對數(shù)與對數(shù)函數(shù)知識點(diǎn)及例題講解

1、對數(shù)與對數(shù)函數(shù)1 .對數(shù)(1)對數(shù)的定義：如果ab=N (a>0,a?1),那么b叫做以a為底N的對數(shù)，記作logaN=b.(2)指數(shù)式與對數(shù)式的關(guān)系：ab=N logaN=b (a>0, a#1, N>0).兩個式子表示的a、b、N三個數(shù)之間的關(guān)系是一樣的，并且可以互化.(3)對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)：loga (MN) =lOgaM+lOgaN.CD10ga =lOgaM lOgaN. 1ogaMn=n1ogaM. (M>0, N>0, a>0, a?1)對數(shù)換底公式：1ogbN=1Oga N (a>0, a#1, b>0, b#1, N>0).l

2、Ogab2 .對數(shù)函數(shù)(1)對數(shù)函數(shù)的定義函數(shù)y=1ogax (a>0, a?1)叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是(0, +°0).注意：真數(shù)式子沒根號那就只要求真數(shù)式大于零，如果有根號，要求真數(shù)大于零還要保證根號里的式子大于零，底數(shù)則要大于 0且不為1對數(shù)函數(shù)的底數(shù)為什么要大于0且不為1呢？在一個普通對數(shù)式里 a<0,或=1的時(shí)候是會有相應(yīng)b的值的。但是，根據(jù)對數(shù)定義：1ogaa=1;如果a=1或=0那么logaa就可以等于一切實(shí)數(shù)（比如logi 1也可以等于2, 3, 4, 5,等等）第二，根據(jù)定義運(yùn)算公式：loga MAn = nloga M如果a<

3、;0那么這個等式兩邊就不會成立 （比 如，log（-2）4A（-2）就不等于（-2）*log（-2）4; 一個等于1/16,另一個等于-1/16）（2）對數(shù)函數(shù)的圖象y底數(shù)互為倒數(shù)的兩個對數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于（3）對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：定義域：（0, +°°）.值域：R過點(diǎn)（1, 0）,即當(dāng)x=1時(shí)，y=0.Oxx軸對稱.y=l°sax(0<£<l)當(dāng)a>1時(shí)，在（0, +8）上是增函數(shù)；當(dāng)0<a<1時(shí)，在（0, 十 °°）上是減函數(shù).基礎(chǔ)例題1 .函數(shù)f (x) =|log 2X|的圖象是xO解析：f (x) =

4、 lOg2X，x C d log 2 x, 0 x 1.x答案：A2 .若f 1 (x)為函數(shù)f (x) =lg (x+1)的反函數(shù)，則f 1 (x)的值域 為.解析：f 1 (x)的值域?yàn)閒 (x) =lg (x+1)的定義域.由f (x) =lg (x+1) 的定義域?yàn)?一1, +s), .11 (x)的值域?yàn)?一1, +s).答案：(1, +s)3 .已知f (x)的定義域?yàn)?, 1,則函數(shù)y=f log1 (3-x)的定義 2域是.解析：由 0wiog1 (3 x) < 1 Iog11wiog1 (3 x) Wlogj22 F1 21<3-x<1 2<x<

5、-.答案：2,-225 24 .若logxQ'J =z,則x、v、z之間滿足A.y7=xzB.y=x7zC.y=7xzDy=zx解析：由 logx7Q=z xz=7勺 x7z=y,即 y=x7z.答案：B5 .已知 1cme n,令 a= (lognm) 2, b=lognm2, c=logn (lognm),貝UB.accc bD.c< a< bA.a< bccC.b< acc解析：: 1cme n, .Ovlognmcl.logn (lognm) < 0.答案：D6 .若函數(shù)f (x) =logax (0<a<1)在區(qū)間a, 2a上的最大值

6、是最小值的3倍，則a等于D<2CT解析：: 0<a<1,f (x) =logax是減函數(shù).1. logaa=3 loga2a. .10ga2a=3 . - 1+loga2=3 . loga2= 3 ., a= .案：A7.函數(shù)y=1og2 1 ax 1 1 (a#0)的對稱軸方程是x= 2,那么a等于A. -B.-C.2D.- 222解析：y=1og2| ax- 1|=log21a (x- -) |,對稱軸為 x=-,由=2 aa a得a=- 2 .答案：B 注意：此題還可用特殊值法解決，如利用 f (0) =f ( 4),可得 0=1og2| - 4a 1|. . . |4

7、 a+1|=1. . .4a+1=1 或 4a+1= 1.a*0, *- a=. 28.函數(shù) f (x) =1og2| x| , g (x) = x2+2,則 f (x) g (x)的圖象只可能是VA解析：: f (x)與g (x)都圜禺函數(shù)，fDx) , g (x)也是偶函數(shù),由此可排除A、D.又由xf+°0時(shí)，f (x) g (x) 一一8,可排除B.答案：C9股 f 1 (x)是 f (x) =log2 (x+1)的反函數(shù)，若1+ f 1 (a) 1 +f 1 (b) =8,貝U f (a+b)的值為A.1B.2C.3D.log23解析：vf 1 (x) =2x1, 1+ f

8、1 (a) 1 + f 1 (b) =2a - 2b=2a+b.由已知 2a+b=8,a+b=3.答案：C10.方程 Igx+lg (x+3) =1 的解 x=.解析：由 Igx+lg (x+3) =1,得 x (x+3) =10, x2+3x10=0. .x=- 5 或 x=2x>0, . . x=2.答案：2典型例題【例11已知函數(shù)f （x）/ 1 x_ (-) ,x 4,=2f (x 1),x則f (2+臉3)4,的值為A.3B.6CL剖析：3<2+log23<4, 3+log23>4,答案：D.f (2+log23) =f (3+log23) = ( 2 ) 3

9、+l0g23=24 .【例2】求函數(shù)y=log2 1 x1的定義域，并畫出它的圖象，指出它的單調(diào)區(qū)間.解：: 1 x 1 > 0, .函數(shù)的定義域是x | x R且x?0.顯然y= log2 |x ）是偶函數(shù)，它的圖象關(guān)于y軸對稱.又知當(dāng)x>0時(shí),y = log2 1 x | y = log2x.故可畫出y=log2 I x ）的圖象如下圖.由圖象易見，其遞減區(qū)間是（一0°, 0）,遞增區(qū)間是（0, 4°°）注意：研究函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，利用圖象會更直觀.【例3】 已知f (x) =logi 3 (x1)勺，求f (x)的值域及單調(diào) 3區(qū)間.解：.真數(shù) 3-

10、 (x-1) 2<3,logi 3- (x1) 2 Alogi3=1,即 f (x)的值域是1, +s). 33又 3 (x 1) 2>0,得 1 vcxc 1+0,.xS (1 V3, 1時(shí)，3- (x1) 2單調(diào)遞增，從而f (x)單調(diào)遞減；x 1, 1+V3)時(shí)，f (x)單調(diào)遞增.注意：討論復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性要注意定義域.【例4】已知y=loga (3 ax)在0, 2上是x的減函數(shù)，求a的取值范圍.解：: a>0且a# 1,t=3ax為減函數(shù).依題意a>1,又t=3 ax在0, 2上應(yīng)有 t>0, . 32a>0.：a<|.故 1<a&l

11、t;：.【例 5】設(shè)函數(shù) f (x) =lg (1 x), g (x) =lg (1+x),在 f (x)和g (x)的公共定義域內(nèi)比較|f (x) |與|g (x) |的大小.解：f (x)、g (x)的公共定義域?yàn)?1, 1).|f (x) | 一|g (x) |=|lg (1-x) | -|lg (1+x) |.(1)當(dāng) 0cxe 1 時(shí),|lg (1-x) | - |lg (1+x) |= -lg (1-x2) > 0; 當(dāng) x=0時(shí)，|lg (1-x) | -|lg (1+x) |=0;(3)當(dāng)一1<x<。時(shí)，11g (1x) |lg (1+x) |=lg (1-x

12、2) <0.綜上所述，當(dāng) 0<x<1 時(shí)，|f (x) | >|g (x) | ；當(dāng) x=0 時(shí),|f (x) |=| g (x) ;當(dāng)1<x<。時(shí),|f (x) | <|g (x)|.【例6】 求函數(shù)y=21g (x 2) - 1g (x-3)的最小值.2解：定義域?yàn)閤>3,原函數(shù)為y=1gTL.x 3又(x2)2x24x 4 (x3)22(x3)1 (x 3)+，+2A4x 3 x 3x 3x 3' .當(dāng) x= 4 時(shí)，ymin= 1g4.1【例7】(2003年北京宣武第二次模擬考試)在fi (x) =x" f2 (x)=x

13、2, f3 (x) =2x, f4 (x) =1og1x 四個函數(shù)中，xi>x2>1 時(shí)，能使。f22(xi) +f (x2) <f (九產(chǎn))成立的函數(shù)是1A.fi (x)=x2B.f2(x)=x2C.f3 (x)=2xD.f4(x)=1og1x21解析：由圖形可直觀得到：只有f1 (x) =x2為“上凸”的函數(shù).答案：A探究創(chuàng)新1 .若 f (x) =x2 x+b,且 f (1og2a) =b, 1og2 f (a) =2 (a#1).(1)求f (1og2x)的最小值及對應(yīng)的x值；2 2) x取何值時(shí)，f (log2x) >f (1)且 log2 f (x) <

14、;f (1) ?解：(1) f (x) =x2x+b, . f (log2a) =log22a log2a+b.由已知有 log22alog2a+b=b,(log2a1) log2a=0. log2a=1；. a=2.又 log2 f (a) =2, . f (a) =4.a2a+b=4, b=4 a2+a=2.故 f (x) =x2 x+2,從而 f (log2x) =log22xlog2x+2= (log2x2) 2+：.二當(dāng) log2X=g 即 x=72 時(shí)，f (log2X)有最小值 4. 22(2)由題意 log2 x2 log2x 2 2 x 2或0 x 1 o<x<i

15、. log2(x x 2) 21 x 22.已知函數(shù)f (x) =3x+k (k為常數(shù))，A ( 2k, 2)是函數(shù)y= f 1 (x) 圖象上的點(diǎn).(1)求實(shí)數(shù)k的值及函數(shù)f 1 (x)的解析式；(2)將y= f 1 (x)的圖象按向量a= (3, 0)平移，得到函數(shù)y=g (x)的圖象，若2 f 1 (x+Vm3) -g (x) >1恒成立，試求 實(shí)數(shù)m的取值范圍.解：(1) v A ( 2k, 2)是函數(shù)y= f 1 (x)圖象上的點(diǎn)，.B (2, 2k)是函數(shù) y=f (x)上的點(diǎn). 2k=32+k. k=3.f (x) =3x-3./.y= f 1 (x) =log3 (x+3) (x> 3).(2)將丫= f 1 (x)的圖象按向量a= (3, 0)平移，得到函數(shù)y=g (x) =log3x (x> 0),要使 2 f 1 (x+、，m3) g (x) A 1 恒成立, 即使2log3 (x+Jm) log3xA1恒成立，所以有乂+/+2而>3在 x>0 時(shí)恒成立，只要(x+m+24m) min >3.x又x+m