五上：釘子板上的多邊形 教學設計(定稿)

1、釘子板上的多邊形-連云港市院前小學 李吉愛教學內容：義務教育教科書數學五年級上冊第108-109頁。教學目標：1探索并初步發(fā)現釘子板上多邊形內有1、2、3枚以以上釘子的多邊形的面積與多邊形邊上的釘子數之間的關系，激發(fā)進一步探索釘子板上的多邊形面積與釘子數關系的興趣。2經歷探索過程，積累探索經驗，體驗成功樂趣。3通過小組合作，類比遷移探索問題的方法，嘗試探索研究同類問題。教學重點：探索釘子板上的多邊形面積與邊上釘子數和中間釘子數之間的規(guī)律。教學難點：在有限的課堂時間內進行類比推導，得出一般規(guī)律。教具準備：釘子板、釘子板套管（橡皮泥替代）、板貼、多媒體課件。學具準備：釘子板、作業(yè)紙等教學過程：課前

2、交流對話：（預設3分鐘）主要圍繞“會觀察、敢猜想”這兩個關鍵詞。1.孩子們，認識老師嗎？老師姓啥名啥？你是怎么知道的？（在學生猜想后點擊課件全部顯示）只顯示一半你就能猜出來，你屬牛的吧！你太牛了！可見你善于觀察，敢于猜想（磁板分別貼出善于觀察、敢于猜想），這兩點是我們學習數學時，很優(yōu)秀的品質。2.你知道今天將要學習什么知識嗎？（在學生回答后點擊課件出示課題）你是怎么知道的？看來咱們班會觀察，敢猜想的同學真不少！老師希望這節(jié)課中能看到更多的同學具有這種品質！準備好了嗎？下面我們開始上課！一、激趣生疑，直觀感知（預設：3分鐘）1.復習學過的平面圖形的面積，引出一道稍難的問題，埋下伏筆，引出課題。a

3、.過渡引入：我們學過好多平面圖形，老師考考你，誰能在20秒之內答出它的面積是多少嗎？（點擊課件出示例題中平行四邊形的那道題）b.看來這種題目難不倒大家！老師再出一道，考考你！（點擊出示），在20秒后，點擊課件消失，問：怎么沒有剛才那么迅速呢？ 預設：學生會說出關于“割補”的字眼。教師板書“割補拼接”二字。教師用課件配合進行點撥。（揭示答案17.5平方厘米）c.過渡：老師想告訴你，只要你用心上完這節(jié)課，保你在20秒之內就能解答出來！你們想學習這個絕招嗎？（想） 告訴你吧，解決這個難題的奧妙就藏在這個小小的釘子板中。（磁板貼出課題：釘子板上的多邊形），學生齊讀。二、學習新課，建構知識（預設33分鐘

4、）1.呈現一個釘子板圍成的多邊形-簡化成點子圖。 （預設：2分鐘）a.師：為了便于研究，我們把釘子板上的多邊形簡化在點子圖上。（課件顯示）我們約定釘子板上以及點子圖上的每相鄰兩個點之間的距離都是1厘米。（顯示1cm）b.請問這四枚釘子圍成的多邊形，它的面積是多少平方厘米？c.這八枚釘子圍成的多邊形呢？你是怎么知道的？（求出來的，還可以數出來。我們數數看，小結：這種規(guī)則的多邊形用“數”的辦法更實用）d.觀察比較：這兩個圖形有什么不同之處呢？ 預設：邊長不同，面積不相等；邊上的釘子枚數也不相同；里面釘子個數不同；邊上的釘子枚數越多，圍成的圖形的面積就越大。如果學生說不出“邊上釘子數”這點，點擊課件

5、，友情提示。2.探究多邊形內有1枚釘子的規(guī)律。（10分鐘）（1）個例發(fā)現，形成猜想。a.過渡：看來一個圖形的面積與這個圖形邊上的釘子數密切有關。（在表述的同時進行板貼：“多邊形的面積”“邊上的釘子數”）它們之間到底有著怎樣的聯系呢？ b.我們先來觀察這幾個圖形。帶著學生一起數一數1號圖形的邊上有幾枚釘子？面積是多少呢？4號圖形我們剛才就已經知道了它的面積，它邊上的釘子數是幾呢？（在學生回答后，點擊課件顯示）c.出示探究表格，讓學生仿照老師的樣子獨立完成剩下的2個圖形嗎？d.全班集體交流。指名學生回答，教師即時點擊課件顯示。在反饋3號圖形時，稍加突出，追問：這個圖形的面積是多少？你是怎么想的？還

6、可以怎么想？教師小結：在核算面積時，巧妙的“割補拼接”是個好方法。填寫完成后，讓學生仔細觀察表格，你有什么發(fā)現？ 預設:學生回答出“多邊形面積平方厘米數乘以2等于邊上釘子的數量”；教師就追問：倒過來怎么說呢？（多邊形邊上的釘子數的一半，等于多邊形面積的平方厘米數）用數量關系式表達出來就是-。在學生答道點子上后，即時整理板書，補充“=”、“÷2”。評價：寶貝們，你們太了不起了，異中求同，找到了規(guī)律?。ò遒N：異中求同）（2）舉例驗證，再生疑惑。過度：不過我們發(fā)現的這個規(guī)律，到目前為止只能算是一個“猜測”，只有經得住“驗證”（板貼勤于驗證），才能稱作規(guī)律。下面我們找個多邊形驗證一下，好嗎？

7、課件出示：一個底4厘米，高2厘米的三角形。師：讓學生一起數邊上的釘子數（8枚），按照剛才的發(fā)現，這個圖形的面積就應該是?(8的一半，等于4平方厘米)，用原先底×高÷2的方法，誰幫老師算一下？（4×2÷2=4），完全符合！師：老師這兒還有一個邊上是8枚釘子的圖形（點擊課件），它的面積是？（預設大多數學生上當會說是4）師：追問：同意嗎？教師課件點撥-這兒光整格子就已經是4平方厘米了，何況還多了一個三角形呢！怎么回事呢？ （3）歸納概括，形成結論。師：我們暫且不看這個圖形，先比較一下這幾個符合規(guī)律的有什么共同點？（內部釘子只有一枚）師：看樣多邊形的面積不僅和邊

8、上的釘子數有關，還和內部的釘子數有關系！因而我們的這個發(fā)現，必須要加上一個條件，才能正確！附加什么條件呢？（在學生表述后，貼上板貼：“內部釘子數1枚”；在貼上板貼時，教師故意貼不下，用字母表示的需求由此而生。）師：這么多字，都貼不下了，有辦法讓這句話簡潔一些嗎？（用字母表示）我們在表示面積時一般用s表示，多邊形邊上的釘子數用n表示，（在對應的位置板書“s”、和“n”）那么這個規(guī)律可以寫成-s=n÷2。小結回顧：回顧剛才我們在探索規(guī)律的過程，我們先是仔細觀察，然后異中求同，提出猜想，最后通過驗證，終于找到了這樣的一條規(guī)律：（指著板書）當多邊形內部釘子數1枚時，-提示學生齊讀“多邊形的面

9、積=邊上釘子數÷2”，也就是s=n÷2。3.探究多邊形內有2枚釘子的情況。（預設10分鐘）過渡：老師有個疑問：（對著課件）這種內部有2枚釘子的多邊形，會不會也有類似的規(guī)律呢？我們能繼續(xù)探究嗎？（能）（1） 出示探究要求。請看活動要求，師 簡單解讀活動要求，宣布活動開始。（2）學生小組合作，完成探究活動（二），教師巡視，選取完成迅速的且具有典型性的2個小組作品，貼在黑板上。同時讓學生代表用釘子板套管（或者橡皮泥）在內部釘子上做標記，并到電腦上輸入相應的數據。（3）班級反饋。教師帶著全班同學先檢查內部釘子數是否符合要求。（寶貝們，完成的小組向老師示意一下。不好意思，因為時間有限

10、，所以不能讓你們盡情的玩了。沒有完成的小組，也停下來，好嗎？我們一起來檢查一下這幾個小組圍成的圖形內部有幾枚釘子）然后指名其中一個小組代表表述發(fā)現的規(guī)律。（這是哪個小組的？能說說你們的發(fā)現嗎？）教師隨機板書： 當內部釘子數2枚 s=n÷2+1。課件中其它輸入的數據，僅當作驗證規(guī)律使用。(這是哪一組的數據，你們同意剛才的發(fā)現嗎？我們一起來驗證一下)預設：如果出現s=（n+2）÷2這種情況，可以把÷2轉化為×0.5，用乘法分配率處理。4.探究多邊形內有3枚以及更多釘子的情況。（預設10分鐘）（1）推想多邊形內部有3枚以及3枚以上釘子的規(guī)律。過度：（對著板書）

11、你們太了不起來，如此迅速的從不同的多邊形中找到了兩條規(guī)律。這兩個規(guī)律，看起來有些不同，但又有所相同。如果多邊形內部有3枚釘子，你猜猜會有怎樣的變化？（學生表述后，教師板書“3”、“s=n÷2+2”）4枚呢？（教師板書“4”、“s=n÷2+3”）5枚呢？（教師板書“5”、“s=n÷2+4”）6枚呢？7枚呢？8枚呢？ 20枚呢？a枚呢？師追問：后面加上的數有什么規(guī)律？（在學生回答到“后面加的數比內部的釘子數少1”，板貼：內部釘子數1）（2）出示驗證要求，完成探究活動（三）a.過度：你們太棒了，特別善于觀察，敢于猜測！但是這些猜測現在要打上一個“？”，因為只用通過驗證，

12、才能完全成立！時間關系，我們分組行動吧！請你們小組合作，從中選擇一條加以驗證。b活動前稍加指導：（出示課件）如果你們小組想驗證“內部釘子數3枚”，這兒就填上3，如果你們小組想驗證“內部釘子數4枚”，這兒就填上4，這兒要填寫剛才相應的推測！明白了嗎？活動開始吧！c.學生活動，教師巡視。d集體交流?，F在我們來匯報一下你們的驗證結果！哪組先說？請你們組的一位同學把你們圍成的圖形舉起來，給大家看一下，哪位代表發(fā)言？還有哪個組和他們組一樣，也是驗證這種類型的？你們和他們的結論一致嗎？你們組是驗證那一條？能說說嗎？e得出結論：師：經過大家的努力，我們現在可以確定這些猜想都是成立的。這么多的規(guī)律歸結成一句話

13、就是-多邊形的面積=邊上釘子數÷2+內部釘子數-1，用字母表示就是s=n÷2+a-1，這里的a可以表示許多數。老師有個疑問：這里的a可以是0嗎？（預設：不能|能）教師點撥：（點擊課件）出示四根釘子圍成的一個正方形，我們把它放大一下（課件顯示放大后的圖形）帶著學生一起核算。板書（0 s=n÷2+0-1，并隨機改成s=n÷2-1）三、課堂總結（預設3分鐘）1.簡介皮克定理師：孩子們，今天我們一起探索發(fā)現了-多邊形的面積等于邊上釘子數除以2，加上內部釘子數減一這個規(guī)律。實際上這和偉大的科學家皮克發(fā)現的“皮克定理”是一致的：（課件展示）皮克在1899年發(fā)現：給定

14、頂點坐標均是整點（或正方形格點）的簡單多邊形，其面積S與內部格點數a、邊上格點數n的關系：S=n÷2 + a -1。2.照應課前的問題。課件出示課前談話中的難題，并告訴學生邊上釘子數與內部釘子數，讓學生快速計算。3.回顧反思：師：同學們謝謝你們的精彩合作！回顧我們探索和發(fā)現規(guī)律的過程，得出這個結論固然重要，但我覺得更重要的是整個過程中的體會，你想說說嗎？（預設，學生不說，出現冷場，這樣應對：老師估計你們會說，卻不敢說，三個人是條龍，一個人變成“蟲”！這樣吧，老師送你一個“李悟”吧，注意此“李悟”非“禮”物但勝似“禮物”-那是什么禮物呢？（點擊課件出示）“一切推理猜想都必須從觀察與驗證得來。-李界”四、課外拓展：推薦一本書格點與面積今天我們學習的這個只是到初中大家還要深入學習，有興趣的同學可以閱讀這本書格點與面積。在這本書中提及了這種橫豎不相等