矩陣的LU分解(自編MATLAB)實(shí)驗(yàn)報(bào)告

1、1矩陣的LU分解1.1 LU分解原理定理：設(shè)AC n n,如果A的順序主子式?1?12?2?2,亠,?1?2?22. ?2|丸，l ?1工0?-11?-12?-1?-1? 02 少少那么存在唯一的主對角線上元素全為1的下三角矩陣L與唯一的上三角矩陣U，使得A=LU.證明：對矩陣A的階數(shù)使用數(shù)學(xué)歸納法.顯然，當(dāng)n=1時(shí)，？?1=1 ?1就是唯一的分解式?，F(xiàn)假定對n-1 階矩陣，定理的結(jié)論成立。對 A進(jìn)行分塊?_?A=( ?歹其中？?？?？?-?.由于n-1階矩陣？?_?的k階順序主子式就 是A的k階主子式k=1,2,，n-2故它們都不為零.從而由歸 納法假設(shè)，？?_?有唯一的LU分解?_? =

2、?_?-?其中?-?的主對角線上的元素都1由于02少少?2| =1 ?-?-? 0?-11?2?2所以?-?及?-?是n-1階可逆矩陣先假設(shè)已有A=LU，其中L = (?詁？ 0),/?-?、=(?1? ?尹?是待定向量。作乘積?=耀?-?-?二=嚴(yán)?？ ？?)=A ?_?+ ? ?壽？ ？?厶那么? ?必須滿足注意到？?_?及77?-?都是n-1階可逆矩陣，那么由上式可惟一確定?= ?-?-? ?，? ?= ? ?-?-?, ?= ? ?-這就證明了 A 的 LU 分解的存在性和唯一性1.2 LU 分解算法當(dāng) n 階矩陣滿足定理的條件時(shí)，可以用初等變換的方法求出 L 和 U.因?yàn)楫?dāng) A=LU

3、 時(shí)，由于 L 可逆，故必存在可逆矩陣 P 使得 ?=? ?即PA=PLU=U .也就是說，可以先對 A施行行的初等變換得出 上三角矩陣U，而矩陣P可以通過對單位矩陣I進(jìn)行相同的行初等變 換得出，即P(A,I) =(PA,PI) =(U,P)于是？?= ?為保持P為下三角矩陣從而？?也是下三角矩 陣，在進(jìn)行行初等變換時(shí)，不能進(jìn)行行的對換，上行的倍數(shù)應(yīng)加到 下行的對應(yīng)元 .1.3 LU 分解用于解方程組 矩陣的三角分解在求解線性方程組時(shí)十分方便 .如對線性方程組?=? ?設(shè), ?= ?我. 們先求解方程組 ?=? ?.由于?是下三角矩陣， 那么解向量 ?可以通過依次求出其分量 ?1?, ?2?,

4、 ? ?而求出，在求解方程 組?= ?解. 向量 ?可以通過該方程組依次求出分量 ?, ? ,?2,?1而快 速得出 .于是由兩個(gè)方程組 ?= ?， ?=? ?的求解而給出?=?=? ?= ?的?解.程序流程圖1.5 MATLAB 程序fun cti on f=LU_decom(A)m, n=size(A)if m=nfprintf( Error:m and n must be equal!m=%d,n=%dn：m,n) endfor i=1: n-1if (det(A(1:i,1:i)=0)fprintf( Error:det A(%d,%d)=0!n ,i,i)flag二failurere

5、turn;elseflag=ok;endendL=eye(n); U=zeros(n);for i=1:nU(1,i)=A(1,i);endfor r=2:nL(r,1)=A(r,1)/U(1,1); end for i=2:n for j=i:n z=0;for r=1:i-1 z=z+L(i,r)*U(r,j);endU(i,j)=A(i,j)-z;endif abs(U(i,i) A=2 1 1;4 1 0;-2 2 1;LU_decom(A)m =3n =3L =100210-1-31U =2110-1-200-42解方程組，程序及結(jié)果如下%-用LU分解解線性方程組 y=zeros(n,1);y(1)=b(1);for i=2:ny(i)=b(i)-sum(L(i,1:i-1).*y(1:i-1); end y x(n)=y(n)/U(n,n);for i=n-1:-1:1x(i)=(y(i)-sum(U(i,i+1:n).*x(i+1)/U(i,i); end x=x 運(yùn)行結(jié)果如下：y =102x =數(shù)據(jù)分析調(diào)用MATLAB固有的LU分解函數(shù)，以及解方程組相關(guān)函數(shù)對以上數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，運(yùn)行結(jié)果如下： A=2 1 1;4 1 0;-2 2