高中數(shù)學(xué)函數(shù)單調(diào)性的判斷方法

1、高中數(shù)學(xué)函數(shù)單調(diào)性的判斷方法單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)，它在數(shù)學(xué)中有許多應(yīng)用，如我們常用求函數(shù)單調(diào)性的方法求函數(shù)的值域。那么，有哪些求函數(shù)單調(diào)性的方法呢？方法一：定義法對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間A上的任意兩個(gè)值（1）當(dāng)時(shí)，都有,則說(shuō)f(x)在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)；（2）若當(dāng)時(shí)，都有,則說(shuō)f(x) 在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù)。例如：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，證明：函數(shù) 在 上是減函數(shù)。要證明函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)是減函數(shù)，設(shè)任意，則， ，且在與中至少有一個(gè)不為0，不妨設(shè)，那么，故 在 上為減函數(shù)。方法二：性質(zhì)法除了用基本初等函數(shù)的單調(diào)性之外，利用單調(diào)性的有關(guān)性質(zhì)也能簡(jiǎn)化解題. 若函數(shù)f(x)、g(x)

2、在區(qū)間B上具有單調(diào)性，則在區(qū)間B上有：1. f(x)與cf(x)當(dāng)c0具有相同的單調(diào)性，當(dāng)c0具有相反的單調(diào)性；2.當(dāng)f(x)、g(x)都是增(減)函數(shù)，則f(x)g(x)都是增(減)函數(shù)；3.當(dāng)f(x)、g(x)都是增(減)函數(shù)，則f(x)g(x)當(dāng)兩者都恒大于0時(shí)也是增(減)函數(shù)，當(dāng)兩者都恒小于0時(shí)也是減(增)函數(shù)；例如，已知f（x）在R上是減函數(shù)，那么-5f（x）為_(kāi)函數(shù)。這道題很簡(jiǎn)單，我們根據(jù)單調(diào)性的性質(zhì)，很容易就能判斷它是增函數(shù)。方法三：同增異減法（處理復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題）對(duì)于復(fù)合函數(shù)yf g(x)滿足“同增異減”法(應(yīng)注意內(nèi)層函數(shù)的值域)，可令 tg(x)，則三個(gè)函數(shù) yf(t)

3、、tg(x)、yf g(x)中，若有兩個(gè)函數(shù)單調(diào)性相同，則第三個(gè)函數(shù)為增函數(shù)；若有兩個(gè)函數(shù)單調(diào)性相反，則第三個(gè)函數(shù)為減函數(shù).注：（1）奇函數(shù)在對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上有相反的單調(diào)性；（2）互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)有相同的單調(diào)性；（3）如果f(x)在區(qū)間D上是增（減）函數(shù)，那么f(x)在D的任一子區(qū)間上也是增（減）函數(shù)。例如，求函數(shù)y=log4(x24x+3)的單調(diào)區(qū)間。解：設(shè) y=log4u,u=x24x+3.由 u0, u=x24x+3，解得原復(fù)合函數(shù)的定義域?yàn)閤1或x3.當(dāng)x(，1)時(shí)，u=x24x+3為減函數(shù)，而y=log4u為增函數(shù)，所以(，1)是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；當(dāng)x(3，)時(shí)，u=x24x+3為增函數(shù)y=log4u為增函數(shù)，所以，(3，+)是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.方法四：圖像法畫(huà)出函數(shù)的圖形，直接根據(jù)圖像走勢(shì)，判斷函數(shù)在某一子區(qū)間的單調(diào)性。例如，畫(huà)出函數(shù)圖象并寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。解： 即 如圖所示，單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為方法五：導(dǎo)數(shù)法 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減。例如，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。