《一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系》（數(shù)學(xué)人教九上）

1、.?一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系?教學(xué)設(shè)計(jì)教材分析: 本課是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元二次方程求根公式的根底上，對(duì)一元二次方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)展再探究，通過本課的學(xué)習(xí)，使學(xué)生進(jìn)一步理解一元二次方程兩根之和、兩根之積與一元二次方程中系數(shù)之間的關(guān)系教學(xué)目的：【知識(shí)與才能目的】1.掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系；2.能運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系解決詳細(xì)問題.【過程與方法】經(jīng)歷探究一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的過程,體驗(yàn)觀察發(fā)現(xiàn)猜測驗(yàn)證的思維轉(zhuǎn)化過程，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的才能.【情感態(tài)度與價(jià)值觀】通過觀察、歸納獲得數(shù)學(xué)猜測，體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)充滿著探究性和創(chuàng)造性，理解事物間互相聯(lián)絡(luò)、互相制約的辯證唯物主義觀點(diǎn)，

2、掌握由“特殊一般特殊的數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生勇于探究的精神.教學(xué)重難點(diǎn)：【教學(xué)重點(diǎn)】一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及其應(yīng)用.【教學(xué)難點(diǎn)】探究一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.課前準(zhǔn)備：多媒體教學(xué)過程：問題1：1一元二次方程的一般形式是什么？2一元二次方程有實(shí)數(shù)根的條件是什么？3當(dāng)>0，0，<0時(shí)，一元二次方程根的情況如何？4一元二次方程的求根公式是什么？師生活動(dòng)老師指導(dǎo)學(xué)生回憶知識(shí)，學(xué)生進(jìn)展口答，老師指出重點(diǎn)答1一元二次方程一般形式為ax2+bx+c=0a0；（2） 當(dāng)0時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（3） 當(dāng)0時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)不等實(shí)根；當(dāng)=0時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)相等實(shí)根；當(dāng)0時(shí)，一

3、元二次方程沒有實(shí)根；（4） 方程ax2+bx+c=0a0的求根公式為0. 【設(shè)計(jì)意圖】通過對(duì)一元二次方程相關(guān)知識(shí)的復(fù)習(xí)穩(wěn)固舊知識(shí)，并為新知識(shí)的學(xué)習(xí)做鋪墊。問題2：請(qǐng)完成下面的表格觀察、考慮表格中方程兩根之和與兩根之積與系數(shù)有何關(guān)系，你能從中發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？你有什么發(fā)現(xiàn)？【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生通過計(jì)算、觀察、分析，發(fā)現(xiàn)一元二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系，開展學(xué)生的感性認(rèn)識(shí)，體會(huì)由特殊到一般的認(rèn)識(shí)過程。問題3：1填寫上表后考慮：運(yùn)用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，你能解答以下問題嗎？方程x2-4x-7=0的根為x1,x2，那么x1+x2= , x1·x2= ;方程x2+3x-5=0的兩根為x1,x2，那么x1+x2=

4、 , x1·x2= .方程2x23x20的兩根分別是x1和x2，那么x1+x2= , x1·x2= .答案4，-7；-3，-5；，-1.假設(shè)方程ax2+bx+c=0的兩根為x1,x2,你知道x1+x2和x1·x2與方程系數(shù)之間的關(guān)系嗎？答復(fù)假設(shè)方程ax2bxc0a0的兩個(gè)根分別為x1和x2，那么x1x2，x1x2.如何證明以上發(fā)現(xiàn)的規(guī)律呢？ 論證結(jié)論老師與學(xué)生共同整理證明過程：證明：當(dāng)>0時(shí)，由求根公式得x1，x2，所以x1x2， x1x2·；當(dāng)0時(shí)，x1x2.所以x1x2，x1x2.歸納并板書根與系數(shù)關(guān)系：假設(shè)方程ax2bxc0a0的兩個(gè)根分別為

5、x1和x2，那么x1x2，x1x2.文字表達(dá)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系為：兩個(gè)根的和等于一次項(xiàng)系數(shù)與二次項(xiàng)系數(shù)的比的相反數(shù)，兩個(gè)根的積等于常數(shù)項(xiàng)與二次項(xiàng)系數(shù)的比.【設(shè)計(jì)意圖】進(jìn)一步分析、驗(yàn)證所發(fā)現(xiàn)的根與系數(shù)的關(guān)系，為從感性到理性打好根底通過設(shè)置問題2使學(xué)生明確利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)展計(jì)算需要滿足0.探究根與系數(shù)關(guān)系的結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度。問題4：例1根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，求以下方程的兩個(gè)根x1，x2的和與積1x26x150；23x27x90；35x14x2.師生活動(dòng)學(xué)生自主進(jìn)展解答，老師做好評(píng)價(jià)和總結(jié)注意把一元二次方程整理為一般形式，確定a，b，c的值，比較b2

6、4ac與0的大小，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系代入求值解1x1+x2=6，x1·x2=-15；（2） x1+x2=，x1·x2=；（3） 方程化為4x2-5x+1=0，x1+x2=，x1·x2=.變式練習(xí)1x1，x2是一元二次方程x24x10的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，那么x1x2等于CA 4B1C1D4變式練習(xí)2假設(shè)x1，x2為方程x22x10的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求x1x2x1x2的值解由根與系數(shù)關(guān)系得，x1+x2=2，x1·x2=-1，x1x2x1x2=2-1=3.【設(shè)計(jì)意圖】問題的設(shè)置是針對(duì)本課時(shí)的重點(diǎn)所學(xué)進(jìn)展及時(shí)穩(wěn)固，也是培養(yǎng)學(xué)生計(jì)算才能和熟記公式的關(guān)鍵。問題5：例2 方

7、程x2-x+c=0的一根為3,求方程的另一根及c的值.分析設(shè)方程的另一根為x1，可通過求兩根之和求出x1的值；再用兩根之積求c，也可將x=3代入方程求出c值.再利用根與系數(shù)關(guān)系求x1值.解設(shè)方程另一根為x1，由x1+3=1,x1=-2.又x1·3=-2×3=c,c=-6.例3方程x2-5x-7=0的兩根分別為x1,x2，求以下式子的值：1x12+x22; 2 .分析將所求代數(shù)式分別化為只含有x1+x2和x1·x2的式子后，用根與系數(shù)的關(guān)系，可求其值.解方程x2-5x-7=0的兩根為x1,x2,x1+x2=5,x1·x2=-7.1x12+x22=x1+x2

8、2-2x1·x2=52-2×-7=25+14=39;2 = 【設(shè)計(jì)意圖】例2側(cè)重于逆用根與系數(shù)關(guān)系，應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)展正確考慮；而例3側(cè)重于利用根與系數(shù)的關(guān)系，進(jìn)展代數(shù)式求值，這里將代數(shù)式轉(zhuǎn)化為只含有x1+x2及x1·x2的式子是解決問題的關(guān)鍵，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注這類變形方法.教學(xué)過程中仍應(yīng)讓學(xué)生先自主探究，獨(dú)立完成，最后老師再予以評(píng)講，讓學(xué)生理解并掌握根與系數(shù)的關(guān)系；對(duì)于學(xué)生在探究過程中的成績和問題也給予評(píng)析，進(jìn)展反思。問題6：例4x1，x2是方程x2-6x+k=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且x12·x22-x1-x2=115，1求k的取值；2求x12+x22-8的值

9、.分析將x1+x2=6，x1·x2=k，代入x12·x22-x1-x2=115可求出k值.此時(shí)需用=b2-4ac來判斷k的取值，這是本例的關(guān)鍵.解1由題意有x1+x2=6,x1·x2=k.x12·x22-x1-x2=x1·x22-x1+x2=k2-6=115,k=11或k=-11.又方程x2-6x+k=0有實(shí)數(shù)解，=-62-4k0,k9.k=11不合題意應(yīng)舍去，故k的值為-11;2由1知，x1+x2=6,x1·x2=-11,x12+x22-8=x1+x22-2x1x2-8=36+22-8=50.【設(shè)計(jì)意圖】設(shè)置本例的目的在于引導(dǎo)學(xué)生正

10、確認(rèn)識(shí)根與系數(shù)的關(guān)系和根的判別式之間的不可分割的特征.教學(xué)時(shí)應(yīng)予以強(qiáng)調(diào)。問題6 . 1課堂總結(jié)：1本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)？學(xué)習(xí)了哪些數(shù)學(xué)思想和方法？其實(shí),任何一門學(xué)科都離不開死記硬背,關(guān)鍵是記憶有技巧,“死記之后會(huì)“活用。不記住那些根底知識(shí),怎么會(huì)向高層次進(jìn)軍?尤其是語文學(xué)科涉獵的范圍很廣,要真正進(jìn)步學(xué)生的寫作程度,單靠分析文章的寫作技巧是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的,必須從根底知識(shí)抓起,每天擠一點(diǎn)時(shí)間讓學(xué)生“死記名篇佳句、名言警句,以及豐富的詞語、新穎的材料等。這樣,就會(huì)在有限的時(shí)間、空間里給學(xué)生的腦海里注入無限的內(nèi)容。日積月累,積少成多,從而收到水滴石穿,繩鋸木斷的成效。2本節(jié)課還有哪些疑惑？說一說！2布

11、置作業(yè)：教材第17頁習(xí)題21.2第7題課本、報(bào)刊雜志中的成語、名言警句等俯首皆是,但學(xué)生寫作文運(yùn)用到文章中的甚少,即使運(yùn)用也很難做到恰如其分。為什么?還是沒有徹底“記死的緣故。要解決這個(gè)問題,方法很簡單,每天花3-5分鐘左右的時(shí)間記一條成語、一那么名言警句即可?？梢詫懺诤蠛诎宓摹胺e累專欄上每日一換,可以在每天課前的3分鐘讓學(xué)生輪流講解,也可讓學(xué)生個(gè)人搜集,每天往筆記本上抄寫,老師定期檢查等等。這樣,一年就可記300多條成語、300多那么名言警句,日積月累,終究會(huì)成為一筆不小的財(cái)富。這些成語典故“貯藏在學(xué)生腦中,自然會(huì)出口成章,寫作時(shí)便會(huì)隨心所欲地“提取出來,使文章增色添輝。3.知識(shí)構(gòu)造圖：教學(xué)反思：要練說，得練看?？磁c說是統(tǒng)一的，看不準(zhǔn)就難以說得好。練看，就是訓(xùn)練幼兒的觀察才能，擴(kuò)大幼兒的認(rèn)知范圍，讓幼兒在觀察事物、觀察生活、觀察自然的活動(dòng)中，積累詞匯、理解詞義、開展語言。在運(yùn)用觀察法組織活動(dòng)時(shí)，我著眼觀察于觀察對(duì)象的選擇，著力于觀察過程的指導(dǎo)，著重于幼兒觀察才能和語言表達(dá)才能的進(jìn)步。1.從熟知的解法解一元二次方程的過程中探究根與系數(shù)的關(guān)系，并發(fā)現(xiàn)可用系數(shù)表示的求根公式來證明這個(gè)關(guān)系，再通過問題討論幫助學(xué)生運(yùn)用這個(gè)關(guān)系解決問題，注重了知識(shí)產(chǎn)生、