傅里葉變換的性質(zhì)

1、傅里葉變換的性質(zhì)2. 6傅里葉變換的性質(zhì)2. 6. 1線性fa(t)F1(a?)f2(t) fr2( fu)若信號和的傅里葉變換分別為和，理鈕切=匐切/自聞即以田)則對于任意的常數(shù)a和b,有F同JtHf刊上茬FtEHbF2M問出卜及i=l,2,3，n將其推廣，若，則 F £4* =J-li-L電其中為常數(shù)，n為正整數(shù)。由傅里葉變換的定義式很容易證明線性性質(zhì).顯然傅里葉變換也是一種線性運(yùn)算，在第一章我們已經(jīng)知道了，線性有兩個(gè)含 義:均勻性和疊加性。均勻性表明，若信號乘以常數(shù)a,則信號的傅里葉變換也乘 以相同的常數(shù)a,即服矮小"題)疊加性表明，幾個(gè)信號之和的傅里葉變換等于各個(gè)信

2、號的傅里葉變換之和 鞏東&A離卜艮伉卜里孱2. 6. 2反褶與共枕性網(wǎng)八切=J：J0巾成=¥(3)設(shè)f(t)的傅里葉變換為，下面我們來討論信號反褶、共視以及既反褶乂共枕 后，新信號的傅里葉變換。反褶乳-1)是£代)的反褶，其傅里葉變換為9. 4列入T)=匚7(-注3庾住 4T gd8S-=L/w(-x)=，= F(p)(2)共挽" = 1c 八 X流=1c%)產(chǎn)廢=£|r(of(<因?yàn)閐t是實(shí)數(shù)，所以(db=dt 將共麗提到積分之外 根據(jù)傅里葉變換的定義(3)既反褶又共挽典廣)二匚八-切的成令一小1%=二/(工)刎在二尸1)本性質(zhì)還可利用前

3、兩條性質(zhì)來證明:設(shè) g(t)=f(-1), h(t)=g*(t),則設(shè)+2=£&t).，ht)=g* It)，則鼠=F(-)，Q)=F/=聲()在上面三條性質(zhì)的證明中，并沒有特別指明f(t)是實(shí)函數(shù)還是復(fù)函數(shù)，因此, 無論f(t)為實(shí)信號還是復(fù)信號，其傅里葉變換都滿足下面三條性質(zhì)肛(-，) 二尸不依)=弁(-劭2. 6. 3奇偶虛實(shí)性已知f(t)的傅里葉變換為。在一般情況下，是復(fù)函數(shù)，因此可以把它表示成模 與相位或者實(shí)部與虛部兩部分，即F) =)卜用=雙由)+必(2- 33)顯然|網(wǎng)| 二 p'，m + r')/3)=胡武皿根承定義，上內(nèi)還可以寫成鳳口)=依。

4、8$亞)出一/匚依。$111次) (2-34)下面根據(jù)f(t)的虛實(shí)性來討論F()的虛實(shí)性。(1) f(t)為實(shí)函數(shù)對比式(2-33)與(2-34)，由FT的唯一性可得«= cossfW， X(3)=J /(/)sin(1. l)f(t)是實(shí)的偶函數(shù)，即f(t)=f(-t)X()的積分項(xiàng)是奇函數(shù)，而奇函數(shù)在對稱區(qū)間內(nèi)的積分為零，故這時(shí)X()=0,于是F(2j) = 2£ f(t') cos oidt可見，若f(t)是實(shí)偶函數(shù)，則F()也是實(shí)偶函數(shù)，即F?(-o) = F(cd) = R'(co)左邊反褶，右邊共挽(2) 2)f(t)是實(shí)的奇函數(shù)，B|J-f(

5、t)=f(-t)R()的積分項(xiàng)是奇函數(shù)，而奇函數(shù)在對稱區(qū)間內(nèi)的積分為零，故這時(shí)R()=0,于是F(Q) = -24。我)sint泗可見，若f(t)是實(shí)奇函數(shù)，則F()是虛奇函數(shù)，即F(co) = 丁'3©-2'dt = /sing庭-8COJ-左邊反褶，右邊共枕有了上面這兩條性質(zhì)，下面我們來看看一般實(shí)信號(即可能既不是偶信號，乂 不是奇信號，反正不清楚，或者說是沒有必要關(guān)心信號的奇偶特性)的FT頻譜特2. 6.4對稱性傅里葉變換與傅里葉反變換之間存在著對稱關(guān)系，稱為傅里葉變換的對稱性質(zhì)。若已知F()=Ff(t)則有Ff(t)=2nf(-)證明：因?yàn)閒=£工%

6、于是將變量t與互換，再將2乘過來，得上式右邊是傅里葉正變換定義式，被變換函數(shù)是F(t)所以FF(t)=2uf(-)若f(t)為偶信號,BPf(t)=f(-t),則有FF(t)=2f()從上式可以看出，當(dāng)f(t)為偶信號時(shí)，頻域和時(shí)域的對稱性完全成立一一即 f(t)的頻譜是F(), F(t)的頻譜為f()。若f(t)為奇信號,BPf(t)=-f(-t),則有FF(t)=-2f()利用FT的對稱性，我們可以很方便地一些信號的傅里葉變換。下面我們舉些例子來說明這一點(diǎn)。如7.上走i物信弓的俘筮:t變屈七擊立論俏弓的狎華力？塞格二3多口=意信號稱!田葉正JVN口“約】4,楊咽川軍樁i期, E個(gè)在隹肄，I

7、HS?儂呼觸駕孔用" 的窗乙J H"貓門自而福也走箔族;除停二G的僧里葉貢柒京求如畫象匕門星計(jì)烹柒.W：弓打距邢134G4的停生汗雯SJJ住c/芫 仟加的河哂，百七基*【2 2T ,則?>(可一$3e汽布金&”呂豫慶力2.竽僚*HI"管登"戶這個(gè)依例用皈，S而弱雄.依m(xù)與以溜)土?xí)禫旗H2號符就兩標(biāo)性東國王懈IPI0jy &匕t演他科打的對陣號，和耳行話譜宓自僖甲葉玉抄天生產(chǎn)龍G號fkAir的傅里葉至由£F:已知將T出網(wǎng)的俾巴計(jì)變毋W川看武。卜二花鋁FT第蚣件可32皆有卻。-23程站算的時(shí)簾性專電到二的定能作致，勺-加

8、歸刎-助卜-jxsgn(o>)2. 6. 5尺度變換 呼叫心獷若 Ff(t)=F(),則這里a是非零的實(shí)常數(shù)。下面利用FT的定義及積分的性質(zhì)，分a>0和a<0兩種情形來證明傅里葉變換 的尺度變換特性。萬U（山）=/（出比一四山證明：因?yàn)榱?at二x,（-» 一2一 1 "磔）匕戶/當(dāng)a > 0時(shí)。J-必a a當(dāng)a < 0時(shí)。上述兩種情況可綜合成如下表達(dá)式：尸八成）卜尸（"0）由上可見，若信號f（t）在時(shí)域上壓縮到原來的1/a倍，則其頻譜在頻域上將展 寬a倍，同時(shí)其幅度減小到原來的1/ao尺度變換性質(zhì)表明，在時(shí)域中信號的壓縮對應(yīng)于頻域中

9、信號頻帶的擴(kuò)展，反 之，信號的時(shí)域擴(kuò)展對應(yīng)于頻域的壓縮。對于a=-1的特殊情況，它說明信號在時(shí) 域中沿縱軸反褶等效于在頻域中頻譜也沿縱軸反褶。對傅里葉變換的尺度變換特性最通俗的解釋可以采用生活中的實(shí)例來說明，在 錄音帶快放時(shí)，其放音速度比原磁帶的錄制速度要快，這就相當(dāng)于信號在時(shí)間上受 到了壓縮，于是其頻譜就擴(kuò)展，因而聽起來就會感覺到聲音發(fā)尖，即頻率提高了。 反之，當(dāng)慢放時(shí)，放音的速度比原來速度要慢，聽起來就會感覺到聲音渾厚，即低 頻比原來豐富了（頻域壓縮）。2. 6.6時(shí)間平移（延時(shí)）若Ef邛（% 則F壓G-3卜務(wù)下面進(jìn)行證明證明：因?yàn)?%)= rf(t-t0xjo)tdt, t/ -oo令t

10、4o=X9.則有Ff (t - t0) = Ff (x)J -<o上式右邊的積分項(xiàng)為傅里葉變換定義式,于是可以得到Ff / t°)=F(M 產(chǎn)。同理可以得到2. 6.7時(shí)域微分=證明：因?yàn)?，兩邊對t求導(dǎo)，可得誓=耳中獺" F圖卜所以。助於F(田)同理，可以推出由上可見，在時(shí)域中f(t)對t取n階導(dǎo)數(shù)等效于在頻域中f(t)的頻譜F()乘以 (j)n.下面舉一個(gè)簡單的應(yīng)用例子。若已知單位階躍信號u(t)的傅里葉變換，可利川此定理求出(t)的FT(),一 川2. 6. 8頻域微分若 Ff(t)= F(),則廠誓+(-加尸卜次/>&)二仁算我常或證明：因?yàn)?，兩?/p>

11、分別對求導(dǎo)，可得巴二汽歸網(wǎng)加 J00 ,所以例2.6利用頻域微分特性求F t.解：由于九1】=2加3便)，根據(jù)頻域微分特性可得(_戶)/(,)再由FT的線性可得/-/仃=2 兀3®)/ U=2加(32. 6. 9時(shí)域積分7 若= f（8）則fj /«* = 0始一尸（前+定F（0）雙的證明:J' 二萬附可/兵飯=匚=/（口或才不卬了上一川出變換積分次序，并且利用階躍信號的俾里葉變換關(guān)系式Fui - 7)=衿3(.) + 加于是J /（7）收-£*-2'扇拆=r 了兀炙"加+廣/ W加上甲：卜 j田=0/助一】尸（盛十避（0）譏助特別地，如

12、果a2在=口處有界，則例2.7利用時(shí)域積分特性求Fu（t）：l .解：由于二1，且u（f）=J9由時(shí)域積分特性可得可見，這與利用符號函數(shù)求得的結(jié)果一致。2. 6. 10頻域積分若 Ff（t）=F（）,則有J 811尸 二百（3）而=研（0）的）+ /（£）2. 6.11時(shí)域卷積定理令 /匕/-F伉:F%泊：，系間=口匚爾6伙-力求產(chǎn)業(yè)=匚工仁）匚a（在一'"康加行貶次I二片“）|丹j沏卜加缶。年的叮河會）二網(wǎng)上（以：.（二）市？七 時(shí)猊分燙如麗法效m出王）=E為創(chuàng)網(wǎng)工期=伉卜fM f由上可見.莖 盯司面池主胸父以二第7名町石江短靠：皮跡.土吼二說，廷信號正定笈夕煙T

13、矍4“2. 6. 12頻域卷積定理不/（切=；W卜于伉與時(shí)域卷積定理類似，證明方法同時(shí)域卷積定理，在這里不在重復(fù)，同學(xué)們可自己證明。由上可見，兩個(gè)時(shí)間函數(shù)頻譜的卷積等效于兩個(gè)時(shí)間函數(shù)的乘積?；蛘哒f，兩 個(gè)時(shí)間函數(shù)乘積的頻譜等于各個(gè)函數(shù)頻譜乘積乘以1/2 o顯然，時(shí)域與頻域卷積定理是對稱的，這是由傅里葉變換的對稱性決定的。2. 6. 13帕斯瓦爾定理前面我們在講信號分解時(shí)，提及帕斯瓦爾定理。下面我們來研究一下該定理在 FT中的具體表現(xiàn)形式。若 Ff（t）=F（）,則929292L,（叫必=短工怛（砌加=L附2型）|必這就是帕斯瓦爾定理在傅里葉變換中體現(xiàn)，它表明了信號的能量在時(shí)域與頻域推導(dǎo)信號能量的求解。是守恒的。下面利用FT的定義和性質(zhì), £%)|