第三章剛體力學(xué)習(xí)題解答

1、第三章 習(xí)題解答3.13 某發(fā)動(dòng)機(jī)飛輪在時(shí)間間隔t內(nèi)的角位移為。求t時(shí)刻的角速度和角加速度。解：3.14桑塔納汽車時(shí)速為166km/h，車輪滾動(dòng)半徑為0.26m，發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速與驅(qū)動(dòng)輪轉(zhuǎn)速比為0.909, 問發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速為每分多少轉(zhuǎn)？解：設(shè)車輪半徑為R=0.26m，發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速為n1, 驅(qū)動(dòng)輪轉(zhuǎn)速為n2, 汽車速度為v=166km/h。顯然，汽車前進(jìn)的速度就是驅(qū)動(dòng)輪邊緣的線速度，所以：3.15 如題3-15圖所示，質(zhì)量為m的空心圓柱體，質(zhì)量均勻分布，其內(nèi)外半徑為r1和r2，求對(duì)通過其中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：設(shè)圓柱體長(zhǎng)為h ，密度為，則半徑為r，厚為dr的薄圓筒的質(zhì)量dm為：對(duì)其軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 3.17

2、 如題3-17圖所示，一半圓形細(xì)桿，半徑為 ，質(zhì)量為 ，求對(duì)過細(xì)桿二端 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：如圖所示，圓形細(xì)桿對(duì)過O軸且垂直于圓形細(xì)桿所在平面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為mR2，根據(jù)垂直軸定理和問題的對(duì)稱性知：圓形細(xì)桿對(duì)過軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為mR2，由轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的可加性可求得：半圓形細(xì)桿對(duì)過細(xì)桿二端 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：3.18 在質(zhì)量為M，半徑為R的勻質(zhì)圓盤上挖出半徑為r的兩個(gè)圓孔，圓孔中心在半徑R的中點(diǎn)，求剩余部分對(duì)過大圓盤中心且與盤面垂直的軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：大圓盤對(duì)過圓盤中心o且與盤面垂直的軸線（以下簡(jiǎn)稱o軸）的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 .由于對(duì)稱放置，兩個(gè)小圓盤對(duì)o軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量相等，設(shè)為I，圓盤質(zhì)量的面密度=M/R2，根據(jù)

3、平行軸定理，設(shè)挖去兩個(gè)小圓盤后，剩余部分對(duì)o軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I”3.19一轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I=8.0kgm2，轉(zhuǎn)速為=41.9rad/s，兩制動(dòng)閘瓦對(duì)輪的壓力都為392N，閘瓦與輪緣間的摩擦系數(shù)為=0.4，輪半徑為r=0.4m，問從開始制動(dòng)到靜止需多長(zhǎng)時(shí)間？解：由轉(zhuǎn)動(dòng)定理：制動(dòng)過程可視為勻減速轉(zhuǎn)動(dòng)，3.20一輕繩繞于r=0.2m的飛輪邊緣，以恒力 F=98N拉繩，如題3-20圖（a）所示。已知飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 J=0.5kg.m2，軸承無(wú)摩擦。求（1）飛輪的角加速度。（2）繩子拉下5m時(shí)，飛輪的角速度和動(dòng)能。（3）如把重量 P=98N的物體掛在繩端，如題3-20圖（b）所示，再求上面的結(jié)果。解

4、 （1）由轉(zhuǎn)動(dòng)定理得：（2）由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能定理得： =490J （3）物體受力如圖所示：解方程組并代入數(shù)據(jù)得：3.21現(xiàn)在用阿特伍德機(jī)測(cè)滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。用輕線且盡可能潤(rùn)滑輪軸。兩端懸掛重物質(zhì)量各為m1=0.46kg，m2=0.5kg，滑輪半徑為0.05m。自靜止始，釋放重物后并測(cè)得0.5s內(nèi)m2下降了0.75m?；嗈D(zhuǎn)動(dòng)慣量是多少？解： 隔離m2、m1及滑輪，受力及運(yùn)動(dòng)情況如圖所示。對(duì)m2、m1分別應(yīng)用牛頓第二定律：對(duì)滑輪應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定理： （3）質(zhì)點(diǎn)m2作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式：，由 、可求得 ,代入（3）中，可求得 ，代入數(shù)據(jù)：3.22質(zhì)量為m，半徑為 的均勻圓盤在水平面上繞中心軸轉(zhuǎn)

5、動(dòng)，如題3-22圖所示。盤與水平面的動(dòng)摩擦因數(shù)為 ，圓盤的初角速度為，問到停止轉(zhuǎn)動(dòng)，圓盤共轉(zhuǎn)了多少圈？ 解： 如圖所示： 由轉(zhuǎn)動(dòng)定律：M= 得： 積分得： 所以從角速度為到停止轉(zhuǎn)動(dòng)，圓盤共轉(zhuǎn)了圈。3.23如圖所示，彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)k=2N/m,可視為圓盤的滑輪半徑r=0.05m，質(zhì)量m1=80g，設(shè)彈簧和繩的質(zhì)量可不計(jì)，繩不可伸長(zhǎng)，繩與滑輪間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，運(yùn)動(dòng)中阻力不計(jì)，求1kg質(zhì)量的物體從靜止開始（這時(shí)彈簧不伸長(zhǎng)）落下1米時(shí)，速度的大小等于多少（g取10m/s2）解：以地球、物體、彈簧、滑輪為系統(tǒng)，其能量守恒物體地桌面處為重力勢(shì)能的零點(diǎn)，彈簧的原長(zhǎng)為彈性勢(shì)能的零點(diǎn)， 則有： 解方程得：代入數(shù)據(jù)計(jì)

6、算得：v=1.48m/s 。即物體下落0.5m的速度為1.48m/s 3.24如題3-24圖所示，均質(zhì)矩形薄板繞豎直邊轉(zhuǎn)動(dòng)，初始角速度為，轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)受到空氣的阻力。阻力垂直于板面，每一小面積所受阻力的大小與其面積及速度平方的乘積成正比，比例常數(shù)為k。試計(jì)算經(jīng)過多少時(shí)間，薄板角速度減為原來(lái)的一半，設(shè)薄板豎直邊長(zhǎng)為b，寬為a，薄板質(zhì)量為m。解；如圖所示，取圖示的陰影部分為研究對(duì)象 所以經(jīng)過的時(shí)間，薄板角速度減為原來(lái)的一半。3-25一個(gè)質(zhì)量為M，半徑為 R并以角速度旋轉(zhuǎn)的飛輪（可看作勻質(zhì)圓盤），在某一瞬間突破口然有一片質(zhì)量為m的碎片從輪的邊緣上飛出，見題3-25圖。假定碎片脫離飛輪時(shí)的瞬時(shí)速度方向正好豎

7、直向上，（1）問它能上升多高？（2）求余下部分的角速度、角動(dòng)量和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能。解：（1）碎片以的初速度豎直向上運(yùn)動(dòng)。上升的高度： （2）余下部分的角速度仍為 角動(dòng)量 轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 3.26兩滑冰運(yùn)動(dòng)員，在相距1.5m的兩平行線上相向而行。兩人質(zhì)量分別為mA=60kg，mB=70kg，他們的速率分別為vA=7m.s-1， vB=6m.s-1，當(dāng)二者最接近時(shí)，便拉起手來(lái)，開始繞質(zhì)心作圓運(yùn)動(dòng)，并保持二者的距離為1.5m。求該瞬時(shí)：（1）系統(tǒng)對(duì)通過質(zhì)心的豎直軸的總角動(dòng)量；（2）系統(tǒng)的角速度；（3）兩人拉手前、后的總動(dòng)能。這一過程中能量是否守恒？解：如圖所示，（1） （2） ，代入數(shù)據(jù)求得：（3）以地面為參考系

8、。拉手前的總動(dòng)能：，代入數(shù)據(jù)得，拉手后的總動(dòng)能：包括兩個(gè)部分：（1）系統(tǒng)相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)能（2）系統(tǒng)隨質(zhì)心平動(dòng)的動(dòng)能 動(dòng)能不變，總能量守恒（因?yàn)閮扇酥g的距離不變，所以兩人之間的拉力不做功，故總動(dòng)能守恒，但這個(gè)拉力的沖量不為0，所以總動(dòng)量不守恒）。3.27一均勻細(xì)棒長(zhǎng)為 l，質(zhì)量為m，以與棒長(zhǎng)方向相垂直的速度v0在光滑水平面內(nèi)平動(dòng)時(shí)，與前方一固定的光滑支點(diǎn) O發(fā)生完全非彈性碰撞，碰撞點(diǎn)位于離棒中心一方l/4處，如題3-27圖所示，求棒在碰撞后的瞬時(shí)繞過O點(diǎn)垂直于桿所在平面的軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度。解：如圖所示：碰撞前后系統(tǒng)對(duì)點(diǎn)O的角動(dòng)量守恒。 碰撞前后： 碰撞前后： 由可求得：3.28如題3-28圖所示

9、，一質(zhì)量為m 的小球由一繩索系著，以角速度0 在無(wú)摩擦的水平面上，作半徑為r0 的圓周運(yùn)動(dòng).如果在繩的另一端作用一豎直向下的拉力，使小球作半徑為r0/2 的圓周運(yùn)動(dòng).試求：（1） 小球新的角速度；（2） 拉力所作的功.解：如圖所示，小球?qū)ψ烂嫔系男】椎慕莿?dòng)量守恒（1）初態(tài)始角動(dòng)量 ；終態(tài)始角動(dòng)量 由求得：（2）拉力作功：3.29質(zhì)量為0.50 kg，長(zhǎng)為0.40 m 的均勻細(xì)棒，可繞垂直于棒的一端的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng).如將此棒放在水平位置，然后任其落下，如題3-29圖所示，求：（1） 當(dāng)棒轉(zhuǎn)過60°時(shí)的角加速度和角速度；（2） 下落到豎直位置時(shí)的動(dòng)能；（3） 下落到豎直位置時(shí)的角速度.解：設(shè)

10、桿長(zhǎng)為l，質(zhì)量為m (1) 由同轉(zhuǎn)動(dòng)定理有：代入數(shù)據(jù)可求得：由剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理得：，代入數(shù)據(jù)得：（也可以用轉(zhuǎn)動(dòng)定理求得角加速度再積分求得角速度）（2）由剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理得： （3）3-30如題3-30圖所示，A 與B 兩飛輪的軸桿由摩擦嚙合器連接，A 輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J1 10.0 kg· m2 ，開始時(shí)B 輪靜止，A 輪以n1 600 r· min-1 的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動(dòng)，然后使A 與B 連接，因而B 輪得到加速而A 輪減速，直到兩輪的轉(zhuǎn)速都等于n 200 r· min-1 為止.求：（1） B 輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；（2） 在嚙合過程中損失的機(jī)械能.題3-30圖解：研究對(duì)象：A、B系統(tǒng)在銜接過程中，對(duì)軸無(wú)外力矩作用，故有即： 代入數(shù)據(jù)可求得： （2） 代入數(shù)據(jù)可求得：，負(fù)號(hào)表示動(dòng)能損失（減少）。題3-31圖3.31質(zhì)量為m長(zhǎng)為l的勻質(zhì)桿