全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽試題和答案(第一屆-第九屆)

1、/全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽試題和答案(第一屆第九屆)第一屆一.(15分)求經(jīng)過(guò)三平行首戰(zhàn)& ;工=尸=善，= =Z+1 rLr = y +1 = z- l 的B柱面的方程.解:先求圓柱面的軸4的方程一由已如條件易如，圓柱面母投的方向是G =(,H圓柱面經(jīng)過(guò)點(diǎn)。(。也0),過(guò)點(diǎn)。(noH垂直二(L1J)的平面用的方程為；工十y十二=0,. . (3分)蠹與三與三宜線的交點(diǎn)分別為50Q0),QQDT)&QTD (5分)圓柱面的軸4是到這三點(diǎn)等距離的點(diǎn)的軌跡.即x i-y-z1 = jc2 -(v + 1) +(z-l)?即將人的方程改為標(biāo)準(zhǔn)方程X -1 = _V + 1 = Z.圓柱面的半徑即為平行

2、直線工二和H-I=y + 1二工之間的距離,平LT0)對(duì)圓柱面上任意,點(diǎn)珈羋力，有二巴堡!即 hl(y+j I)* 十(工一2十(Jr + y + 2)1 6 所以,所求I可柱面的疔程為：X +J1 + zJ -ajt-jz-f = 0, (15 i)得分二、（20 分）設(shè)u-是門(mén)同月品矩陣全體在通常的運(yùn)算卜所構(gòu)成評(píng)閱人0 4J ： Gr1 0 0 -/的發(fā)數(shù)域C卜的線性空I叫0 1 = (?-燈I- fr 4 9T0 0 ; I_%口II all -r &IJ口假般=*$&，告E ,四小 r h pf h bn e rkFI %也舛二%+4戶(hù)71+ /百：(2求的子空間。尸” (xw L 1

3、 F* = XF1的第數(shù).Cl )的證明：圮A =14.*/二%) M =1產(chǎn)+41|產(chǎn)7 + %|產(chǎn)+ % .要證明M M.只甯證叨A與M 的各個(gè)列向量對(duì)應(yīng)相等即可r若以耳記第F個(gè)基本單位列向量.J是，只.需證明j對(duì)腕個(gè)，. Af = -4i. C2分)若記# =f y Y則k=(巧4,q/L注意到,F,二備一 F飛= F% =公、” 二/t +a1n F/%唇一 %Eq%， 十 小*，,i+器葉瑪一1 %耳jiawi vsre b= tp=t , i r lpeb iw iwh ,rara-r aa trEv ()知人，應(yīng)=MFq = F*依=凡i/ = /戶(hù)/=/啊M = MF飛=FMa

4、=尸力4=川/1 = Ae1_ a au h a l a. d b a j a.Me, = F-Afe,=廣烏=Ae,所以* M=/. 口4 分）（2）解: 由C（F）=引MF：巴A尸，*飛 （1分）設(shè)工石+ 三產(chǎn)*三產(chǎn)+ *”尸1=。.等式兩邊同右乘小丁利用f*）福0 - tXfj = （/ E 4西產(chǎn)+用工產(chǎn)： + +.* *_尸 泗=上聲巧# $廣叫+此尸.+三I F %U I4 JaJiV II=+ 為%+工士 十，*，+1-T% （lSi|- 0閃耳金金,金線性無(wú)關(guān).故*/二H|二三二二工H |二口119分）所以，盧/I線性無(wú)關(guān).因此.EF.尸，產(chǎn)I星匚彳尸）的基，特珊ft,一分）d

5、im C(F = rr得 分二N 15分）假設(shè)是復(fù)數(shù)域C上“維線件室間八s評(píng)閱人是產(chǎn)上的線性變整.如果.尼日二,證明=/的特怔值都是g rt/y有公共持怔向量.證明：假設(shè)&是/的特征值T中是相應(yīng)的侍怔于空間，即吠二51打八穩(wěn)二4.于是，肥在，下是不變的口分）F而先證明，4=0.任取非霉”卬，記）為便汨小三用,/仍好1（內(nèi)線性相關(guān)的51小的1F負(fù)整旗卜于是當(dāng)0 W 圖-I時(shí). /g|F”，K（h、月何1線忤無(wú)關(guān)（2分）。|三刎一1時(shí)令呼=審斷用.的幾/川.其中，W； = 研 因此.dinUg =f （工刑），井口1町=呢=叱、=.W然 g”仁町 特別地,心在g下是不變的.4分,下面證明，4在/下

6、也是不要的一事宴上，由人外二&冉，珈花（“）=4（） + 外二融（“H4/F分）魔“#=或（力斗屈訓(xùn)一專(zhuān)一）+4力+（45（種+44）-44（用+24*甘M+ 4門(mén) ，博處】根據(jù)依”啦一+龍一3）=虱/?） + （7用歸納法不難證明，龍“力定可以表不成科雙種出辦,/（力的戰(zhàn)性組合.旦表示式中/切）曲的系數(shù)為4. （8分）因此*叱在/下也是不變的./在心上的限制在基小期辦）門(mén),耳2（辦下的 矩陣是上三角卦陣，目時(shí)曲線兀素都是扁,因而.這一限制的跡為陋4.（母分）由于席對(duì)=/在町上仍然成立而庖-Q的地一定為零，故雨4=即4=0. 一 1,一 LET r - F （12任取氏 由于 二 / 康冷二郎

7、M 八二則的+/5）=，小以r對(duì)桶E即因此，中在g下是不變的.從而，在，中存在g的特征向量，這也是4g的 公共特征向量.f”分）11得 分四.11。分)設(shè)是定義在可上的無(wú)力次可微的函數(shù)字評(píng)閱人列且逐點(diǎn)收散,并在叫目上摘足Ji證明刈布卜可卜一致收斂：設(shè)/(行=1呵/(力 問(wèn)/3是否一定在億討上處處可導(dǎo):為什 幺？證明n v”n.將區(qū)間等分，分點(diǎn)為號(hào)=。+*2)=12 M. ft IC得于君一由丁丁以斗在有限個(gè)點(diǎn)2tl K上收斂，因此引M.V境使得|()-(%)|巴對(duì)每個(gè)j = 0121K成立.(3分1是Me 也句設(shè)口, #,4Jr則以外-工引兒-4優(yōu))|+/UJ-4。/+ /叩工畫(huà).= |k(X

8、x-x7)|+|A()-Z()|+|ZX7X-Ji!| (2A/ + 1).5 分)C2) 不一定.(6 分)令 工三J-十： 1則/(用=!可工外在4間上不能保證處處可導(dǎo)J 10分3因此上 下-,由此得到宜工發(fā)散一 / Tff.,得分評(píng)閱人六J15分）JEW是（品+尸*”上二次連續(xù)可做函數(shù),滿(mǎn)足沖算積分乘用根坐標(biāo)工二rcosy=ririi?,則解:町廣cos Bin OtiO 二式15分）引河2僚哆W=ML工vM血1|分）科分評(píng)閱人七、（15分）假設(shè)函數(shù)/（H在0, 1上連續(xù).在m 1）內(nèi)二階可導(dǎo).過(guò)點(diǎn) 摩,與點(diǎn)ML /的直線與曲-y= fl外相交于點(diǎn)Qc, /（e）,其中freed,證%在

9、 31）內(nèi)至少存在 點(diǎn)fr使（5）=0.證明；因?yàn)镮/（*）在Oq上滿(mǎn)足Sgmw辨中值定理的條件.故存在 e （0. c t使r%）k 門(mén)一/ H分）c-0由于C在花加上故行;打一加）17 分） - II| U從而 G 】）-/”針）同理可證，存在6浮伯。,使 八白）二八1人。）（U分）由八號(hào)=/低），知 在mi上 3滿(mǎn)足 及也定理的條件，所以存在 仁 I 二，J U （。、I ）， 史 J （ - fl r-rlri-trTr - - Til rr -iti -1 iri irTtTTlr ir i- - -t- - - ri -i r - - rirTi - rTr- ，/）第二屆一、0分

10、）設(shè) e 1工初=畫(huà) 了什 I = a + e sin（ti = 0J2 ）.證明: = lim Tti存在且（為方程r 牛疝】T = a的唯一根 H-*+X證明；注意到|卜日）| = |E| L由中值定理.我們有| sin r - sin,y| |rr - y, V-r. y E IR. （2分） 所聯(lián)f*+。忑履+，11 = |e（sin：ti l號(hào)in第J| 三二 一 110=0, L 2,，. （4分）從而可得|j-n+l n E” |小一上| ,V = 0T 1, 2,-Xi于是級(jí)數(shù) T（%+I -也納對(duì)收斂.從而 = liiu rti存在.rt=Q（0分） 對(duì)于遞推式1明a = a

11、 + csinxn兩邊取極限即得為工-esdax = a的根.（8 分）進(jìn)一我設(shè)“也是r 疝ih =仇即TI c 4M = a的根*則| 一 制=.疝1 - 8UB 川 0以及廿5.如+同上的一7C凸函數(shù)g）,容易驗(yàn)證Vt （上曲-d；金口 +司：g（如）一式飛一時(shí) 號(hào)但 一（ g（ 十 力一。（比）d一 丁 一打 一6 （2分）從而取虱對(duì) I 式。+陰一小工叫十產(chǎn)5）一乎了）帥, 一心十，IIt c- -Cl n IdI Io由此即行O）住匹卜連續(xù)一眼地T可得開(kāi)區(qū)間上的一無(wú)凸函數(shù)連續(xù)，（4 夕?。╥i）設(shè)為）F D.則有行 1）使得E5=.rj 匯 上口 + W x 物一丹.”u 4 /

12、:/）.， r 1 *，*,，1 r n *， t 注念到固定T或”時(shí).*丁5）作為一元函數(shù)都是四函數(shù)，由的結(jié)論一 f 如）一（兀加十國(guó)/5 %-（?）都是工 3 -也，人+向上的連續(xù)函數(shù),從而它們 行界.即存在常數(shù)（使得If（l*曲t H 5）工卜的）I113蜘） 如d）|6飛|/（d?a + 4 !fo） - 5川 |/（Xd,如）一了（力（5. ifa）| H+ rtAFS - m UE 明：11T11 n2 r/(.r) tl-.r = u證明：ulL AFaup |/(.r)| +oo. (.r)/(ar)-”Ml/(J-) ft(.i l).則由 PpH-inn 型的 T怨】nr

13、展式 HT 得 V ； 當(dāng)修匚.三1時(shí)，|(上)| e(l -工)一我們有，廿門(mén).丁)出. = ff 心 O, 3 G (O, 1),使得 .(2 分 1廠十 / iT(Lr0分)上 Rici mtn n nJ 和！M .V，d,Va? jq R h仆 + 司.注意到f-戶(hù)十I|7?J M h =:凡=-(2心+2)+ (t( -以及|a| / =卜但|心0/ x(l -J6J& E f * 1 - -T)dx = -,-4(n+ l)(n + 2)我們有l(wèi)im卜斤11 = 0：”t+X*lim |n2fti + a| = C叫f十中c以及l(fā)iin |w2/?3| U. 18分） 即vAvt

14、4- rtL4,3T +v0Avr 十 t23A0t 0. -（12分）亦即必。丁 + r f + 力如?。?+ r;i/U 0. （U分）若vA.C*（L則有vA +二訊，丁 # 0,因此可取適當(dāng)?shù)膶?shí)數(shù)使得vAvy 十卜&3T +力塞.） + r%4T 0.盾，證畢， （20分）、（1U 分）設(shè) f 在區(qū)間Uh 1 Jll-lLeliitllili可模，口工/ L 求證：刈在 何二存在只取信3 1的分段段數(shù)有限用值函數(shù)使得c n; |?| J /1.*） 卬（工） .證明二取定幺定義4n = |巴，巴+ / ” L ii rifn（ 廠；I 11 7 W U Aw儀 r = a1,U兒Irr

15、E=tl,. （5分）/十1iii-h + 1對(duì)于0 a L設(shè)非負(fù)整數(shù)卜 滿(mǎn)足士 - 3nn蘆M回十/|一孤幻皿I (JU)-儀了)扛 a Ul “If證畢.(10 分)八、(10分)已知 小他+3)- (lJ,+oc)是一個(gè)嚴(yán)格單調(diào)下降的連續(xù)函數(shù) 滿(mǎn) 足lim 出f) =*8*)由4-OG,T由=fl 襯.戶(hù) L(il(/, / = n Q、其中=.，一 (2yl-)2)由力婷)(If)一0-*+可/ (m)K任的)1 P? 1P因此./r (陽(yáng))、+ 陰u +。）,p -(/ + Q)2+-(1 + P)3易見(jiàn)可取到適當(dāng)?shù)膒滿(mǎn)足=。=亍|從而r+13tit.代匕5 =a 4證畢.第三屆/一

16、、(本題15分)已知四點(diǎn)以已陽(yáng)3,3)，(瓦一1,6)，*，7曾卜試求過(guò)這 四點(diǎn)的球面方程.解答：設(shè)所求球面的球心為行修，習(xí)則 I-+ . - 2171=( 一 4) + 也3)1 + (z - 3)a=(-5)? + ,y + l)a 1 口-6產(chǎn) =(r - 4戶(hù)十回一行產(chǎn)十#. r . r r ”. 一 .， n 1 ” n r rBB t bwbb ，即3r 4- i) - 42 = -10,，4拿 一 3。一 H 一七、(V7 -+ (C 2)0-73 = -2().(工, I nt J = ( 11 1+ 3).而(14)母一【尸十一明十信-7)通于是所求球面方程為一 1產(chǎn)+ 3

17、+ 1y+仁一=21一 ” -*, * * (15分)二.(本題io分)設(shè)九兒1人為山川上的非負(fù)連續(xù)函數(shù).求證：存在gqaiL使得“nA(f) (J (VA= 1,2,. ,n).我們有,n(S分)由此立即可用存在E仁 1使用tcr(.4o) = V f F 白月/門(mén)=4/?nT W r上三 F” 故 AZ? = G為，(H,l 三 J4(F) (1。分)ijt Z?=(力，J 取 A = cling (1：，1vl，I，It 中r & L：由 AB = BA 可 得如=0, Vi j.又取 zl = Itt 旦 Ejj 4- Ei, 4 Eg 這里 E8t 是(*號(hào)，)位置 為1其它位置為。

18、的矩陣.則由月凸=BA可得仰=%1R X = ,.依S 工”,從 ifij 仃=A * id/” * 4”*., 1 (15 5)四、（本題U1分）對(duì)于乂BC求35口巨+“in日+ 18啦nC的最大值一解答；二%形二個(gè)角A KU的阻直范圍為 ）= g,叢7）|口 十4 + 0=h 0/ 0,7 0 .我們首先考慮3疝A+ 4麗B + 18sin C在D的閉包E = （小, ）,十日+ , = 77,0 0, /? 0, 7 0上的最大值-. （1分我們存max (3 Hii A -I- 1 siu 13 + ISsinC)(4門(mén)建國(guó)L)tn ax (3 sin A -F 1 siu( A +

19、C) -F 18 sin C)iiQL max (3 + 41.os C rsiii .4 H- 4-4 tiiu C.4 + 18 sinmaxO7 t(小3 + 4 ms C 產(chǎn) + Id 崎】de + 18 si )10)上J .J W + 18 5 也 C).考慮J(C) = 1/25 + 24 cosC + IN sitiC, (J C tt易見(jiàn)。之-巧. VC肛升 j *.* ，*. 1 ,*,* . . .*l. k p ”.* = r*,*,(4_J)直接計(jì)算得me、廠12 siiiC/ I ( ) = IS cos (/ .一x/25 + 24js- - - - - *- +

20、 - - - * - - t* r r -f- - + - - + *- - - + - - - * - - - - * f ,，*- - - (tS )計(jì)算得rc)= o等價(jià)于(8 conC 1)(27 cos2 C + 32 cos C + 1) = 0.從而它在g的解為1+4 sin H + 18 Hin C) = ,(A.fi.C)E4另一方面.不難看到3siiA t 4sinB ISsinC在E的邊界h A,B,C之一為零）的最大值為22 （9分）所以所求最大位為學(xué) 口0分）4五I （本題13分）對(duì)于任何實(shí)數(shù)求證存在取值于11的數(shù)列S小 滿(mǎn)足證明；由Lt展式,Hr W -D存在YE4

21、力使得 w -uJ dV 1 + T = 1 +7.28(1 +H3從而(1分)/ + 工一（劭 h* Y/三（2分）手是當(dāng)一之2時(shí)，不管我們?cè)趺催x取只取值士】的數(shù)列川均有（5分）可以有根苗種歷去選取只取伯t I的以列,陜編此時(shí)就成無(wú)（6分）例如，我們可以按以卜方式選?。喝∮?11依次定義】，如果-1,如果記我們有一而以酒.若y. 2d我們書(shū).?Av 一 1八+ 1 + C +即-n 十 1（5/ + I + 5這時(shí)/（12 分）/而當(dāng)y 時(shí),我們有Un +1 得由g + 1t i 1%V H + 1/n -I- 1 + s/n - yn十】（ +）這時(shí)F是當(dāng)痂十i 2cr和tflt 2a同號(hào)

22、時(shí).*+i -冽 y - 2flf|t而當(dāng)外4i - 2n和小一如異號(hào)時(shí),2W什i 2由 |%十1 VrJ U,總有切之泮，使得r/m + i - 2”羽 鵬一 24異號(hào)一由上面 的討論可得到22I燦-2nli j , ，= m + l,m + 2,._Ve 1UN + 1因此？ lii it= 2cv, （15 分）1l+g六.（本題2IJ分）設(shè)同是數(shù)域F上的。階方陣證明：力相似于（:；）其中 13是可逆矩陣,C是耗零陣即存在m使得C- = 0.證明：設(shè)V是尸上“維線性空間“ 是V上線性變換，它在V的組甚下的 矩陣為A下面證明存在療-不變子空間以t%滿(mǎn)足H一口心且同此是同構(gòu), 力電是格零變換

23、一首先有子空間升域i Ker r C Ker C Kertr C -從而存在正整數(shù)用 使得 Kr 仃= Ker d64匕 12, *-）.進(jìn)而有 15（7舊=KesS 。分）下面證明V - KerLLire.Valui（7ms 由 口 hl） ff1,存在 I ；使得白=am（,5）,由此 0 =（rf,l（n） = M叫3）,所以 8 E ?從而 3 W /rrani = Kerb*.故 ft / （L KerrTn nline7,JJ ,從而/ Ker（rnt Imi7m . 112 分）由仃（Kei #m I C K電s% cr（Imffm） C lui（rrrL 知 Ker（7mTIm

24、trm 是 #不變子 空間.又由0m（Ker曰） = （0）知。卜 是募零變換.由a（hn（j1） = Im嚴(yán) 知 Rim仃班是滿(mǎn)線性變換I從而可逆（17分）從 = Imb2購(gòu)=Ker 中&找，組基用，/兀t合并成1 的一組基“在此基卜.的矩陣為（其中廳是獷|眄在基下的矩 陣，從而可逆：C是白兒在基尻-勒卜的矩陣.是轅零矩陣，從而工相似于 （:；）,其中6是可逆矩陣,C是轅零矩陣（20分）注.如果視產(chǎn)為更數(shù)域直接用若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型證明.證明正確可以給1.0分: 存在可逆匝陣已使得PlAP = d四與（/（%產(chǎn)），J JMg3 - 一他所 其中內(nèi)兒修）是特征值為入的階為%的若當(dāng)塊,尤/：也叫）特征值為

25、0的 階為加方的若當(dāng)塊（5分）令B =比郎（。1嚴(yán)1，nj）7C = di電（JQ 根。，.J（0,以）：則H為可逆矩陣一 C為塞零矩陣.4相似于（:；） （W分）七.（本題15分）設(shè)Z（r）是。,+8）上的單調(diào)遞減函數(shù)，lim廣=。，且 1 T + -3Gr十陰，lim / F（/Hiu -dt =0.卜 x ./“產(chǎn)X證明：（i） lim4廣上）=IL （ii） lim /F（/）isiij（xt） (J, fk = 0.1,2從而fi sin t dtjlir/ nF(m)業(yè)成ii.TT - tF j) sill t rjtI 口(Fd) F(2nsin t dt.ft sin t fl

26、ta分)結(jié)合Ibu /0 1 +FG)= 得lim nFFi*-4-ZICIL=o.（了分）這樣：任取X 以白JV U使得當(dāng)H X時(shí).有巾（等）-尸（等）I 從而對(duì)任何m Q, ;r N仃i(哨 rjt=() tli r*17F + 產(chǎn)十Q=O 2：n+l nirFI 二式中 令 rft- + oc、 llj Hm /,)0 得 到“71八：拈 .U W 亍甘a n所以】im 門(mén)F（?） = 0.J1T+OG 2 /（9分）p fi p g !, up pa pagiiBB i|iriaq PF pwi; paiifi aaiiapno pqi iiqa BMr|i Bq pop !*, r

27、J1 .進(jìn)一步利用單調(diào)性，當(dāng)f A，時(shí)，有停（住卜力R中國(guó)表示度數(shù)苒的整數(shù)部分，于是可得litu ,r 尸（工）=0.JT*-HK （10 分）從而乂知tF（h）在0.+8）上有界，設(shè)上界為A/金也寸后三（0，當(dāng)丁 0時(shí)，我們有f+g0 /（r）= 上一了（明曲宙Jo 0.* *r* *、*. *. 4.*r* =11 .* .t .,*（于是0 liin f（u） JJhHT酎由7（0）的任意也可得山0 = O,邛tQ+進(jìn)而因/是奇函數(shù)推得】2工）二。一 （15分）第四屆i ； （ 15分） 設(shè)為橢圓做物面t=3/十蟲(chóng)產(chǎn)+1,從原點(diǎn)作r的切維面. 求切錐面方程.解答，段 5小訃為切儺面上的點(diǎn)

28、（非原點(diǎn)）.存在唯一 t使得“工,小工）落在 精園拋物面上（ 5分，F(xiàn)是行匕=6二十蟲(chóng)力產(chǎn)+1，并且這個(gè)關(guān)于t的二次 方程只有一個(gè)限110分），于是，判別式二產(chǎn)一 4（3/ + 如。=0.這就是所求的切錐面方程（15分）. 2 ; （ 15分）涉為拋物線，產(chǎn)是與焦點(diǎn)位F拋物線同網(wǎng)的一點(diǎn),過(guò)嚴(yán)的貪 級(jí)七與P用成的有界區(qū)域的面積記為A（L）.證孫 川L）取取小值當(dāng)且僅當(dāng) F恰為工被T所敲出的線段的中點(diǎn).解答r不妨設(shè)拋物線方程為$二h F二Uo.W）（ 1分）. P呵焦點(diǎn)在拋物線 伯同業(yè)，門(mén)W，； ： W分j-設(shè)，的方程;為V ：，.一的交 點(diǎn)的X坐標(biāo)滿(mǎn)足/ = kx - xo）十加. TF兩個(gè)解T

29、| 兀=政構(gòu)成區(qū)域的面積為筮/d# =舄一年）（ 8 分k于是宥364 （）3 = （了2T=（工+ xj）2 4x|x2）i = 1歲4k 工。+ 旬03=（糖2Ho產(chǎn)+ 4的4）* 網(wǎng)部（12分），等式成立當(dāng)且僅當(dāng)4功取Jt小屬當(dāng)且僅當(dāng)k = 2對(duì)，即Z1+J72 = 2oro ，嶼分）.口3： 。分)設(shè) / 1 C(J, +x). f ( 0 J OVj 也 +oc).已知J。d +x ,求擊 JJ 713 +XJ解答*由r-r)no,有o內(nèi)- f1/ WJo ， h f (工)十產(chǎn) h/(/+/)(1分).取極限 廣 門(mén),11U1/：77； S 山LL /：而口JVT + g/o /(

30、0(/(0十/任)國(guó)T+hJ口上產(chǎn)N1=癖F痼)Y麗（8分）.故由已知條件有7r di M /詢(xún):產(chǎn)也產(chǎn)+擊+8I： c 10分）設(shè)人ac均為實(shí)”階正定矩陣Ip=加？不小+ c/G）= 加加，其中/為未定元，iMP（t）表示F的行列式.若工為，的根， 試證明* Cl,!? ()c A 0,且2a（6分工壟意到，當(dāng)/30時(shí)，VG 4對(duì) 也從而出】=m2d05（8分）.當(dāng)盧一心“：V0時(shí),= k/Sw兄從而兄內(nèi)=卜/癡。5: 1 1。分）已知Sk|1,也為正惟里求解答：由于EM %恰為書(shū)等*展開(kāi)式中-T的系數(shù)（2分），而1一1戶(hù)口一工廠（1十工產(chǎn) （2 （1 一切產(chǎn)Ft三E（i）,a型yi，廣i=

31、O牙伏十2）（十十十 二 5門(mén)一福廿-2 t I II/ u21 J故有 = M + 2）/ + 7）2.一4 i=o3（1（分），6L 15分）設(shè)J：OJtR可微，八。）=1）,.e7）冊(cè)=01且尸（0手 IVz 口 J求正 對(duì)任意正鵬數(shù)乩有二打（到 步解答f dl F 。）= f,故存在C （0.1）使得八。=以2分）.又r*1, 由導(dǎo)函數(shù)介值性質(zhì)舊看產(chǎn) L必）力=一; 12分），干是有沙力歸心+展-口（ 15 分）7： （ 25分）已知實(shí)矩陣&= G ；）, = （： ：）證明（1）矩陣方程AX - B有解但BY = A無(wú)解的充要條件是& / 25=4/3:（2） A相似干出的充要條件是

32、。=3/ = 2/3;（3） A合同于B的充要條件是 2/=1 . （1）矩陣方程AX=B有解等價(jià)干B的列向枇可由4的列向依線性 表示. BY - A無(wú)解等價(jià)f A的某個(gè)列向量不能由B的列向康線性表東（2 分）.對(duì)3國(guó)作初等行變換；（2 2 4 埒 /224 b 2 a 3 1/1。a-2 -I I - bj知，B的列向量組可由川的列向量或性表示當(dāng)且僅當(dāng)以 # 2 （ G分）.對(duì)矩陣 國(guó)力）作初等行變換工闋一.人 2 2） C b 22 ，口,E 13 i 2 ” O 1 - 3b/4 L/2 也-即24由此知/1的列向量組不能由口的列向量線性衣示的充要條件是匕=4/%所以 矩陣方程4X =

33、/?有解但DV = T無(wú)解的充要條件是口 * = 4/3 （ LO 分k 若A H相似，則有trA = trR,且Ml = 以 故有0=3, b = 2/8 （ 2 分）,反之，若= b=2/3.則有A和/?的特征多項(xiàng)式均為洋-5A + 2.由于A2 - 5A + 2 = I）由兩個(gè)不同的 根，從而4召都可以相似于同一對(duì)角陣.故用與心相似（15分）.（3）由于/為對(duì)稱(chēng)陣，若5合同，則B也是對(duì)棘陣，故b = 3 （ 16分）. 矩即8對(duì)應(yīng)的一次型g（11，剪）=4ii + ftrua + . = （tai +電）-fix?-在可逆線性變換1/1 =配1+妝儂=向下”如“外變成標(biāo)準(zhǔn)型；婢- 5必

34、（后分）.由此,B的正.負(fù)慣性指數(shù)為1 （ 1。分）.類(lèi)似地.工對(duì)應(yīng)的二 次型=；+妞1電+也W=2出+ 戶(hù)+ （a-班;在可逆線性變換丸=3工計(jì)*/工=叼下/91#2）變成標(biāo)準(zhǔn)型：2q+佃-2）蛭 22分）.兒力合同的充要條件是它們有相同的正、負(fù)悟性指數(shù),故凡丹合 同的充要條件是口 V 2,b= 3 （ 25分）口第五屆一、（本題15分）平面加上兩個(gè)半彳空為r-的圓3和G外切于P點(diǎn).將闕心 沿G的圓周（無(wú)滑動(dòng)I滾動(dòng)一周，這時(shí)，G上的P點(diǎn)也隨G的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng).記r 為廠點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡曲戲，稱(chēng)為心臟稅.現(xiàn)改為以的可始位置（切點(diǎn)）為同心的阿L 劉半程為 兄 記了； R&ux-瞪u g為圓C的反演變換,

35、它將Q e R，（尸 映成射線PQ k的點(diǎn)滿(mǎn)足用 可=用.求證：M門(mén)為拋物緩證明以C,的廁心。為原點(diǎn)建立宜角坐標(biāo)系,使得初始切點(diǎn)尸=依），將惻 3沿G的圓周（無(wú)滑動(dòng)）滾動(dòng)到Q點(diǎn)，記角C尸0Q = c則3 = （rsinrcos 令沁為G在Q點(diǎn)的切線，它的單位法向?yàn)閚 = （sin 6.ccs0）.這時(shí)，尸點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到P 關(guān)于直線叼的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)產(chǎn)=FW）處 于是.有以巨=OP + 巨蘆=OP - 2(tjp - 71)71,故P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡曲疑（心臟線）為= /x = （23r（l res 0） sin r + 2r（ 1 cos 0） os 0）. 1 6 2-（K分）容易得到.M c的反演變換的坐標(biāo)

36、表示為灑正=（O.r）十 f-（x,y-r）,（1L分）二十如一吁將0T廿）=/代人.得到/ R2 sin0 H/os# EM =（2-蠱町 2小一一 8）+（】 分）直接計(jì)算,得到拋物線方程y =白冢+ 0 - 7）（】扮）/產(chǎn)4r二,（本題10分）設(shè)露階方陣和n x 1矩陣b（f）分別為岫=（如） 僅士）、和網(wǎng)1）=：,其中如，乩均為關(guān)于t的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式D = 1,2, .id鼠（山d（t）為B（t的行列心由為用郵）替代小。的第i列幣所得的n階矩陣的行列 式.若 如）有實(shí)根如使得BMX =附口）成為美F X的相容線性方程組.試征明: dHM，H必有次數(shù)1的公因式.證明設(shè)/?的第*列為技，*

37、= 12 m 斷言：，加是幅），口 的公因式,反證.不失一般性.設(shè)出&）#仇 于是秩/俏=%因?yàn)镸M） #。（5分）注意到帙W卻八結(jié)果培廣陣切QMh）的秩*口心）的秩.（9分）從而B(niǎo)gX =雙而不相容.矛帝 證畢，（10分）六、（本題25分）設(shè)W為n階實(shí)方陣全體 %為色力位置元素為1 箕余位苴元素為。的n階方陣.i., = 124止I；為秩等于/的實(shí)德階月 陣全體=0J2小井Lt?。宏诪楹纬擞称?，即滿(mǎn)足：6（AI3= 訊A）研切M 4, ? 理”.試證明:Y A、Bs rr,小中=秩雙.若制0） = &且存在某個(gè)秩為1的矩陣卬使得雙?。┴S0.則必存在可逆方陣R 使得.&） = R%X 對(duì)一切號(hào)

38、皆成立（口=1.2, 證明二A3 1表明A可表為月=P3Q其中P. Q可逆.（1分）結(jié)果我用=同戶(hù)上傳）。）：從而 秩m4y秩試取（3分）對(duì)稱(chēng)他有 秩利團(tuán)W秩加川.即有：秩血力）=飆約.（5分）考察矩陣集合。（見(jiàn)川=12，江先苓察口住田9（瓦J由 知可EJ為非零陣.特別地.oE）為非零器等陣，故存在中.位特征向量他 使得0f）嗎=惶3 ; = 1, 2: - . fL從而得向量組：門(mén)明，叫，（7分）此向tt組有如下性質(zhì)：（毋（區(qū)J。（&氏）叫=雙國(guó)&*）壯氣 =0. k步i時(shí)型，k = i Hjrb）歸卜壯k,線性無(wú)關(guān)，從而構(gòu)成R.的底 矩陣1/=叫，？ 一明為 可逆陣.事實(shí)上，若工1助+*明

39、, = 0則在兩邊用制國(guó)J作用之，得.T.=0. r = 1 + ,71.（11 分）c）當(dāng)新井，吐（&）必=0（%州（f）她!=貼ijEut）w* = 0;當(dāng)k=J時(shí)，令或%）甘相=如她4+ bijWi +-如叫兩邊分機(jī)用 麗 n 甌3）m%,+/切阿）作用之，得0 = %）叼=。（心）煙場(chǎng)）* =如小-ij ：制叱場(chǎng)）叼:=0（后除，）（bijW十-十如蠟十一-十5由叫1）：:即有%=機(jī)1 j = bi+i ； = -= % = 0.從而網(wǎng)=始助.進(jìn)一步1 M*0,否則有（拓/心八，叫=電導(dǎo)致可”）為零陣，不口rat口5分）這擇通過(guò)計(jì)算a%叼打=L 2，叫我們得到2個(gè)在零的實(shí)數(shù)：瓦1瓦注意

40、到Eit ErM = Rs從而B(niǎo)ewWe =% =雄（口）0（月與卜/ = （EtsM %=brJjmW因此有%iRy = %,.最后，令%=%?13 12，m則有 fo,同七訐）=（如嗎=如%嗎=%她=%仇令喬=M.%J,則打=【叫，加%人 j時(shí)卜-j時(shí).為可逆足陣，且（17 分）（21 分）MEQ* = 3（G）回，科J =也，。,約，0 1cI = %，/%即2（&） = REuR，證畢.（25 分）三.（本題15分）設(shè)，0在區(qū)間0,3L有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù) J（U） = 1,產(chǎn)R U, n o /（,r） 工， w（.!）+ 令.i+l = f （n）f,! W （。舉a）求證n收斂并求極限；（2）試問(wèn)mrJ是否收斂？若不收斂.則說(shuō)明理由,若 收斂，則求其極限一證明（1）山條件0 啊=心） 歸納地可證送0 瑞山 工，所以只有 r0 = 0. H|i, liui xn = 0.（5 分