāng) xt , f (t)時，fg(x)為函數(shù)，當(dāng) x , t , f(t)時，fg(x)為函數(shù)，當(dāng)x , t , f(t)時，fg(x)為_函數(shù)等，如f(x) log2(x2 1)的遞減區(qū)間為抽象函數(shù)型定義法：(i)當(dāng)x1 x2時,f(X2)f(xj0，知 f(x)為函數(shù),如 對于任意的實數(shù) x, y，滿足f (x y)f(x)

2、f(y)，且當(dāng) x 0 時，f (x)1 ,求證f (x)為增函數(shù)；(ii)當(dāng)x1 x2時,f(X2) f(xj 0,知 f (x)為函數(shù),f(y),且當(dāng) x 1 時，f(x) 0 ,函數(shù)，(ii) f (x)0 f (x)為jIQ1y/旌y=f(x)rX1x如 對于任意的正實數(shù) x, y ,滿足f(xy) f(x)求證f(x)為減函數(shù);具體函數(shù)型導(dǎo)數(shù)法：(i) f (x)0 f (x)為_函數(shù)2、導(dǎo)數(shù)的幾何意義：如圖，曲線y f(x)在點P(x0, y0)處切線的斜率k ;切線方程為 .3、 用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：解不等式f (x) 0可得函數(shù)f (x)的單調(diào)遞區(qū)間 解不等式f (x) 0

3、可得函數(shù)f (x)的單調(diào)遞區(qū)間.4、 知單調(diào)區(qū)間求參數(shù)的范圍：函數(shù)f (x)在區(qū)間I上為增函數(shù) 在區(qū)間I上恒成立；函數(shù)f(x)在區(qū)間I上為減函數(shù) 在區(qū)間I上恒成立(且 f (x)0);通過研究恒成立問題求解參數(shù)的取值范圍35、 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系：(1)試求函數(shù)y x的單調(diào)區(qū)間，并說明單調(diào)區(qū)間端點值的取舍原那么為;(2)試舉一例子說明函數(shù)f (x)在區(qū)間I上為增函數(shù)f (x)0在區(qū)間I上恒成立例子.6、常用求導(dǎo)公式 ： C , (xn),(sin x) , (cos x) ,xx(lnx) ,(logaX) ，(e ),(a ) 7、求導(dǎo)運(yùn)算：(ku) ,(u v) ,(uv) ,(

4、87;)【例題精選】a【例1】討論函數(shù)f(x) x (a R)的單調(diào)性，并畫出其圖象.x【題情捉摸】(1)函數(shù)f (x)的定義域為 ，需在此定義域討論該函數(shù)的單調(diào)性；(2) f(x)的單調(diào)性與a的取值密切相關(guān)，當(dāng)a 0時，可用法得到其單調(diào)性，當(dāng)a 0時，也可用 法得到其單調(diào)性，當(dāng) a 0時，可用法研究其單調(diào)性，再根據(jù)每種情況下的單調(diào)性可畫出其圖象a函數(shù)f(x) x 在區(qū)間1,2上為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍x【題情捉摸】(1) f (x)在1,2上為增函數(shù) 恒成立；(2)得a在1,2上恒成立，于是得a的取值范圍.1 3【例2】(1)函數(shù)f(x) X3 x的遞增區(qū)間為 .3【題情捉摸】(1)計算

5、得f (x) ;(2)令 f (x)0,解得X2(2)函數(shù)f (x) Inx kx,(k為常數(shù))試討論f (x)的單調(diào)性【題情捉摸】 注意到f(x)的定義域為 ,算得f(X)由于x 0,故只需抓住 ，討論它在(0,)上的正、負(fù)即可【真題回憶】1、(2022廣東理改)設(shè)kF(x)的單調(diào)性R，函數(shù)f (x)1-,xx、X, X0，F(xiàn)(x)0f (x) kx，試討論函數(shù)【名模精選】2、(2022惠州二模文)曲線yA. x y 40 B. x在x2處的切線方程為140 C. x y 0D. x y 403、(2022廣州二模理)函數(shù)xsinx,假設(shè) x1,x2f x2 ,那么以下不等式中正確的選項是A

6、. x1x2X2x20D. x122X232x ax4、(2022廣州一模文)函數(shù)是增函數(shù)，函數(shù) f x在R上有三個零點，且bx c在,0上是減函數(shù)，在0,1上1是其中一個零點.(1)求 b的值；求f 2的取值范圍;(3)試探究直線y x 1與函數(shù)yx的圖像交點個數(shù)的情況，并說明理由5、(2022廣州二模文)函數(shù)32x x x ax b(a,b R)的一個極值點為 x 1方程2ax x b 0的兩個實根為函數(shù)f x在區(qū)間，上是單調(diào)的(1)求 a的值;求b的取值范圍【參考答案】【例1】解：可得函數(shù)f(x)的定義域為x 0 ,當(dāng)a0時，f '(x)1ax0,函數(shù)f (x)在(，0),(0,

7、)上為增函數(shù)；當(dāng)a0時，f '(x)10 ,函數(shù)f (x)在(，0),(0,)上為增函數(shù)；當(dāng)a0時，f '(x)1a22x2a (x 也x a)，令 f(x) 0，得 X1a ,2 2 2 x xxX2a，當(dāng)x -、a或x .a時，f (x) 0 , f(x)單調(diào)遞增，當(dāng).a x 0或0 x ,a 時，f (x)0，f (x)單調(diào)遞減，這時f(x)在(，盲),(點，)上為增函數(shù)；在(,a,0),(0,a)上為減函數(shù)；由上面f (x)的單調(diào)性知，當(dāng)a 0時，f (x)的圖象如圖a，當(dāng)a 0時，f (x)的圖象如圖 b，當(dāng)a 0時，f (x)的圖象如圖c，1,2)恒成立，當(dāng)解:得f

8、 '(x)4(xxf (x)在1,2上為增函數(shù)時,a有 10,即 ax【例2】(1)解:由 fx2恒成立, a(x2)min1 .填 (,1(x)x2(2)解:(1)函數(shù)的定義域為(0,)，f'(x)1 故填(,x2 kx 11,1,)./ x 0,令 g(x)x2 kx 1，其對稱軸為x 20,即 k 0 時,g(0)1,g(x)g(0)10在(0,)上恒成立,即有f (x) 0, f(x)在(0,)上為增函數(shù)；k2(ii) 當(dāng)0,且 k 40,即 0 k 2 時,g(x) 0 有 f (x)0 恒成立，2f(x)在(0,)上為增函數(shù)；(iii) 當(dāng) k 2,g(x) (x

9、1)2,那么 x (0,1) U(1,)時,g(x) 0, f (x)0 ,所以f (x)是增函數(shù)；(iv) 當(dāng)k 2時， k2 4 0,方程x2 kx 1 0有兩不等實根Xi戸必k E,且均為正數(shù),2kk2 4 kk2 4x2 或x小 時,g(x) 0, f (x)0, f (x)是增函數(shù),二 x k口 時,g(x) 0,f(x) 0,f(x)是減函數(shù);2 24),k用綜上：當(dāng)k 2時,f (x)在(0,)是增函數(shù)；當(dāng)k 2時，f(x)在(0,')是增函數(shù)，在(kk ，嚴(yán))是減函數(shù).1、解：F(x)f(x) kxkx, xkx, xF'(x)1 k,x_1_2.x(1)當(dāng)k

10、0時,假設(shè)xF (x)F(x)在(k, x,0)上為增函數(shù),假設(shè) x 0 , F (x)令 F (x) 0，得 x1k，令2 . x1喬，令F(x)4k(x)0,得2f x0 x $，4k21 k 0,解得12 ，4k1這時F(x)在(0,24k)上為減函數(shù)，在(*,)上為增函數(shù);當(dāng)k 0時，假設(shè)F (x)0 , F(x)在(，0)上為增函數(shù),假設(shè)x 0, F(x)_1_2 .x0， F(x)在(0,)上為減函數(shù),當(dāng)k 0時，假設(shè)F (x)十(舍去)，令F(x)12 k，令F (x)0，解得人x1飛k 0,解得x得x右或x *，又上是減函數(shù)；0，知函數(shù)F(x)在(.k. k x kk二E,o)

11、上是增函數(shù)，在( k，令 F (x)假設(shè) x 0, F (x)_1_2xk 0 , F(x)在(0,)上是減函數(shù);綜上所述，當(dāng)k 0時，F(xiàn)(x)在(，0),函數(shù)；當(dāng)k 0時，F(xiàn)(x)在(，0)上為增函數(shù),土 0)上是增函數(shù)，在(，*)，(°,(*,在(0,1)上為增函數(shù)，在(0-4k)上為減函數(shù)；當(dāng)k 0時，F(xiàn)(x)上是減函數(shù))上為減2 3BD4.(1)解： f xx3 ax2 bx c,. f x3x2 2ax b./ f x在 ,0上是減函數(shù)，在 0,1上是增函數(shù)，當(dāng)x 0時，f x取到極小值，即f 00. b 0.32解：由知，f x x ax c,/1是函數(shù)f x的一個零點，

12、即f 10 , c 1 a .fx在0,1上是增函數(shù)，且函數(shù)f x在R上有三個零點，52ar.3口X21 ，即 a. 丁是 f 28 4a 1 a 3a 7322x故f 2的取值范圍為2a323x 2ax 0的兩個根分別為捲 0，X2解：由知f xx32 axa，且a要討論直線y x 1與函數(shù)yx圖像的交點個數(shù)情況,即求方程組y2axx 1,3x2 ax解的個數(shù)情況. a3xx21x21 0.x20 . x1或x2a 0.由方程x2(*)得a2 2a 7.a假設(shè)0,即2 a2a70,解得|假設(shè)0,即2 a2a70 ,解得a假設(shè)0,即2 a2a70 ,解得a分別為x1a1a22a7,X22且當(dāng)

13、a 2 時，0, x21.a 2 21.此時方程(*)無實數(shù)解.2 21.此時方程(*)有一個實數(shù)解x2 21 .此時方程(*)有兩個實數(shù)解，1_a2_2a_72 .3綜上所述，當(dāng)a_ 2當(dāng)a 2 21或a當(dāng)a 2 21且a2 21時，直線y x 1與函數(shù)y f x的圖像有一個交點2時，直線y x 1與函數(shù)y2時，直線y x 1與函數(shù)yx的圖像有二個交點x的圖像有三個交點325解:/ f x x x ax b,：2x 3x 2x a.32x x ax b的一個極值點為x 1, ： f 123 12 1 a 0得 a1.2由(1)得 f x 3x 2x 1 3x 1 x 1x 0；當(dāng) 1 x 1 時，f x 0；當(dāng) x 1 時,3x 0；函數(shù)f x在111上單調(diào)遞增，在 1 1上單調(diào)遞減，在1,33上單調(diào)遞增t方程a