灰度圖像的小波分解與重構(gòu)

1、灰度圖像的小波分解與重構(gòu) 摘要：本文概述了小波變換的基本理論，介紹了haar小波的分解和重構(gòu)過程，并在Matlab環(huán)境下實現(xiàn)了用haar小波對灰度圖像的三級分解與重構(gòu)，最后對結(jié)果作了簡要的分析與討論。關(guān)鍵詞：小波；小波變換；圖像分解；圖像重構(gòu)1.引言小波變換理論自80年代末成為國際上十分活躍的研究領(lǐng)域，是繼Fourier變換發(fā)展的一個新的里程碑。由于小波變換克服了傅立葉變換在單分辨率上的缺陷，具有多分辨率分析的特點，在時域和頻域都有表征信號局部信息的能力，從而使小波理論在圖像處理、故障診斷、量子場論、光學(xué)成像、數(shù)據(jù)壓縮等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。小波變換在圖像處理中主要用于以下幾個方面：圖像分解、

2、圖像重構(gòu)、圖像融合、圖像消噪等。本文主要討論了小波分解與重構(gòu)過程，在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步闡述了在Matlab環(huán)境下利用haar小波對灰度圖像進(jìn)行三級分解和重構(gòu)的編碼實現(xiàn)。2.小波變換的基本理論2.1.小波變換的定義一個實值函數(shù),若它的頻譜滿足允許條件（Admissible Condition）。則被稱作一個基本小波或母小波（mother wavelet）。由于在積分式的分母上，所以必須有=0, =0。可以看到，類似于一個帶通濾波器的傳遞函數(shù)，是的傅立葉變換。小波是一個滿足R=0的,通過平移和伸縮而產(chǎn)生的一個函數(shù)族, ,被稱為小波基或小波。設(shè)2,定義其小波變換為： 由定義可見，參數(shù),具有非常重要的意義

3、，為伸縮因子，反映一個特定基函數(shù)的尺度，它的變化不僅改變連續(xù)小波的頻譜結(jié)構(gòu)，而且也改變其窗口的大小和形狀。為平移因子，指明它沿x軸的平移位置。2.2. 小波變換的基本思想小波變換是用一組小波函數(shù)或者基函數(shù)表示一個函數(shù)或者信號，例如圖像信號。其核心就是對圖像對應(yīng)的像素值或者叫做圖像位置的系數(shù)進(jìn)行均值和差值的操作計算，產(chǎn)生新的像素值的平均值和細(xì)節(jié)系數(shù)表示的圖像，進(jìn)一步去除一些微不足道的細(xì)節(jié)系數(shù)，從而提高小波圖像的編碼效率，達(dá)到取得較好的圖像壓縮的目的。3.小波分解與重構(gòu)過程由于基本小波的選取具有很大的靈活性(只要滿足允許條件即可)，因此研究者應(yīng)根據(jù)所討論問題的自身特點，選取基本小波。小波有多種，選

4、擇什么樣的小波對信號分析是一個至關(guān)重要的問題。它直接關(guān)系到使用小波分析能否達(dá)到分析的目的。3.1.haar小波Haar小波是小波分析中最早用到的一個具有緊支撐的正交小波函數(shù)，由于它計算簡單，因此常用于圖像的分析上，haar小波是由一組分段常數(shù)值函數(shù)組成的函數(shù)集，它是非連續(xù)的。Haar小波函數(shù)的定義為：其圖像如圖1所示:Haar小波尺度函數(shù)為: 1 x 0,1 Y(x) = 0 其它其圖像如圖2所示:3.2. Haar小波的分解 Haar小波的分解方法假設(shè)現(xiàn)有一幅分辨率為8個像素的一維圖像,對應(yīng)的像素值為:32 10 9 65 4 6 7 23用haar小波分解的過程如下:（1）、求均值（ave

5、raging）。計算相鄰像素對的平均值，得到一幅分辨率比較低的新圖像，它的像素數(shù)目且變成了4個，即新的圖像分辨率為原來圖像的1/2，其像素值為21 37 5 15。（2）、求差值（differencing）。很明顯，用4個像素表示這幅圖像時，造成圖像信息部分丟失。為了能從4個像素組成的圖像重構(gòu)出8個像素的原圖像，就需要存儲一些圖像的細(xì)節(jié)系數(shù)（detail coefficient），以便在重構(gòu)時找回丟失的信息。方法是用第一個像素值減去這個像素對的平均值或者是用這個像素對的差值除以2。在這個例子中，第一個細(xì)節(jié)系數(shù)是（32-11）=11。使用同樣的方法，原圖像可表示為21 37 5 15 11 -2

6、8 -1 -8。（3）、第一層變換得到的圖像重復(fù)步驟（1）、（2），進(jìn)行進(jìn)一步分解，過程如表1所示： 表1 haar小波變換過程分辨率平均值細(xì)節(jié)系數(shù)原始圖像832 10 9 65 4 6 7 23第一級分解421 37 5 15-11 -28 -1 -8第二級分解229 10-8 -5 11 -28 -1 -8第三級分解119.5-9.5 -8 -5 11 -28 -1 -8可見，小波變換的最后結(jié)果仍然是8個系數(shù),但系數(shù)大幅度減小。這一幅圖像可由19.5 -9.5 -8 -5 11 28 -1 -8表示，其中第1個數(shù)表示整個像素值的平均值，后7個數(shù)代表細(xì)節(jié)系數(shù)，這個過程叫做哈爾小波變換（haa

7、r wavelet transform），也稱哈爾小波分解（haar wavelet decomposition）。一般來說，小波變換具有如下特征： 變換過程中沒有丟失信息，因為能夠從所記錄的數(shù)據(jù)中重構(gòu)出原始圖像。 對這個給定的變換，我們可以從所記錄的數(shù)據(jù)中重構(gòu)出各種分辨率的圖像。例如，在分辨率為1的圖像基礎(chǔ)上重構(gòu)出分辨率為2的圖像；在分辨率為2的圖像基礎(chǔ)上重構(gòu)出分辨率為4的圖像。 通過變換之后產(chǎn)生的細(xì)節(jié)系數(shù)的幅度值比較小，這就為圖像壓縮提供了一種途徑，例如去掉一些微不足道的細(xì)節(jié)系數(shù)并不影響對重構(gòu)圖像的理解。（這一點似量化后的DCT交流系數(shù)）。前面介紹了一維haar小波變換的方法，而對于二維小

8、波變換，可由連續(xù)2次應(yīng)用一維的haar小波變換來實現(xiàn)，即對像素矩陣的每一行計算相鄰像素對的平均值和差值作變換，對其每一列也作同樣的變換可得到二維haar小波變換。同時根據(jù)行列變換次序haar小波變換又可以分為標(biāo)準(zhǔn)分解和非標(biāo)準(zhǔn)分解。如果先行變換再列變換則稱為標(biāo)準(zhǔn)分解；行和列像素值交替變換則稱為非標(biāo)準(zhǔn)分解。 Haar小波三級分解示意圖原圖像（如圖3所示），經(jīng)過一次haar小波變換得到圖像的低頻分量（LL）、高頻水平分量（LH）、垂直邊緣分量（LH）和對角邊緣分量（HH）值，如圖4所示：圖2中左上角是原始圖像在低分辨率的一個近似，是一個低頻子圖像，其余部分都是不同分辨率的高頻子圖像，對一幅圖像而言最

9、重要的部分是它的低頻部分，因此對低頻部分進(jìn)行遞歸分解輸出，而去掉圖像高頻部分就可以得到進(jìn)一步的分解結(jié)果，如圖5所示：3.3.haar小波的重構(gòu)方法經(jīng)過小波變換后得到了一系列分辨率不同的圖像，如上面的例子就可以得到分辨率為1，2，4，8的圖像，同時變換過程中產(chǎn)生了一些細(xì)節(jié)系數(shù)，在圖像進(jìn)行重構(gòu)時事實上可以去掉某些分量而不會對重構(gòu)圖像的質(zhì)量產(chǎn)生較大的影響，這樣可以減少計算量，具體的做法是進(jìn)行閥值的設(shè)定，設(shè)一個閥值d，把細(xì)節(jié)系數(shù)中d的值置為0，如上例中如果設(shè)閥值為5，經(jīng)過變換后得到：-9.5 0 0 11 0 0 0，去掉了5個細(xì)節(jié)系數(shù)，在此基礎(chǔ)上通過小波逆變換就可得到重構(gòu)圖像。3.4.haar小波的

10、分解與重構(gòu)過程示意圖4.小波圖像分解與合成的編碼實現(xiàn) 以上分析了小波圖像分解與合成的過程，為了驗證圖像分解與重構(gòu)的效果，使用MATLAB7.0設(shè)計了3級小波分解和重構(gòu)圖像程序，通過編程實現(xiàn)了圖像的三級標(biāo)準(zhǔn)小波分解，分解結(jié)果的輸出。 Matlab軟件是一種被公認(rèn)的功能強(qiáng)人的用于進(jìn)行科學(xué)計算和工程計算的交互式軟件。其編程語言具有簡單、高效、功能強(qiáng)大的特點，在科學(xué)與工程計算領(lǐng)域，它有著其他語言無與倫比的優(yōu)勢。文中所用的小波是Matlab軟件的小波工具包中的Haar小波。4.1.圖像分解與重構(gòu)的Matlab程序設(shè)計圖像分解與重構(gòu)的Matlab程序設(shè)計流程圖程序可對Png格式的256級灰度圖，256色彩

11、圖和真彩色圖文件進(jìn)行3級小波分解和合成。其中灰度圖、彩圖、真彩圖所對應(yīng)的處理程序（分解、合成）是各不相同的，為了簡便，這里僅給出256級灰度圖像的處理程序。256級灰度圖的三級小波分解程序 （1）%一級小波分解及繪圖sx=size(x);ca1,ch1,cv1,cd1=dwt2(x, wname);subplot(1,3,1);imagesc(ca1,ch1,cv1,cd1);colormap(map);axis square. (2) %二級小波分解及繪圖sx=size(x);ca2,ch2,cv2,cd2=dwt2(ca1, wname);tm=ca2,ch2,cv2,cd2;subplo

12、t(1,3,2);imagesc(tm,ch1,cv1,cd1);colormap(map);axis square. (3) %三級小波分解及繪圖 sx=size(ca2);ca3,ch3,cv3,cd3=dwt2(ca2,wname);tm=ca3,ch3,cv3,cd3;tm=tm,ch2,cv2,cd2;subplot(1,3,3);imagesc(tm,ch1,cv1,cd1);colormap(map);axis square. 在上面的Matlab程序中用到函數(shù)dwt2，下面簡單介紹這個函數(shù)：dwt2函數(shù)，其語法格式為：ca,ch,cv,cd=dwt2(x,wname)該函數(shù)用于

13、進(jìn)行二維離散小波分解，x被稱為分解的離散信號，wname為分解所用的小波名稱。ca，ch，cv，cd是圖像分解后低頻子圖，水平高頻子圖、垂直高頻子圖、對角高頻子圖所對應(yīng)的小波系數(shù)矩陣。.256級灰度圖的小波重構(gòu)程序y=threshall(ca3,ch3,cv3,cd3,ch2,cv2,cd2,ch1,cv1,cd1,thr,wavetype,sx,sx2,sx4); subplot(1,1,1);image(y);colormap(map);axis square;%閥值處理及重構(gòu)圖像矩陣functionya=threshall(xa3,xh3,xv3,xd3,xh2,xv2,xd2,xh1,

14、xd1,xd1,thr,wavetype,sx,sx2,sx4);ya3=thresh(xa3,thr);yh3=thresh(xh3,thr);yv3=thresh(xv3,thr);yd3=thresh(xd3,thr);yh2=thresh(xh2,thr);yv2=thresh(xv2,thr);yd2=thresh(xd2,thr);yh1=thresh(xh1,thr);yv1=thresh(xv1,thr);yd1=thresh(xd1,thr);ya2=idwt2(ya3,yh3,yv3,yd3, wname,sx4);ya1=idwt2(ya2,yh2,yv2,yd2, wn

15、ame,sx2);ya=idwt2(ya1,yh1,yv1,yd1, wname,sx).程序中，子程序thresh()用于對小波分解后的各子圖的小波系數(shù)進(jìn)行處理，idwt()是小波工具箱中用于圖像二維重構(gòu)的函數(shù)，它與dwt2匹配使用，wname為重構(gòu)所用的小波名稱。4.2.應(yīng)用實例現(xiàn)有實例一則：對Lena的PNG格式256*256像素的256級灰度圖進(jìn)行了三級haar小波分解以及在不同閥值下的重構(gòu)，該程序可對MATLAB7.0工具所支持的bmp,jpg,pcx,tif等圖像格式進(jìn)行處理。致 謝在此，我要特別感謝我的指導(dǎo)老師羊波副教授，本論文是在羊老師的精心指導(dǎo)和耐心幫助下才能夠順利完成的，尤

16、其是在我遇到困難而想退縮時給我鼓勵，感謝他給我提出的寶貴意見和建議。羊老師淵博的知識，嚴(yán)謹(jǐn)求實的作風(fēng)和百誨不倦的精神，讓我廣為受益。同時也要感謝我們系的所有老師在這4年來給我的幫助和指導(dǎo)，也感謝那些對我提供幫助的同學(xué)，同時也感謝參與論文評審的全體老師！ 參考文獻(xiàn)：1 姚敏.數(shù)字圖像處理M .北京：機(jī)械工業(yè)出版社.2006.12 飛思科技產(chǎn)品研發(fā)中心編著.MATLAB6.5輔助圖像處理M .北京：電子工業(yè)出版社，2003，13 陳書海，傅錄祥.實用數(shù)字圖像處理M.北京：科學(xué)出版社，20054 陳武凡.小波分析及其在圖像處理中的應(yīng)用M.北京：20025 李利明，楊莉軍，王洪.基于小波的二維圖像分解

17、與重構(gòu)J.湖南冶金真職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報，2005，20（2）：465-470附： 小波分解代碼： %一級分解A0=imread('lena.png');imshow(A0);disp('1');whos('A0')CA1,CH1,CV1,CD1=dwt2(A0,'haar');I2=CA1,CH1;CV1,CD1;image(I2);axis off;title('一級分解后的圖像');%二級分解A0=imread('lena.png');imshow(A0);A=double(A0);disp(&#

18、39;1');whos('A')C S=wavedec2(A,2,'haar')CA2=appcoef2(C,S,'haar',2);CH2=detcoef2('h',C,S,2);CV2=detcoef2('v',C,S,2);CD2=detcoef2('d',C,S,2);CH1=detcoef2('h',C,S,1);CV1=detcoef2('v',C,S,1);CD1=detcoef2('d',C,S,1);%顯示分解結(jié)果A1=CA2

19、,CH2;CV2,CD2;A=A1,CH1;CV1,CD1;image(A);axis off;title('二級分解后的圖像');%三級分解后的圖像A0=imread('lena.png');imshow(A0);A=double(A0);disp('1');whos('A')C S=wavedec2(A,3,'haar')CA3=appcoef2(C,S,'haar',3);CH3=detcoef2('h',C,S,3);CV3=detcoef2('v',C,S,

20、3);CD3=detcoef2('d',C,S,3);CH2=detcoef2('h',C,S,2);CV2=detcoef2('v',C,S,2);CD2=detcoef2('d',C,S,2);CH1=detcoef2('h',C,S,1);CV1=detcoef2('v',C,S,1);CD1=detcoef2('d',C,S,1);%顯示分解結(jié)果A2=CA3,CH3;CV3,CD3A1=A2,CH2;CV2,CD2;A=A1,CH1;CV1,CD1;image(A);axis

21、 off;title('三級分解后的圖像');小波各級近似系數(shù)重構(gòu)代碼：%一級重構(gòu)A0=imread('lena.png');imshow(A0);CA1,CH1,CV1,CD1=dwt2(A0,'haar');A1=upcoef2('a',CA1,'haar');A11=(A1);image(A11);axis off;%二級重構(gòu)A0=imread('lena.png')imshow(A0);C S=wavedec2(A0,2,'haar')CA2=appcoef2(C,S,'haar',2);CH2=detcoef2('h',C,S,2);C