選修2-1-空間向量知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)

1、第三章空間向量與立體幾何1. 空間向量的概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。注：（1）向量一般用有向線段表示.同向等長的有向線段表示同一或相等的 向量。（2）空間的兩個(gè)向量可用同一平面內(nèi)的兩條有向線段來表示。2. 空間向量的運(yùn)算定義：與平面向量運(yùn)算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算如下（如圖）加法結(jié)合律：（a b） c a數(shù)乘分配律：（a b） a b3. 共線向量。（1）如果表示空間向量的有向線段所在的直線平行或重合，那么這些向量 也叫做共線向量或平行向量，a平行于b，記作ab。當(dāng)我們說向量a、b共線（或a/ b ）時(shí)，表示a、b的有向線段所在的直 線可能是同一直線，也可能是平

2、行直線。（2）共線向量定理：空間任意兩個(gè)向量 a、b （ b工0 ），a/ b存在實(shí)數(shù) 入，使a =入b 。4. 共面向量（1）定義：一般地，能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量。 說明：空間任意的兩向量都是共面的。（2） 共面向量定理：如果兩個(gè)向量a, b不共線，p與向量a, b共面的條件是存在實(shí)數(shù)x, y使p xa yb 05. 空間向量基本定理：如果三個(gè)向量a,b,c不共面，那么對(duì)空間任一向量p， 存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x, y, z，使卜xa yb zc。若三向量a,b,c不共面，我們把a(bǔ),b,C叫做空間的一個(gè)基底，a,b,c叫做基向 量，空間任意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)

3、基底。推論：設(shè)O,A,B,C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)P，都存在唯一的三UUU UUUlULUUT個(gè)有序?qū)崝?shù)x, y,z，使OP xOA yOB zOC。6.空間兩向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量、，在空間任取一點(diǎn)0,作二石,OB = b(兩個(gè)向量的起點(diǎn)一疋要相同)，則叫做向量匕匸與的夾角，記作日，且 0b平移前b0°<90°130°7. 空間向量的直角坐標(biāo)系：(1) 空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)：在空間直角坐標(biāo)系 O xyz中，對(duì)空間任一點(diǎn) A，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組 (x, y,z)，使OA xi yi zk，有序?qū)崝?shù)組(x, y,z)叫作向量A在空間直角坐標(biāo)系

4、 O xyz中的坐標(biāo)，記作A(x, y, z)， x叫橫坐標(biāo)，y叫縱坐標(biāo)，z叫豎坐標(biāo)。(2) 右手直角坐標(biāo)系：右手握住z軸，當(dāng)右手的四指從正向x軸以90°角度轉(zhuǎn) 向正向y軸時(shí)，大拇指的指向就是z軸的正向；(3) 若空間間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直，且長為1，這個(gè)基底叫單位正 交基底，用i, j,k表示。，則a(ai,a2,a3)，b(bnb2b)(aibi,a2b2,a3d)，r(aibi,a2b2,a3d)，1 aaiba2b2 ahb3，aibi,a2b2,a3鳥(a/bqd a2p asd 0o(4)空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律：rb rbr b ra ra r a(ai ,

5、a2, a3)(R)，a2b293bsa b若 A(Xi,yi,zJ , B(X2,y2, Z2)，則一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐 標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)。rr(5) 模長公式：若 a (ai,a2,a3)， b (bbb)，貝U | a | . a a 、a, a22 a32， | b | b bt2 b22 b32(6) 夾角公式：cost b ； b晌址認(rèn)uuuAB (x2xi, y2yi,Z2 zi)。11彳盂*: o|a| |b| Jai2 a22 a32Jbi2 b?2 &2 (7)兩點(diǎn)間的距離公式：若 A(xi,yi,zj， B(X2,y2,

6、Z2)，uuuuaur則|AB| ABX2 Xi)2 (y2 yi)2 (Z2 zj2，或 d A,B區(qū) x)2 (y2 yi)2 (Z2 乙)2空 間線段 P1(x1, y1, zj F2(x2,y2,z2)的中點(diǎn) M (x, y, z)的 坐標(biāo)：Xixyiy2ZtZ22 ， 2 ， 2(9)球面方程：x2 y2 z2 R28. 空間向量的數(shù)量積。(1) 空間向量的夾角及其表示：已知兩非零向量a,b，在空間任取一點(diǎn)o，作OA a,OB b，貝u aob叫做向量a與b的夾角，記作 a,b ；且規(guī)定 0 a,b，顯然有a,b b,a ；若a,b ，則稱a與b互相垂直，2 記作：a b 。uuu

7、rumr(2) 向量的模：設(shè)oa a，則有向線段oa的長度叫做向量a的長度或模， 記作:iai。(3) 向量的數(shù)量積：已知向量a,b，則|a | | b | cos a,b叫做a,b的數(shù)量 積，記作a b，即a b面問cos a,b 。(4) 空間向量數(shù)量積的性質(zhì)： a e | a |cos a,e 。 a b a b 0。|a |2 a = (a)2 , a J(5)2(5) 空間向量數(shù)量積運(yùn)算律：r rr rr r (a) b(a b) a ( b)。 a br b a (交交換律)。 a (b c) a b a c (分配律)。9、空間向量在立體幾何證明中的應(yīng)用：AB 總代）,。（bdb

8、s）uuu uuu（1） 證明AB/CD，即證明AB/CD，也就是證明 印d,a2b2,a3b3或ai a 2 a3D b2 b3uuu uuur（2） 證明AB CD，即證明AB CD 0，也就是證明aibi a?b2 asbs 0uuuuuu（3） 證明AB/ （平面）（或在面內(nèi)），即證明AB垂直于平面的法向量或證明 AB 與平面內(nèi)的基底共面；uuuuuur（4） 證明AB，即證明AB平行于平面的法向量或證明 AB垂直于平面內(nèi)的 兩條相交的直線所對(duì)應(yīng)的向量；（5） 證明兩平面 （或兩面重合），即證明兩平面的法向量平行或一個(gè)面的 法向量垂直于另一個(gè)平面；（6） 證明兩平面，即證明兩平面的法向

9、量垂直或一個(gè)面的法向量在另一 個(gè)面內(nèi)。10. 運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解題的步驟:（1）建坐標(biāo)系，求相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)（2）求相關(guān)向量的坐標(biāo)（3）運(yùn)用向量運(yùn)算解題11. 用向量方法來解決立體幾何中的空間角的問題:（1）兩條直線的夾角：r r設(shè)直線l ,m的方向向量分別為a,b，兩直線l,m所成的角為（0< < y, coscos a,>tn(2)直線與平面的夾角：設(shè)直線I的方向向量分別為a，平面 的法向量分別為u ,直線1與平面所成的角為(。<< 2)，sinrrau1|-r-r-cos a,u)au faaeeoOOS& 二 cosf川丑,C=AB - CD(3)

10、二面角：0AB CDcos6 CCS <> COS = -COS <>法向量的方向：一進(jìn)一出，二面角等于法向量夾角；同進(jìn)同出，二面角等于法向量夾角的補(bǔ)角|n|n ABCD12. 利用“方向向量”與“法向量”來解決距離問題(1)點(diǎn)與直線的距離：d AP sin (先求 cos AP, a )r如圖A ,空間一點(diǎn)P到平面的距離為d,已知平面的一個(gè)法向量為n,且uuu rAP與n不共線,分析：過P作P0丄于0,連結(jié)0A.uuuurn則 d=| P0 |= |PA| cos APO.uuuruuu r P0 丄，n ,二 P0 / n .uuu r cos/ APO=|cos

11、PA,n |.um ruuuuun r | PA n | d=| PA|cos PA, n | =1 % n 1.(3) 異面直線間的距離：已知a,b是異面直線,CD為a,b的公垂線，n是直線CD的方向向量，A B分別在直 線a,b上n ABd CD|n(4) 其它距離冋題： 平行線的距離(轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離) 直線與平面的距離(轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離) 平面與平面的距離(轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離)13. 補(bǔ)充：(1) 三余弦定理設(shè)AC是a內(nèi)的任一條直線，且BC丄AC,垂足為C,又設(shè)A0與AB所成的角 為1 , AB與AC所成的角為2 , A0與 AC所成的角為則cos cos .cos =(2)

12、 三射線定理若夾在平面角為的二面角間的線段與二面角的兩個(gè)半平面所成的角是1 ,2 ,與二面角的棱所成的角是B ,則有.2.2.2.2小.sin sin sin 1 sin 2 2sin 1 sin 2 cos1 12|18°° ( 12)(當(dāng)且僅當(dāng)90°時(shí)等號(hào)成立).(3) 點(diǎn)Q到直線I距離h 八(|a|b|)2(a_b)2uuu|a|(點(diǎn)P在直線丨上，直線丨的方向向量a=PA，向量mub=PQ).、h2 m2 n2 m2mncos .廠:/呻 uuur.h m n 2mncos.EA,AF(4) 異面直線上兩點(diǎn)距離公式dd Jh2 m2 n2 2mncos( e

13、 AA' F )(兩條異面直線a b所成的角為B,其公垂線段AA'的長度為h.在直線a、 b上分別取兩點(diǎn) E、F, A'E m, AF n, EF d).(5) 三個(gè)向量和的平方公式r br a22 r c2r b2r a2rc) r b r ar r r r2b c 2c ar2 r2 r2r r ，r r. r r r r. r r ,r r：a b c 2 |a | |b|cos.a,b.： 2 | b | | c| cos b,c-2 |c | | a | cos c,a(6) 長度為1的線段在三條兩兩互相垂直的直線上的射影長分別為爪l2、13，夾角分別為&qu

14、ot;2、3,則有.2 .2 .2 .2 2 2 2 “ 2 2 2I h I2 I3 cos 1 cos 2 cos 3 1 sin 1 sin 2 sin 32(立體幾何中長方體對(duì)角線長的公式是其特例)(7) 面積射影定理S cos(平面多邊形及其射影的面積分別是S、s',它們所在平面所成銳二面角的為).（8）斜棱柱的直截面已知斜棱柱的側(cè)棱長是I,側(cè)面積和體積分別是S斜棱柱側(cè)和V斜棱柱,它的直截面 的周長和面積分別是C1和S,則 s斜棱柱側(cè) °i1 V斜棱柱sj（9）歐拉定理（歐拉公式）V F E 2（簡單多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、棱數(shù)E和面數(shù)F）. E=各面多邊形邊數(shù)和的一半.特別地，若每個(gè)面的邊