建坐標(biāo)系解立體幾何(含解析)

1、立體幾何建坐標(biāo)系1. 如圖,四棱錐S-ABCD中,ABCD,BCCD,側(cè)面SAB為等邊三角形. AB=BC=2,CD=SD=1. ()證明:SD平面SAB;()求AB與平面SBC所成的角的大小. 2. 如圖,在四面體ABOC中, OCOA, OCOB, AOB=120°,且OA=OB=OC=1. ()設(shè)P為AC的中點(diǎn), Q在AB上且AB=3AQ. 證明:PQOA;()求二面角O-AC-B的平面角的余弦值. 3.如圖, 在正三棱柱ABC-A1B1C1中, AB=4,AA1=,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),點(diǎn)E在AC上,且DEA1E. ()證明:平面A1DE平面ACC1A1;()求直線AD和平面A1

2、DE所成角的正弦值. 4.如圖, 在直三棱柱ABC-A1B1C1中, AB=1, AC=AA1=,ABC=60°. ()證明:ABA1C;()求二面角A-A1C-B的大小. 5.四棱錐A-BCDE中, 底面BCDE為矩形, 側(cè)面ABC底面BCDE, BC=2, CD=, AB=AC. ()證明:ADCE;()設(shè)側(cè)面ABC為等邊三角形, 求二面角C-AD-E的大小. 6.如圖, 正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都為2, D為CC1中點(diǎn). ()求證:AB1平面A1BD;()求二面角A-A1D-B的大小. 7.如圖, 在三棱錐V-ABC中, VC底面ABC, ACBC, D是AB的中

3、點(diǎn), 且AC=BC=, VDC=. ()求證:平面VAB平面VCD;()試確定的值, 使得直線BC與平面VAB所成的角為. 8.如圖, BCD與MCD都是邊長(zhǎng)為2的正三角形, 平面MCD平面BCD, AB平面BCD, AB=2. ()求直線AM與平面BCD所成角的大小;()求平面ACM與平面BCD所成二面角的正弦值. 9.如圖, 在四棱錐P-ABCD中, PD平面ABCD, PD=DC=BC=1, AB=2, ABDC, BCD=90°. ()求證:PCBC;()求點(diǎn)A到平面PBC的距離. 10.如圖, 直三棱柱ABC-A1B1C1中, AC=BC, AA1=AB, D為BB1的中點(diǎn)

4、, E為AB1上的一點(diǎn), AE=3EB1. ()證明:DE為異面直線AB1與CD的公垂線;()設(shè)異面直線AB1與CD的夾角為45°, 求二面角A1-AC1-B1的大小. 11.如圖, 四棱錐S-ABCD中, 底面ABCD為矩形, SD底面ABCD, AD=, DC=SD=2. 點(diǎn)M在側(cè)棱SC上, ABM=60°. ()證明:M是側(cè)棱SC的中點(diǎn);()求二面角S-AM-B的大小. 12.如圖, 直三棱柱ABC-A1B1C1中, ABAC, D、E分別為AA1、B1C的中點(diǎn), DE平面BCC1. ()證明:AB=AC;()設(shè)二面角A-BD-C為60°, 求B1C與平面B

5、CD所成的角的大小. 13.如圖, 四棱錐P-ABCD的底面是正方形, PD底面ABCD,點(diǎn)E在棱PB上. ()求證:平面AEC平面PDB;()當(dāng)PD=AB且E為PB的中點(diǎn)時(shí),求AE與平面PDB所成的角的大小. 14. 如圖, 在四棱錐P-ABCD中, 底面ABCD是矩形, PA平面ABCD, PA=AD=4, AB=2.以BD的中點(diǎn)O為球心、BD為直徑的球面交PD于點(diǎn)M. ()求證:平面ABM平面PCD;()求直線PC與平面ABM所成的角;()求點(diǎn)O到平面ABM的距離. 15.如圖, 四棱錐S-ABCD的底面是正方形, SD平面ABCD, SD=2a, AD=, 點(diǎn)E是SD上的點(diǎn), 且DE=

6、(0<2). ()求證:對(duì)任意的(0, 2,都有ACBE;()設(shè)二面角C-AE-D的大小為, 直線BE與平面ABCD所成的角為. 若, 求的值. 16.如圖, 在五面體ABCDEF中, ABDC, BAD=, CD=AD=2. 四邊形ABFE為平行四邊形, FA平面ABCD, FC=3, ED=. 求:()直線AB到平面EFCD的距離;()二面角F-AD-E的平面角的正切值. 17.如圖, 設(shè)動(dòng)點(diǎn)P在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的對(duì)角線BD1上, 記. 當(dāng)APC為鈍角時(shí), 求的取值范圍. 答案與解析1.解法一:()取AB中點(diǎn)E, 連結(jié)DE, 則四邊形BCDE為矩形, DE=

7、CB=2. 連結(jié)SE, 則SEAB, SE=. 又SD=1, 故ED2=SE2+SD2, 所以DSE為直角. (3分)由ABDE, ABSE, DESE=E, 得AB平面SDE, 所以ABSD, SD與兩條相交直線AB、SE都垂直, 所以SD平面SAB. (6分)()由AB平面SDE知, 平面ABCD平面SDE. 作SFDE, 垂足為F, 則SF平面ABCD, SF=. 作FGBC, 垂足為G, 則FG=DC=1. 連結(jié)SG, 則SGBC. 又BCFG, SGFG=G, 故BC平面SFG, 平面SBC平面SFG. (9分)作FHSG, H為垂足, 則FH平面SBC. FH=, 即F到平面SBC

8、的距離為. 由于EDBC, 所以ED平面SBC, E到平面SBC的距離d也為. 設(shè)AB與平面SBC所成的角為, 則sin =, =arcsin. (12分)解法二:以C為坐標(biāo)原點(diǎn), 射線CD為x軸正半軸, 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz. 設(shè)D(1, 0, 0), 則A(2, 2, 0)、B(0, 2, 0). 又設(shè)S(x, y, z), 則x>0, y>0, z>0. ()=(x-2, y-2, z), =(x, y-2, z), =(x-1, y, z), 由|=|得=, 故x=1. 由|=1得y2+z2=1, 又由|=2得x2+(y-2)2+z2=4, 即y2+

9、z2-4y+1=0, 故y=, z=. (3分)于是S, =, =·=0, ·=0. 故DSAS, DSBS, 又ASBS=S, 所以SD平面SAB. (6分)()設(shè)平面SBC的法向量a=(m, n, p), 則a, a, a·=0, a·=0. 又=(0, 2, 0), 故(9分)取p=2得a=(-, 0, 2). 又=(-2, 0, 0), cos<, a>=. 故AB與平面SBC所成的角為arcsin. (12分)2.解法一:()在平面OAB內(nèi)作ONOA交AB于N, 連結(jié)CN. 在AOB中, AOB=120°且OA=OB, O

10、AB=OBA=30°. 在RtAON中, OAN=30°, ON=AN. 在ONB中, NOB=120°-90°=30°=OBN, NB=ON=AN. 又AB=3AQ, Q為AN的中點(diǎn). 在CAN中, P, Q分別為AC, AN的中點(diǎn), PQCN. 由OAOC, OAON知:OA平面CON. 又NC平面CON, OACN. 由PQCN, 知OAPQ. ()連結(jié)PN, PO. 由OCOA, OCOB知:OC平面OAB. 又ON平面OAB, OCON. 又由ONOA知:ON平面AOC. OP是NP在平面AOC內(nèi)的射影. 在等腰RtCOA中, P為A

11、C的中點(diǎn), ACOP. 根據(jù)三垂線定理, 知:ACNP. OPN為二面角O-AC-B的平面角. 在等腰RtCOA中, OC=OA=1, OP=. 在RtAON中, ON=OAtan 30°=, 在RtPON中, PN=, cosOPN=. 解法二:()取O為坐標(biāo)原點(diǎn), 以O(shè)A, OC所在的直線為x軸, z軸, 建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz(如圖所示). 則A(1, 0, 0), C(0, 0, 1), B. P為AC的中點(diǎn), P. =, 又由已知, 可得=. 又=+=. =-=, ·=·(1, 0, 0)=0. 故. ()記平面ABC的法向量n=(n1, n2,

12、n3), 則由n, n, 且=(1, 0, -1), 得故可取n=(1, , 1). 又平面OAC的法向量為e=(0, 1, 0). cos<n,e>=. 二面角O-AC-B的平面角是銳角, 記為, 則cos =. 3.()如圖所示, 由正三棱柱ABC-A1B1C1的性質(zhì)知AA1平面ABC. 又DE平面ABC, 所以DEAA1. 而DEA1E, AA1A1E=A1, 所以DE平面ACC1A1. 又DE平面A1DE, 故平面A1DE平面ACC1A1. ()解法一:過(guò)點(diǎn)A作AF垂直A1E于點(diǎn)F, 連結(jié)DF. 由()知, 平面A1DE平面ACC1A1, 所以AF平面A1DE. 故ADF是

13、直線AD和平面A1DE所成的角. 因?yàn)镈E平面ACC1A1, 所以DEAC. 而ABC是邊長(zhǎng)為4的正三角形, 于是AD=2, AE=4-CE=4-CD=3. 又因?yàn)锳A1=, 所以A1E=4, AF=,sinADF=. 即直線AD和平面A1DE所成角的正弦值為. 解法二:如圖所示, 設(shè)O是AC的中點(diǎn), 以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系, 則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(2, 0, 0), A1(2, 0, ), D(-1, , 0), E(-1, 0, 0). 易知=(-3, , -), =(0, -, 0), =(-3, , 0). 設(shè)n=(x, y, z)是平面A1DE的一個(gè)法向量, 則解得x=-z

14、, y=0. 故可取n=(, 0, -3). 于是cos<n, >=-. 由此即知, 直線AD和平面A1DE所成角的正弦值為. 4.解法一:()證明:三棱柱ABC-A1B1C1為直三棱柱, ABAA1. 在ABC中, AB=1, AC=, ABC=60°, 由正弦定理得ACB=30°, BAC=90°, 即ABAC. AB平面ACC1A1, 又A1C平面ACC1A1, ABA1C. ()如圖, 作ADA1C交A1C于D點(diǎn), 連結(jié)BD, 由三垂線定理知BDA1C, ADB為二面角A-A1C-B的平面角. 在RtAA1C中, AD=, 在RtBAD中, t

15、anADB=, ADB=arctan, 即二面角A-A1C-B的大小為arctan. 解法二:()證明:三棱柱ABC-A1B1C1為直三棱柱, AA1AB, AA1AC. 在ABC中, AB=1, AC=, ABC=60°. 由正弦定理得ACB=30°, BAC=90°, 即ABAC. 如圖, 建立空間直角坐標(biāo)系, 則A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), C(0, , 0), A1(0, 0, ), =(1, 0, 0), =(0, , -). ·=1×0+0×+0×(-)=0, ABA1C. ()如圖, 可取m=

16、(1, 0, 0)為平面AA1C的法向量, 設(shè)平面A1BC的法向量為n=(l, m, n), 則·n=0, ·n=0, 又=(-1, , 0), l=m, n=m. 不妨取m=1, 則n=(, 1, 1). cos<m, n>=, 二面角A-A1C-B的大小為arccos. 5. 解法一:()作AOBC, 垂足為O, 連結(jié)OD, 由題設(shè)知, AO底面BCDE, 且O為BC中點(diǎn). 由=知, RtOCDRtCDE, 從而ODC=CED, 于是CEOD. 由三垂線定理知, ADCE. ()作CGAD, 垂足為G, 連結(jié)GE. 由()知, CEAD. 又CECG=C,

17、故AD平面CGE, ADGE, 所以CGE是二面角C-AD-E的平面角. GE=, CE=, cosCGE=-. 所以二面角C-AD-E為arccos. 解法二:()作AOBC, 垂足為O. 由題設(shè)知AO底面BCDE, 且O為BC的中點(diǎn). 以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn), 射線OC為x軸正向, 建立如圖所示的直角坐標(biāo)系O-xyz. 設(shè)A(0, 0, t). 由已知條件有C(1, 0, 0), D(1, , 0), E(-1, , 0), =(-2, , 0), =(1, , -t). 所以·=0, 知ADCE. ()ABC為等邊三角形, 因此A(0, 0, ). 作CGAD, 垂足為G, 連結(jié)CE.

18、 在RtACD中, 求得|AG|=|AD|. 故G, =, 又=(1, , -), ·=0, ·=0. 所以與的夾角等于二面角C-AD-E的平面角. 由cos<>=-知二面角C-AD-E為arccos. 6.解法一:()取BC中點(diǎn)O, 連結(jié)AO. ABC為正三角形, AOBC. 正三棱柱ABC-A1B1C1中, 平面ABC平面BCC1B1, AO平面BCC1B1. 連結(jié)B1O, 在正方形BB1C1C中, O、D分別為BC、CC1的中點(diǎn), B1OBD, AB1BD. 在正方形ABB1A1中, AB1A1B, AB1平面A1BD. ()設(shè)AB1與A1B交于點(diǎn)G, 在

19、平面A1BD中, 作GFA1D于F, 連結(jié)AF, 由()得AB1平面A1BD, AFA1D. AFG為二面角A-A1D-B的平面角. 在AA1D中, 由等面積法可求得AF=, 又AG=AB1=, sinAFG=, 所以二面角A-A1D-B的大小為arcsin. 解法二:()取BC中點(diǎn)O, 連結(jié)AO. ABC為正三角形, AOBC. 在正三棱柱ABC-A1B1C1中, 平面ABC平面BCC1B1, AO平面BCC1B1. 取B1C1中點(diǎn)O1, 以O(shè)為原點(diǎn), 的方向?yàn)閤、y、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系, 則B(1, 0, 0), D(-1, 1, 0), A1(0, 2, ), A(0, 0,

20、 ), B1(1, 2, 0), =(1, 2, -), =(-2, 1, 0), =(-1, 2, ). ·=-2+2+0=0, ·=-1+4-3=0, , AB1平面A1BD. ()設(shè)平面A1AD的法向量為n=(x, y, z). =(-1, 1, -), =(0, 2, 0). n, n, 令z=1得n=(-, 0, 1)為平面A1AD的一個(gè)法向量. 由()知AB1平面A1BD, 為平面A1BD的法向量. cos<n,>=-. 二面角A-A1D-B的大小為arccos. 7.解法一:()AC=BC=a, ACB是等腰三角形, 又D是AB的中點(diǎn), CDAB,

21、 又VC底面ABC,VCAB, 于是AB平面VCD, 又AB平面VAB, 平面VAB平面VCD. ()過(guò)點(diǎn)C在平面VCD內(nèi)作CHVD于H, 則由()知CH平面VAB. 連結(jié)BH, 于是CBH就是直線BC與平面VAB所成的角. 依題意CBH=, 所以在RtCHD中, CH=asin ;在RtBHC中, CH=asin=, sin =, 0<<, =. 故當(dāng)=時(shí), 直線BC與平面VAB所成的角為. 解法二:()以CA、CB、CV所在的直線分別為x軸、y軸、z軸, 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系, 則C(0, 0, 0), A(a, 0, 0), B(0, a, 0), D, V. 于是,

22、 =(-a, a, 0). 從而·=(-a, a, 0)·=-a2+a2+0=0, 即ABCD. 同理·=(-a, a, 0)·=-a2+a2+0=0, 即ABVD. 又CDVD=D, AB平面VCD, 又AB平面VAB, 平面VAB平面VCD. ()設(shè)平面VAB的一個(gè)法向量為n=(x, y, z), 則由得可取n=(1, 1, cot ), 又=(0, -a, 0), 于是sin=sin , 即sin =, 0<<, =. 故當(dāng)=時(shí), 直線BC與平面VAB所成的角為. 解法三:()以點(diǎn)D為原點(diǎn), 以DC、DB所在的直線分別為x軸、y軸, 建

23、立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系, 則D(0, 0, 0), A,B,C,V, 于是=(0,a,0),從而·=(0 a,0)·=0, 即ABDC. 同理·=(0, a, 0)·=0, 即ABDV. 又DCDV=D, AB平面VCD. 又AB平面VAB, 平面VAB平面VCD. ()設(shè)平面VAB的一個(gè)法向量為n=(x, y, z), 則由得取n=(tan , 0, 1), 又=, 于是sin=sin , 即sin =. 0<<, =. 故當(dāng)=時(shí), 直線BC與平面VAB所成的角為. 8. 解法一:()取CD中點(diǎn)O, 連OB, OM, 則OBCD, OM

24、CD. 又平面MCD平面BCD, 則MO平面BCD, 所以MOAB, A、B、O、M共面. 延長(zhǎng)AM、BO相交于E, 則AEB就是AM與平面BCD所成的角. OB=MO=, MOAB, 則=, EO=OB=, 所以EB=2=AB, 故AEB=45°. 直線AM與平面BCD所成角的大小為45°. ()CE是平面ACM與平面BCD的交線. 由()知, O是BE的中點(diǎn), 則BCED是菱形. 作BFEC于F, 連AF, 則AFEC, AFB就是二面角A-EC-B的平面角, 設(shè)為. 因?yàn)锽CE=120°, 所以BCF=60°. BF=BC·sin 60&

25、#176;=, tan =2, sin =. 所以, 所求二面角的正弦值是. 解法二:取CD中點(diǎn)O, 連OB, OM, 則OBCD, OMCD, 又平面MCD平面BCD, 則MO平面BCD. 以O(shè)為原點(diǎn), 直線OC、BO、OM為x軸、y軸、z軸, 建立空間直角坐標(biāo)系如圖. OB=OM=, 則各點(diǎn)坐標(biāo)分別為O(0, 0, 0), C(1, 0, 0), M(0, 0, ), B(0, -, 0), A(0, -, 2), ()設(shè)直線AM與平面BCD所成的角為. 因=(0, , -), 平面BCD的法向量為n=(0, 0, 1). 則有sin =cos<, n>=, 所以=45

26、6;. 直線AM與平面BCD所成角的大小為45°. ()=(-1, 0, ), =(-1, -, 2). 設(shè)平面ACM的法向量為n1=(x, y, z), 由得解得x=z, y=z, 取n1=(, 1, 1). 平面BCD的法向量為n=(0, 0, 1). 則cos<n1, n>=. 設(shè)所求二面角為, 則sin =. 所以, 所求二面角的正弦值是. 9.解法一:()因?yàn)镻D平面ABCD, BC平面ABCD, 所以PDBC. 由BCD=90°, 得BCDC. 又PDDC=D, PD平面PCD, DC平面PCD, 所以BC平面PCD. 因?yàn)镻C平面PCD, 所以PC

27、BC. ()連結(jié)AC. 設(shè)點(diǎn)A到平面PBC的距離為h. 因?yàn)锳BDC, BCD=90°, 所以ABC=90°. 從而由AB=2, BC=1, 得ABC的面積SABC=1. 由PD平面ABCD及PD=1, 得三棱錐P-ABC的體積V=SABC·PD=. 因?yàn)镻D平面ABCD, DC平面ABCD, 所以PDDC. 又PD=DC=1, 所以PC=. 由PCBC, BC=1, 得PBC的面積SPBC=. 由V=SPBCh=··h=, 得h=. 因此, 點(diǎn)A到平面PBC的距離為. 解法二:建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系D-xyz, 則P(0, 0, 1),

28、C(0, 1, 0), B(1, 1, 0). ()=(0, 1, -1), =(-1, 0, 0). ·=0×(-1)+1×0+(-1)×0=0, PCBC. ()設(shè)平面PBC的法向量n=(x, y, z), 則有即令y=1得n=(0, 1, 1). 又因?yàn)锳(1, -1, 0), =(0, 2, 0), 所以點(diǎn)A到平面PBC的距離d=. 解法三:()取AB中點(diǎn)E, 連DE, 則DEBC, DE面PBC, 則A點(diǎn)到面PBC的距離等于E點(diǎn)到面PBC距離的2倍, 即等于點(diǎn)到面PBC距離的2倍. 過(guò)D作DHPC, 則DH面PBC. 在RtPCD中, DH=,

29、 A到面PBC的距離為. 10.解法一:()連結(jié)A1B, 記A1B與AB1的交點(diǎn)為F. 因?yàn)槊鍭A1B1B為正方形, 故A1BAB1, 且AF=FB1. 又AE=3EB1, 所以FE=EB1. 又D為BB1的中點(diǎn), 故DEBF, DEAB1. 作CGAB, G為垂足, 由AC=BC知, G為AB中點(diǎn). 又由底面ABC面AA1B1B, 得CG面AA1B1B. 連結(jié)DG, 則DGAB1, 故DEDG, 由三垂線定理, 得DECD. 所以DE為異面直線AB1與CD的公垂線. ()因?yàn)镈GAB1, 故CDG為異面直線AB1與CD的夾角, CDG=45°. 設(shè)AB=2, 則AB1=2, DG=

30、, CG=, AC=. 作B1HA1C1, H為垂足. 因?yàn)榈酌鍭1B1C1面AA1C1C, 故B1H面AA1C1C, 又作HKAC1, K為垂足, 連結(jié)B1K, 由三垂線定理, 得B1KAC1, 因此B1KH為二面角A1-AC1-B1的平面角. B1H=, HC1=, AC1=, HK=, tanB1KH=, 所以二面角A1-AC1-B1的大小為arctan. 解法二:()以B為坐標(biāo)原點(diǎn), 射線BA為x軸正半軸, 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系B-xyz. 設(shè)AB=2, 則A(2, 0, 0), B1(0, 2, 0), D(0, 1, 0), E, 又設(shè)C(1, 0, c), 則=(2, -

31、2, 0), =(1, -1, c). 于是·=0, ·=0, 故DEB1A, DEDC, 所以DE為異面直線AB1與CD的公垂線. ()因?yàn)?lt;>等于異面直線AB1與CD的夾角, 故·=|·|cos 45°, 即2××=4, 解得c=, 故=(-1, 0, ). 又=(0, 2, 0), 所以=+=(-1, 2, ). 設(shè)平面AA1C1的法向量為m=(x, y, z), 則m·=0, m·=0, 即-x+2y+z=0且2y=0. 令x=, 則z=1, y=0, 故m=(, 0, 1). 設(shè)平面

32、AB1C1的法向量為n=(p, q, r), 則n·=0, n·=0, 即-p+2q+r=0, 2p-2q=0. 令p=, 則q=, r=-1, 故n=(, -1). 所以cos<m, n>=. 由于<m, n>等于二面角A1-AC1-B1的平面角, 所以二面角A1-AC1-B1的大小為arccos. 11. (2009全國(guó), 19, 12分)如圖, 四棱錐S-ABCD中, 底面ABCD為矩形, SD底面ABCD, AD=, DC=SD=2. 點(diǎn)M在側(cè)棱SC上, ABM=60°. 11.解法一:()作MECD交SD于點(diǎn)E, 則MEAB, M

33、E平面SAD. 連結(jié)AE, 則四邊形ABME為直角梯形. 作MFAB, 垂足為F, 則AFME為矩形. 設(shè)ME=x, 則SE=x,AE=, MF=AE=, FB=2-x. 由MF=FB·tan 60°, 得=(2-x), 解得x=1. 即ME=1, 從而ME= DC, 所以M為側(cè)棱SC的中點(diǎn). ()MB=2, 又ABM=60°, AB=2, 所以ABM為等邊三角形. 又由()知M為SC中點(diǎn), SM=, SA=, AM=2, 故SA2=SM2+AM2, SMA=90°. 取AM中點(diǎn)G, 連結(jié)BG, 取SA中點(diǎn)H, 連結(jié)GH, 則BGAM, GHAM, 由此

34、知BGH為二面角S-AM-B的平面角. 連結(jié)BH. 在BGH中, BG=AM=, GH=SM=, BH=, 所以cosBGH=-. 二面角S-AM-B的大小為arccos. 解法二:以D為坐標(biāo)原點(diǎn), 射線DA為x軸正半軸, 建立如圖所示的直角坐標(biāo)系D-xyz. 設(shè)A(, 0, 0), 則B(, 2, 0), C(0, 2, 0), S(0, 0, 2). ()設(shè)=(>0), 則M, =. 又=(0, 2, 0), <>=60°, 故·=|·|cos 60°, 即=, 解得=1, 即=. 所以M為側(cè)棱SC的中點(diǎn). ()由M(0, 1, 1

35、), A(, 0, 0), 得AM的中點(diǎn)G. 又=(0, -1, 1), =(-, 1, 1). ·=0, ·=0, 所以. 所以<>等于二面角S-AM-B的平面角. 因?yàn)閏os<>=-. 所以二面角S-AM-B的大小為arccos. 12.解法一:()取BC中點(diǎn)F, 連結(jié)EF, 則EFB1B, 從而EFDA. 連結(jié)AF, 則ADEF為平行四邊形, 從而AFDE. (2分)又DE平面BCC1, 故AF平面BCC1, 從而AFBC, 即AF為BC的垂直平分線, 所以AB=AC. (5分)()作AGBD, 垂足為G, 連結(jié)CG. 由三垂線定理知CGBD,

36、 故AGC為二面角A-BD-C的平面角. 由題設(shè)知, AGC=60°. 設(shè)AC=2, 則AG=. 又AB=2, BC=2, 故AF=. 由AB·AD=AG·BD得2AD=·, 解得AD=, 故AD=AF. 又ADAF, 所以四邊形ADEF為正方形. (8分)因?yàn)锽CAF, BCAD, AFAD=A, 故BC平面DEF, 因此平面BCD平面DEF. 連結(jié)AE、DF, 設(shè)AEDF=H, 則EHDF, EH平面BCD. 連結(jié)CH, 則ECH為B1C與平面BCD所成的角. 因ADEF為正方形, AD=, 故EH=1, 又EC=B1C=2, 所以sinECH=,

37、所以ECH=30°, 即B1C與平面BCD所成的角為30°. (12分)解法二:()以A為坐標(biāo)原點(diǎn), 射線AB為x軸的正半軸, 建立如圖所示的直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz. 設(shè)B(1, 0, 0), C(0, b, 0), D(0, 0, c), 則B1(1, 0, 2c), E. (2分)于是=(-1, b, 0). 由DE平面BCC1知DEBC, ·=0, 求得b=1, 所以AB=AC. (5分)()設(shè)平面BCD的法向量=(x, y, z), 則·=0, ·=0. 又=(-1, 1, 0), =(-1, 0, c), 故(8分)令x=1, 則y=1

38、, z=. 又平面ABD的法向量=(0, 1, 0). 由二面角A-BD-C為60°知, <>=60°, 故·=|·|·cos 60°, 求得c=. 于是=(1, 1, ), =(1, -1, ), cos<>=, <>=60°. 所以B1C與平面BCD所成的角為30°. (12分)13.解法一:()四邊形ABCD是正方形, ACBD. PD底面ABCD, PDAC. AC平面PDB. 平面AEC平面PDB. ()設(shè)ACBD=O, 連結(jié)OE. 由()知AC平面PDB于O. AEO

39、為AE與平面PDB所成的角. O, E分別為DB, PB的中點(diǎn), OEPD, OE=PD. 又PD底面ABCD, OE底面ABCD, OEAO. 在RtAOE中, OE=PD=AB=AO, AEO=45°, 即AE與平面PDB所成的角為45°. 解法二:如圖, 以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz. 設(shè)AB=a, PD=h, 則A(a, 0, 0), B(a, a, 0), C(0, a, 0), D(0, 0, 0), P(0, 0, h). ()=(-a, a, 0), =(0, 0, h), =(a, a, 0), ·=0, ·=0. ACDP,

40、 ACBD. AC平面PDB. 平面AEC平面PDB. ()當(dāng)PD=AB且E為PB的中點(diǎn)時(shí), P(0, 0, a), E. 設(shè)ACBD=O, 則O, 連結(jié)OE. 由()知AC平面PDB于O. AEO為AE與平面PDB所成的角. =, cosAEO=. AEO=45°, 即AE與平面PDB所成的角為45°. 14.解法一:()證明:依題設(shè), M在以BD為直徑的球面上, 則BMPD. 因?yàn)镻A平面ABCD, 則PAAB. 又ABAD, 所以AB平面PAD, 則ABPD, 因此有PD平面ABM, 所以平面ABM平面PCD. ()設(shè)平面ABM與PC交于點(diǎn)N, 因?yàn)锳BCD, 所以A

41、B平面PCD, 則ABMNCD, 由()知, PD平面ABM, 則MN是PN在平面ABM上的射影, 所以PNM就是PC與平面ABM所成的角, 且PNMPCD, tanPNM=tanPCD=2, 所求角為arctan 2. ()因?yàn)镺是BD的中點(diǎn), 則O點(diǎn)到平面ABM的距離等于D點(diǎn)到平面ABM距離的一半, 由()知, PD平面ABM于M, 則|DM|就是D點(diǎn)到平面ABM的距離. 因?yàn)樵赗tPAD中, PA=AD=4, PDAM, 所以M為PD中點(diǎn), DM=2, 則O點(diǎn)到平面ABM的距離等于. 解法二:()同解法一;()如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),P(0,0,4),B(2,0

42、,0),C(2,4,0),D(0,4,0), M(0,2,2), 設(shè)平面ABM的一個(gè)法向量n=(x, y, z), 由n, n可得令z=-1, 則y=1, 即n=(0, 1, -1). 設(shè)所求角為, 則sin =, 所求角的大小為arcsin. ()設(shè)所求距離為h, 由O(1, 2, 0), =(1, 2, 0), 得h=. 15. （1）如圖，連接BE、BD，由底面ABCD是正方形可得ACBD。SD平面ABCD，BD是BE在平面ABCD上的射影，ACBE。（2）如圖，由SD平面ABCD知，DBE=， SD平面ABCD，CD平面ABCD，SDCD。 又底面ABCD是正方形，

43、CDAD，而SDAD=D，CD平面SAD連接AE、CE，過(guò)點(diǎn)D在平面SAD內(nèi)作DEAE于F，連接CF，則CFAE，故CDF是二面角C-AE-D的平面角，即CDF=。在RtBDE中，BD=2a，DE=在RtADE中，從而，在中，由，得，由，解得，即為所求。16.解法一:()因?yàn)锳BDC, DC平面EFCD, 所以直線AB到平面EFCD的距離等于點(diǎn)A到平面EFCD的距離. 如圖1, 過(guò)點(diǎn)A作AGFD于G. 因BAD=, ABDC, 故CDAD;又FA平面ABCD, 由三垂線定理知CDFD, 故CD平面FAD, 知CDAG. 圖1故AG為所求的直線AB到平面EFCD的距離. 在RtFDC中, FD=

44、. 由FA平面ABCD, 得FAAD, 從而在RtFAD中, FA=1, 所以, AG=. ()由已知FA平面ABCD, 得FAAD, 又由BAD=, 知ADAB, 故AD平面ABFE, 從而ADFE. 所以, FAE為二面角F-AD-E的平面角, 記為. 在RtEAD中, AE=. 由四邊形ABFE為平行四邊形, 得FEBA, 從而EFA=, 在RtEFA中, EF=. 故tan =. 解法二:圖2()如圖2, 以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn), 的方向?yàn)閤, y, z的正方向建立空間直角坐標(biāo)系, 則A(0, 0, 0), C(2, 2, 0), D(0, 2, 0). 設(shè)F(0, 0, z0)(z0>

45、;0), 可得=(2, 2, -z0), 由|=3, 即=3, 解得z0=1, 即F(0, 0, 1). 因?yàn)锳BDC, DC平面EFCD, 所以直線AB到平面EFCD的距離等于點(diǎn)A到平面EFCD的距離. 設(shè)A點(diǎn)在平面EFCD上的射影點(diǎn)為G(x1, y1, z1), 則=(x1, y1, z1), 因·=0且·=0, 而=(0, -2, 1), =(-2, 0, 0), 此即解得G點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1=0, 知G點(diǎn)在yOz面上, 故G點(diǎn)在FD上. 又=(-x1, -y1, -z1+1), 故有=-z1+1, 聯(lián)立、, 解得G, 因|為AB到平面EFCD的距離, 而=, 所以|=. ()因四邊形ABFE為平行四邊形, 則可設(shè)E(