巧用空間坐標(biāo)系分析解決高考中的三視圖問題

1、巧用空間坐標(biāo)系分析解決高考中的三視圖問題（郵編：331800）江西省東鄉(xiāng)縣實驗中學(xué) 黃樹華一、相關(guān)名詞1、投影：由于光的照射，在不透明物體后面的屏幕上留下該物體的影子，這種現(xiàn)象叫做投影。2、平行投影：在一束平行光線的照射下物體形成的投影叫做平行投影，平行投影分為正投影和斜投影。3、正投影法：投射線與投影面互相垂直的平行投影法叫做正投影法。4、視圖：物體向投影面投影所得到的圖形稱為視圖。5、三視圖：如果物體向三個互相垂直的投影面分別投影，所得到的三個圖形攤平在一個平面上，稱為該物體的三視圖。其中：從幾何體的前面向后面正投影得到的投影圖稱為幾何體的正視圖（或主視圖）；從幾何體的左面向右面正投影得到

2、的投影圖稱為幾何體的側(cè)視圖（或左視圖）；從幾何體的上面向下面正投影得到的投影圖稱為幾何體的俯視圖；三種試圖的對應(yīng)關(guān)系為：正視圖、俯視圖的長相等（簡稱為長對正），正視圖、側(cè)視圖的高相等（簡稱為高平齊），側(cè)視圖、俯視圖的寬相等且前后對應(yīng)（簡稱為寬相等）。二、例談“巧用空間坐標(biāo)系分析解決高考中的三視圖問題”由上述可知，三視圖是物體向三個互相垂直的投影面分別投影得到的，而在空間直角坐標(biāo)系中，平面x0y、平面x0z、平面y0z也是三個兩兩垂直的平面，故我們可以將這三個平面看作是物體的三個投影面，巧用空間直角坐標(biāo)系分析解決有關(guān)三視圖的問題。下面我僅以近幾年新課標(biāo)高考題為例加以說明，供大家探討。例1（08年

3、廣東卷文、理科）將正三棱柱截去三個角（如圖1所示A、B、C分別是三邊的中點）得到的幾何體如圖2，則該幾何體按圖2所示方向的側(cè)視圖(或稱左視圖)為（ ）；解析：此題在圖1中過點A作AODE于點O,連接FO，由正三棱柱的性質(zhì)易知，OA、OD、OF兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點，以向量OF、OD、OA分別為x、y、z軸的正方向建立空間坐標(biāo)系O-xyz，如圖3所示，點B、C在平面xoz上的正投影為BC的中點P，點D、E在平面xoz上的正投影為點O，正三棱柱截去三個角后的幾何體（右側(cè)圖2）的左視圖為直角梯形AOFP（如圖4），對應(yīng)選項為A，故選A。例2（2010上海卷文科）如圖5所示，為了制作一個圓柱形燈籠，

4、先要制作4個全等的矩形骨架，總計耗用9.6米鐵絲，再用平方米塑料片制成圓柱的側(cè)面和下底面（不安裝上底面）.(1)當(dāng)圓柱底面半徑取何值時，取得最大值？并求出該最大值（結(jié)果精確到0.01平方米）;(2)若要制作一個如圖4放置的，底面半徑為0.3米的燈籠，請作出用于燈籠的三視圖（作圖時不需考慮骨架等因素）. 解析：(1) 設(shè)圓柱形燈籠的母線長為l，則l=1.2-2r(0<r<0.6)，S=-3p(r-0.4)2+0.48p，所以當(dāng)r=0.4時，S取得最大值約為1.51平方米；(2) 如右圖6，作三個兩兩垂直的向量OO/、OA、OB是并以它們分別作為z、x、y軸的正方向建立空間坐標(biāo)系O-x

5、yz，將燈籠投影到坐標(biāo)系的三個兩兩垂直的坐標(biāo)平面，易知當(dāng)r=0.3時，l=0.6，圓柱形燈籠的正視圖、左視圖都是邊長為0.6的正方形，俯視圖是r=0.3的圓，三視圖略也許有些讀者會問：如何建立與幾何體三視圖對應(yīng)的空間坐標(biāo)系呢？下面詳細闡述之。例3（2009天津卷理科）如圖是一個幾何體的三視圖，若它的體積是，則a=_；解析：此題已知三視圖要求知道對應(yīng)的幾何體，可以先建立空間坐標(biāo)系O-xyz，分別將平面yoz、xoz、xoy看作正視投影、側(cè)視投影、俯視投影的正投影面，將三種視圖移到三個投影面，如圖7，分析知此幾何體是一個倒立放置的直三棱柱ABC- A/B/C/，如圖8，正視圖是寬為a，長為3的矩形

6、OO/C/C，側(cè)視圖是底邊長為2的等腰三角形ABC，俯視圖是寬為2，長為3的矩形AA/B/B，直三棱柱是高為3，底面是底邊長為2，底邊上的高為的等腰三角形，所以求得幾何體的體積V=。由以上例解可知，利用空間直角坐標(biāo)系分析處理有關(guān)三視圖問題，大致有兩種類型：（1）已知幾何體，分析幾何體的三視圖；這類問題較簡單些，處理的方法是：先根據(jù)已知條件和幾何體的性質(zhì)，找到或作出幾何體中兩兩垂直且相交于一點的三條線；再以交點為坐標(biāo)原點，三條線所在直線為坐標(biāo)軸建立空間坐標(biāo)系；最后將幾何體的各個頂點向兩兩垂直的坐標(biāo)面作垂線，在各坐標(biāo)面內(nèi)分別連接各垂足，得到的平面圖形即為幾何體的三視圖（如例1）。（2）已知幾何體的

7、三視圖，分析幾何體；這類問題較復(fù)雜些，處理的方法是：先建立空間直角坐標(biāo)系O-xyx，分別將平面yoz、平面xoz、平面xoy看作正視、側(cè)視、俯視圖的正投影面；再將幾何體的三視圖平移到與相應(yīng)正投影面平行的位置；最后綜合已知條件補全幾何體（如例2、例3）。以下再舉幾例，以饗讀者。例4(07年寧夏、海南卷理科) 已知某個幾何體的三視圖如下，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸（單位：cm），可得這個幾何體的體積是（） 解析：俯視圖是三個三角形構(gòu)成的四邊形（正方形），主視圖是三角形（直角三角形），側(cè)視圖也是三角形，不難知道該幾何體是一個四棱錐，設(shè)為四棱錐P-ABCD，點P在底面上的射影為CD的中點O，OP平面ABCD，

8、平面PCD平面ABCD，分別以向量OP、向量OC、平行于直線AD的向量OE為z軸、y軸、x軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系0-xyz,如圖9，結(jié)合三視圖可知，正視圖為等腰直角三角形POE，側(cè)視圖為等腰三角形PCD，底邊上的高OP=20，俯視圖為邊長是20的正方形ABCD，四棱錐的體積V=·202·20=，故選B。說明：不難知道該幾何體是四棱錐，但若借助于常規(guī)的解法，很難在短時間內(nèi)得出該四棱錐的有關(guān)棱長，自然難以快速地解答此題，此處借助于空間直角坐標(biāo)系，令人耳目一新，通俗易懂。例5（2010陜西卷文科） 若某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（ ）；（A）2 （B）1

9、（C） （D）解析：該幾何體的三視圖都存在直角，可先建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，分別將平面xoz、yoz、xoy看作正視投影、側(cè)視投影、俯視投影的正投影面，將三種視圖平移到三個投影面，補全幾何體，分析知此幾何體是一個直四棱柱切掉一半后所剩的幾何體AB-CDEF，如圖10，正視圖是寬為1，長為的矩形CDFE，側(cè)視圖是兩直角邊長分別為1、的直角三角形BDF，俯視圖邊長為的正方形ABFE，直三棱柱是高為，底面底邊長分別為1、的矩形，其體積為1=2，所以,所求幾何體的體積為1，故選B。例6（2010年廣東卷文、理科）如圖11， ABC為三角形，/ / ,  平面ABC 且3= =AB,則多面體ABC -的正視圖（也稱主視圖）是（ ）；解析：取AC的中點D，連接BD，CC/平面ABC，BB/CC/,BB/平面ABC，BB/BC ，BB/AB，以B為坐標(biāo)原點，以BA、BC、BB/分別為x、y、z軸的正方向建立空間坐標(biāo)系，如圖12所示，取AB的中點E，連