函數(shù)的微分及其應用（課堂PPT）

1、.15 5 函數(shù)的微分及其應用函數(shù)的微分及其應用v微分定義微分定義v微分與導數(shù)微分與導數(shù)v微分的幾何意義微分的幾何意義v微分公式與運算法則微分公式與運算法則v微分的簡單應用微分的簡單應用.2一一. . 微分的概念微分的概念實例實例: :正方形金屬薄片受熱后面積的改變量正方形金屬薄片受熱后面積的改變量. .20 xA 0 x0 x,00 xxx 變變到到設(shè)設(shè)邊邊長長由由,20 xA 正正方方形形面面積積2020)(xxxA .)(220 xxx )1()2(;,的的主主要要部部分分且且為為的的線線性性函函數(shù)數(shù)Ax .,很很小小時時可可忽忽略略當當?shù)牡母吒唠A階無無窮窮小小xx :)1(:)2(x

2、x xx 0 xx 02)( x 既容易計算又是較好的近似值既容易計算又是較好的近似值.3問題問題: :這個線性函數(shù)這個線性函數(shù)( (改變量的主要部分改變量的主要部分) )是否所有函數(shù)是否所有函數(shù)的改變量都有的改變量都有? ?它是什么它是什么? ?如何求如何求? ?.),(,)(,)(),()()()(,)(000000000 xAdyxdfdyxxxfyxAxxfyxAxoxAxfxxfyxxxxfyxxxx 即即或或記作記作的微分的微分相應于自變量增量相應于自變量增量在點在點為函數(shù)為函數(shù)并且稱并且稱可微可微在點在點則稱函數(shù)則稱函數(shù)無關(guān)的常數(shù)無關(guān)的常數(shù)是與是與其中其中成立成立如果如果在這區(qū)間

3、內(nèi)在這區(qū)間內(nèi)及及在某區(qū)間內(nèi)有定義在某區(qū)間內(nèi)有定義設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)定義定義: :.4.的的線線性性主主部部叫叫做做函函數(shù)數(shù)增增量量微微分分ydy ( (微分的實質(zhì)微分的實質(zhì)) )由定義知由定義知: :;)1(的的線線性性函函數(shù)數(shù)是是自自變變量量的的改改變變量量xdy ;)()2(高階無窮小高階無窮小是比是比xxodyy ;,0)3(是是等等價價無無窮窮小小與與時時當當ydyA dyy xAxo )(1).0(1 x;)(,)4(0有有關(guān)關(guān)和和但但與與無無關(guān)關(guān)的的常常數(shù)數(shù)是是與與xxfxA ).(,)5(線線性性主主部部很很小小時時當當dyyx .5二二. . 微分與導數(shù)微分與導數(shù)( ( differ

4、ential & derivative ) )定理：定理：00( )( )yf xxf xx 函函數(shù)數(shù)在在可可微微在在可可導導。.可微可微可導可導 證證: “必要性必要性” 已知已知)(xfy 在點在點 可微可微 ,0 x則則)()(00 xfxxfy )(limlimxxoAxyxx 00A 故故Axf )(0)( xoxA )(xfy 在點在點 的可導的可導,0 x且且.6.)(),(,)(xxfdyxdfdyxxfy 即即或或記記作作微微分分稱稱為為函函數(shù)數(shù)的的的的微微分分在在任任意意點點函函數(shù)數(shù)“充分性充分性”已知已知)(lim00 xfxyx )(xfy )(0 xfxy)l

5、im(00 xxxxfy )(0故故)()(xoxxf 0 線性主部線性主部 即即xxfy )(d0在點在點 的可導的可導,0 x)(時時00 xf則則.7,.xxdxdxx 通通常常把把自自變變量量的的增增量量稱稱為為自自變變量量的的微微分分記記作作即即.)(dxxfdy ).(xfdxdy .微商微商導數(shù)也叫導數(shù)也叫該函數(shù)的導數(shù)該函數(shù)的導數(shù)之商等于之商等于與自變量的微分與自變量的微分即函數(shù)的微分即函數(shù)的微分dxdy.8微分與導數(shù)的本質(zhì)區(qū)別：微分與導數(shù)的本質(zhì)區(qū)別：3.3.導數(shù)多用于理論研究，微分多用于近似計算。導數(shù)多用于理論研究，微分多用于近似計算。的的增增量量；是是切切線線對對導導數(shù)數(shù)是是

6、切切線線斜斜率率，微微分分x. 1有關(guān)；有關(guān)；也與也與有關(guān)，有關(guān)，切切有關(guān)，而微分不僅與是有關(guān)，而微分不僅與是導數(shù)只與導數(shù)只與xxx . 2.9數(shù)數(shù)的的微微分分：很很容容易易求求出出基基本本初初等等函函利利用用dxxfdy)( ;cos)(sinxdxxd ;1|lndxxxd ;0)( Cd;sec)(tan2xdxxd .11)(arcsin2dxxxd ;)(1dxxxd .10三三. . 微分的幾何意義微分的幾何意義幾何意義幾何意義: :( (如圖如圖) ).,對應的增量對應的增量就是切線縱坐標就是切線縱坐標坐標增量時坐標增量時是曲線的縱是曲線的縱當當dyy )(xfy 0 xMNTd

7、yy)( xo ）xyo x xx0 P ,.xMMPMN 當當很很小小時時 在在點點的的附附近近切切線線段段可可近近似似代代替替曲曲線線段段.11四四. . 微分公式與運算法則微分公式與運算法則 1. 1. 公式：公式：dxxfdy)( xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221 .12dxxxarcddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)cot(11)(arctan11)(

8、arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)( .132. 2. 法則：法則：2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvud 1). 1). 四則運算法則四則運算法則.14;)(,)1(dxxfdyx 是是自自變變量量時時若若則則函函數(shù)數(shù)的的可可微微即即另另一一變變量量是是中中間間變變量量時時若若),(,)2(txtx ),()(xfxfy 有有導導數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)dttxfdy)()( ,)(dxdtt .)(dxxfdy 結(jié)論：結(jié)論：,( )xyf x 無無論論是是自自變變量量還還是是中中間間變變量量 函函數(shù)數(shù)的的微微分分形形式式

9、總總是是微分形式的不變性微分形式的不變性dxxfdy)( 2). 2). 復合運算法則復合運算法則.15Nove. 9 Mon. Nove. 9 Mon. ReviewReview1.1.微分概念：微分概念：.)()(稱為微分稱為微分可微，可微，則稱，則稱若函數(shù)增量若函數(shù)增量xAdyxfyxoxAy 2.2.微分的幾何意義：微分的幾何意義：.)(的增量的增量的切線對的切線對 xxfy 3.3.可微與可導的關(guān)系：可微與可導的關(guān)系：可可導導。在在可可微微在在函函數(shù)數(shù)00)()(xxfxxfy 4.4.微分公式與運算法則：微分公式與運算法則： 四則運算法則與復合運算法則（微分形式不變性）。四則運算法

10、則與復合運算法則（微分形式不變性）。.16;)1ln(. 12dyxxy，求求例例 解解: :22111xxxxy ,112x .112dxx dxydy .17例例2. 已知已知, )sinarcsin(xy12 求求.d y解：因為解：因為 y所以所以 yd22111)(sinx x12sin x1cos )(21x xy d xxxxdsin)(sin2111222 .18；求求例例dybxeyax,cos3. 解解: :)cos(bxeddyax )(cos)(cosbxdedebxaxax )()sin()(cosbxdbxeaxdebxaxax bxdxbebxdxaeaxaxsi

11、ncos dxbxbbxaeax)sincos( .19;arctan)(),(4.的微分的微分處可微，求處可微，求在在設(shè)設(shè)例例vuyxxvxu 解解: :)(arctanvuddy )()(arctanvudvu dxvuvu 2211dxvvuvuvuv2222 dxvuvuvu22 22vudxvudxuv 22vuudvvdu .20;15.22dyxyyx，求求設(shè)設(shè)例例 解解: :0)(22 xyyxd對等式兩邊求微分，有對等式兩邊求微分，有)(22xyyxd dyxyxdxxyy)()(2222 0 dxxyxxyydy2222 )()(xydydxyxydxdyx2222 .21

12、的的微微分分；求求例例11. 622 xxy解解: :dxxxdy 1122,1122 xxu令令 112122xxdudxxxxxxu22221121221)()()( dxxxxx22221211)( duudy)( dxxxx1)1(22232 .22的的微微分分。函函數(shù)數(shù)所所確確定定的的求求由由方方程程例例)()ln()(2. 7xyyyxyxxy 解解: :yxdydxyxyxdydxdxdy )()ln()(2)ln()(yxdydxdxdy 23.)ln()ln(dxyxyxdy 32dxyxyxdy)ln()ln( 23.23五五. . 微分的簡單應用微分的簡單應用1. 1.

13、近似計算近似計算;)().10附附近近的的近近似似值值在在點點求求xxxf )()(00 xfxxfy .)(0 xxf .)()()(000 xxfxfxxf )(很小時很小時x .)0()0()(xffxf ., 00 xxx 令令;0)().2附近的近似值附近的近似值在點在點求求 xxf.24的近似值；的近似值；計算計算例例2160 ocos1.解解: :)cos(cos1806012321600 )cos(10800123 ,3sin)(,3cos)(00 xfxf，則則令令108001230 xxxxf,cos)(10800123321600 sincoscos10800122321

14、 4970. .25nxxxxxexnx 1111，幾個近似公式：幾個近似公式：例例sin|2.5250計計算算解解: :xeeex00 x 1xxnxxxnxnn0110111111 )()()(xxxxxx00 |cos|sinsinnx 1xxxxxx001111 | )ln()ln(x 5553713250 )(5375113 .262. 2. 誤差計算方面的應用誤差計算方面的應用由于測量儀器的精度、測量的條件和測量的方法由于測量儀器的精度、測量的條件和測量的方法等各種因素的影響，測得的數(shù)據(jù)往往帶有誤差，等各種因素的影響，測得的數(shù)據(jù)往往帶有誤差，而根據(jù)帶有誤差的數(shù)據(jù)計算所得的結(jié)果也會有

15、誤而根據(jù)帶有誤差的數(shù)據(jù)計算所得的結(jié)果也會有誤差，我們把它叫做差，我們把它叫做間接測量誤差間接測量誤差. .定義：定義：.,的的絕絕對對誤誤差差叫叫做做那那末末為為它它的的近近似似值值如如果果某某個個量量的的精精度度值值為為aaAaA .的相對誤差的相對誤差叫做叫做的比值的比值而絕對誤差與而絕對誤差與aaaAa .27絕絕對對誤誤差差| )(|)(xxfyxxfdyy Absolute errorRelative error相對誤差相對誤差|)()(xxfxfydyyy .28，則，則即即，若已知量測最大誤差為若已知量測最大誤差為 |.x1 )()(|)()(| )(| )(|xfxfxxfxf

16、yyxfxxfy，即，即的最大絕對誤差為的最大絕對誤差為若已知若已知 y. 2 | )(|xxfy| )(|xfx 的的限限度度為為則則| x | )(|xf .29 yy的相對誤差為的相對誤差為則則 x )()(|1xfxfxxx，即即的的最最大大相相對對誤誤差差為為若若已已知知 yydyyy |)()(xxfxf )()(|xfxfx .3021.0.121.5cmrcmAr 例例設(shè)設(shè)測測量量圓圓的的半半徑徑時時，最最大大絕絕對對誤誤差差為為，測測得得的的值值為為，問問：用用公公式式計計算算圓圓的的面面積積時時，它它的的最最大大絕絕對對誤誤差差和和最最大大相相對對誤誤差差各各是是多多少少？解解: :0.1cm|r| | )(|rrAA 2cm. 34105212 |.rrr 5212 |.rrrAAr 52122 10521432.).( %.930 .312.1%例例測測量量一一正正方方體體的的邊邊長長，其其準準確確程程度度應應如如何何，方方能能使使計計算算的的體體積積之之相相對對誤誤差差不不超超過過？解解: :%,1 VdVVVdxxdVxV233 ,%1 |xxxVdV 323%|13 xx%|113 xxxx最最大大相相對對誤誤差差為為%.30 .1%.誤誤差差不不超超過過，方方能能使使體體