2011年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)卷（天津理）含詳解

1、2011天津理 第卷 本卷共8小題，每小題5分，共40分 一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)( )ABCD【解】故選2設(shè)，則“且”是“”的( )A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件【解】因?yàn)榍遥瑒t且，因而，所以“且”是“”的充分條件，取，則滿足， 但不滿足且，所以“且”不是“”的必要條件因此“且”是“”的充分而不必要條件故選3閱讀右邊的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，則輸出的值為( )ABCD 【解】運(yùn)算過程依次為：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以輸出的故選 4已知為等差數(shù)列，其公差為，且是與的等比中項(xiàng)，為的前項(xiàng)和，則的值

2、為 ( )ABCD【解】因?yàn)榈炔顢?shù)列的公差為，則，因?yàn)槭桥c的等比中項(xiàng)，所以，即，所以，于是故選5在的二項(xiàng)展開式中，的系數(shù)為( )ABCD【解】，令，則所以，的系數(shù)，故選6如圖，在中，是邊上的點(diǎn)，且，則的值為( )ABCD【解】解法取的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，于是在中，由正弦定理得，即，所以故選解法2設(shè)，由題設(shè)，在中，由余弦定理得，所以在中，由正弦定理得，即，所以故選7，則( )ABCD【解】解法1，下面比較，和的大小因?yàn)?，則最小，因?yàn)?，所以，因此所以，因而由于函?shù)是上的增函數(shù)，所以故選解法2，下面比較，和的大小因?yàn)?，則最小因?yàn)?，所以，因而由于函?shù)是上的增函數(shù)，所以故選解法3由解法2，,畫

3、出函數(shù)和的圖象,比較的縱坐標(biāo)，可得，于是因而由于函數(shù)是上的增函數(shù)，所以故選8對(duì)實(shí)數(shù)和，定義運(yùn)算“”：設(shè)函數(shù)，若函數(shù)的圖象與軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )ABCD【解】由題設(shè)畫出函數(shù)的圖象，函數(shù)圖象的四個(gè)端點(diǎn)（如圖）為，從圖象中可以看出，直線穿過點(diǎn)，點(diǎn)之間時(shí)，直線與圖象有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)，同時(shí)，直線穿過點(diǎn)及其下方時(shí)，直線與圖象有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是故選第卷二、填空題：本答題共6小題，每小題5分,共30分9一支田徑隊(duì)有男運(yùn)動(dòng)員人，女運(yùn)動(dòng)員人若用分層抽樣的方法從該隊(duì)的全體運(yùn)動(dòng)員中抽取一個(gè)容量為的樣本，則抽取男運(yùn)動(dòng)員的人數(shù)為【解】抽取男運(yùn)動(dòng)員的人數(shù)為（人）10一個(gè)幾何體的

4、三視圖如右圖所示（單位：），則該幾何體的體積為【解】幾何體是由一個(gè)長(zhǎng)方體與一個(gè)圓錐組合的體積為11已知拋物線的參數(shù)方程為(為參數(shù)）若斜率為的直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，且與圓相切，則【解】拋物線的普通方程為，其焦點(diǎn)為直線方程為因?yàn)橹本€與圓相切，則圓心到直線的距離等于半徑，即12如圖，已知圓中兩條弦與相交于點(diǎn)，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，若與圓相切，則線段的長(zhǎng)為【解】因?yàn)?，所以設(shè)，由相交弦定理，所以，因?yàn)榕c圓相切，由切割線定理，所以13已知集合，則集合【解】解集合當(dāng)時(shí)，不等式化為，解得所以解為；當(dāng)時(shí)，不等式化為，即所以解為；當(dāng)時(shí)，不等式化為，解得，所以解為綜合以上，解集合因?yàn)?，所以，所以，因?4已知直角梯形

5、中，是腰上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為【解】解法1 以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖的直角坐標(biāo)系由題設(shè)，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，于是，當(dāng)時(shí)，有最小值解法2 以相互垂直的向量，為基底表示，得 又是腰上的動(dòng)點(diǎn)，即與共線，于是可設(shè)，有所以即 由于是腰上的動(dòng)點(diǎn)，顯然當(dāng)，即時(shí)，所以有最小值解法3 如圖，設(shè)為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則，因?yàn)?，則（實(shí)際上，就是定理：“平行四邊形的對(duì)角線的平方和等于各邊的平方和”）設(shè)為的中點(diǎn)，則為梯形的中位線，設(shè)為的中點(diǎn)，且設(shè)，則，代入式得，于是，于是，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立由式，所以有最小值三、解答題：本大題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟

6、15(本小題滿分13分) 已知函數(shù)，() 求函數(shù)的定義域與最小正周期；() 設(shè)，若，求的大小【解】()函數(shù)的定義域滿足，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)樽钚≌芷跒?) 解法因?yàn)?，所以，所以，于是，因?yàn)?，所以，所以，因而，因?yàn)?，所以，所以，解?因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，于是，整理得，所以，因?yàn)?，所以，因此解?，因?yàn)?，所以得故于是所?6(本小題滿分13分)學(xué)校游園活動(dòng)有這樣一個(gè)游戲項(xiàng)目：甲箱子里裝有個(gè)白球，個(gè)黑球，乙箱子里裝有個(gè)白球，個(gè)黑球，這些球除顏色外完全相同，每次游戲從這兩個(gè)箱子里各隨機(jī)摸出個(gè)球，若摸出的白球不少于個(gè)則獲獎(jiǎng)（每次游戲結(jié)束后將球放回原箱）()求在次游戲中，() 摸出個(gè)白球的

7、概率；() 獲獎(jiǎng)的概率；()求在次游戲中，獲獎(jiǎng)次數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望【解】() ()設(shè)“在次游戲中摸出個(gè)白球”為事件，則()設(shè)“在次游戲中獲獎(jiǎng)”為事件，則，因?yàn)楹突コ猓?) 的所有可能值為，所以的分布列是數(shù)學(xué)期望17(本小題滿分13分)如圖，在三棱柱中中，是正方形的中心，且() 求異面直線與所成角的余弦值；() 求二面角的正弦值；() 設(shè)為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在平面內(nèi)，且，求線段的長(zhǎng)【解】解法如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，其中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸由題意，() ,.所以.() ,，設(shè)平面的法向量為，則即令，則，設(shè)平面的法向量為，則即令，則，于是，所以所以二面角的正弦值為() 由為

8、棱的中點(diǎn)，得，設(shè)點(diǎn)，則因?yàn)?，則即解得故向量，所以線段的長(zhǎng)解法2()由于,故是異面直線與所成的角因?yàn)?，是正方形的中心，所以，因?) 連接，因?yàn)榧笆堑闹悬c(diǎn)則，又，所以過點(diǎn)作于，連，于是，所以為二面角的平面角在中，連，在中，從而所以二面角的正弦值為()因?yàn)椋?，取的中點(diǎn)，連接由于為棱的中點(diǎn)，所以，且又，故，因?yàn)?，所以，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則故由，得延長(zhǎng)交于，可得，連接在中，由直角三角形的射影定理，所以，連接，在中，18(本小題滿分13分) 在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，已知為等腰三角形() 求橢圓的離心率；() 設(shè)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，是直線上的點(diǎn)，滿足，求點(diǎn)的軌跡方程【解】

9、()設(shè)，因?yàn)闉榈妊切?，若，則點(diǎn)在軸上，與矛盾，若，則，由，有，即，或，不合題意，所以，則，由，有，即，（舍去）或所以橢圓的離心率為() 解法1因?yàn)?，所以，所以橢圓方程為直線的斜率，則直線的方程為兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組消去并整理得則，于是不妨設(shè)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為則，由得則，由，得，化簡(jiǎn)得將代入得，所以因此點(diǎn)的軌跡方程為，解法2因?yàn)?，所以，橢圓方程為直線的斜率，則直線的方程為兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組消去并整理得則，于是不妨設(shè)，因而點(diǎn)為橢圓短軸的下頂點(diǎn)如圖，因?yàn)椋渣c(diǎn)在線段的內(nèi)部，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為則過和作軸的垂線垂足分別為因?yàn)椋瑒t，于是，因?yàn)?，是直線上的點(diǎn)，則，所以即，由得則，于是，因此點(diǎn)的軌跡方程為，解法

10、3因?yàn)?，所以，所以橢圓方程為直線的斜率，則直線的方程為兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組消去并整理得設(shè)，則，則因?yàn)?，所以，將，代入式得，將代入并整理得將代入得，所以因此點(diǎn)的軌跡方程為，19(本小題滿分14分) 已知，函數(shù)，（的圖象連續(xù)不斷）() 求的單調(diào)區(qū)間；() 當(dāng)時(shí)，證明：存在，使() 若存在屬于區(qū)間的，且，使，證明：【解】() ，令，則當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：?jiǎn)握{(diào)遞增極大值單調(diào)遞減所以的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是() 當(dāng)時(shí)，由()知，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減令由于在單調(diào)遞增，則，因而取，則，所以存在，使，即存在，使() 由及的單調(diào)性知從而在區(qū)間上的最小值為又由，則所以即所以20(本小題滿分14分) 已知數(shù)列與滿足，且，() 求，的值；() 設(shè)，證明是等比數(shù)列() 設(shè)，證明【解】()因?yàn)?，所?/p>