動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的等腰三角形

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 中考問題之-因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的等腰三角形【壓軸題型概述】本專題專門探求圖形在變化過程中，符合等腰三角形的點(diǎn)的存在性問題. 這個(gè)動(dòng)點(diǎn)可以在x軸、y軸上，也可以在正、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)上；可能是一個(gè)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)，也有可能兩個(gè)點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)；所以這類題目的解答要根據(jù)運(yùn)動(dòng)本身的特點(diǎn)，寫出符合這個(gè)特點(diǎn)的點(diǎn)的坐標(biāo)或求出線段的長度. 等腰三角形的題目范圍較廣，題型很多. 數(shù)形結(jié)合，可以直觀地找到解題的捷徑；代數(shù)方法、幾何方法各有千秋，靈活應(yīng)用才能事半功倍.這部分考題在中考試卷中的比例很大，約占30%左右.【策略分級(jí)細(xì)述】1. 怎樣設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)（1）若動(dòng)點(diǎn)在x軸上，因?yàn)闄M坐標(biāo)x在變化

2、，縱坐標(biāo)y沒有變化，始終等于0，所以可設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為（x，0）；若動(dòng)點(diǎn)在y軸上，橫坐標(biāo)x沒有變化，始終等于0，縱坐標(biāo)y在變化，所以可設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為（0，y）.（2）若動(dòng)點(diǎn)在函數(shù)yf(x)上，則橫坐標(biāo)設(shè)為x，縱坐標(biāo)設(shè)為f(x). 例如，點(diǎn)A在反比例函數(shù) y 的圖像上，設(shè)A（x，y），因?yàn)閥 ，所以用 來代替y，這種情況一般就直接設(shè)A（x，）；又如：點(diǎn)B在一次函數(shù) y2 x 上，直接設(shè)B（x，2 x ）.2. 等腰三角形要分類討論如圖1-1，一個(gè)三角形為等腰三角形時(shí)，存在三種情況：AB = AC；AB = BC；BC = AC，所以要分類進(jìn)行討論.圖 1-2圖1-3圖 1-13. 坐標(biāo)系中三角形邊長的

3、表示 如圖1-2，若三角形AOB的三個(gè)頂點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）則AB兩點(diǎn)間的距離公式為：AB = . 用同樣的方法，把其他兩條邊的距離也寫出來，OA = ，OB = . 然后按照?qǐng)D1-1的方法，讓三條邊兩兩相等，解方程即可.我們來具體的解一道反比例函數(shù)圖像上求等腰三角形的題.例1. 如圖1-3，在直角坐標(biāo)系xOy中，反比例函數(shù) y = 圖像上的點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（2，m）、（n，2），點(diǎn)C在x軸上，且ABC為等腰三角形，求點(diǎn)C的坐標(biāo). 分析：1. 反比例函數(shù)y = 圖像上的A、B點(diǎn)，滿足這個(gè)解析式，所以把A、B點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入，求出這兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo).2. 如

4、圖1-4，點(diǎn)C在x軸上，所以設(shè)C（x，0）.3. 為了方便起見，討論前可以利用兩點(diǎn)間的距離公式，分別把AB，BC，CA的長度寫出來.4. 根據(jù)等腰三角形存在三種情況：分別對(duì)AB = AC；AB = BC；BC = AC進(jìn)行討論.解：因?yàn)锳（2，m）、B（n，2）在y上，所以m，2，解得：m4,n4，所以A（2，4）、B（4，2）.因?yàn)辄c(diǎn)C在x軸上，所以設(shè)C（x，0），則AB2，AC，BC. 若ABC為等腰三角形，分三種情況討論： ABAC，即2，整理得x24x120，因?yàn)?，所以方程無實(shí)數(shù)根，這種情況不存在. ABBC，即2，整理得x28x120，解得x 12，x 26，所以C（2，0）（如圖

5、1-4）；C（6，0）（因?yàn)锳、B、C三點(diǎn)在一條直線上，不能構(gòu)成三角形，如圖1-5，所以舍去）. BCAC，即，解得：x0，所以C（0，0）（如圖1-6）.所以這樣的點(diǎn)C有兩個(gè)，C（2，0）或（0，0）.圖1-6圖1-5圖1-4例1有兩個(gè)固定的點(diǎn)在反比例函數(shù)上，動(dòng)點(diǎn)在x軸上，探求符合條件的等腰三角形的點(diǎn)的存在性.接下來我們?cè)賮硖接懻?、反比例函?shù)上的兩個(gè)點(diǎn)和y軸上的點(diǎn)構(gòu)成的等腰三角形的問題.圖 1-7例2. 如圖1-7，點(diǎn)A（m，2）是正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的交點(diǎn)，ABy軸于點(diǎn)B，OB = 2 AB.（1）求正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；（2）求正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的另一個(gè)交點(diǎn)C的坐標(biāo)；（3

6、）在y軸上是否存在一點(diǎn)D，使ACD為等腰三角形，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由.分析： 1.從點(diǎn)A（m，2），ABy軸可得：OB2，因?yàn)镺B2AB，所以AB1，所以A（1，2）把A點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入所設(shè)的正比例函數(shù)和反比例函數(shù)解析式中，即可求得（1）. 2.一般地，求兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，可以把這兩個(gè)函數(shù)聯(lián)立方程組，解這個(gè)方程組得到的x，y就是它們的交點(diǎn)坐標(biāo). 但是此題也可以利用正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的特殊性：它們的交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，得到C點(diǎn)坐標(biāo).3.因?yàn)辄c(diǎn)D在y軸上，設(shè)出D點(diǎn)坐標(biāo)，按照等腰三角形存在的三種情況：AC = AD，AC = CD，AD = CD，進(jìn)行分類討論.解：（1

7、）因?yàn)锳By軸于點(diǎn)B，OB2 AB，點(diǎn)A（m，2）所以O(shè)B2，AB1，所以A（1，2），因?yàn)锳（1，2）在ykx（k 0)上，所以k2，所以y2x. 又因?yàn)锳（1，2）在y（k 0)上，所以k2，所以y. （2）因?yàn)锳（1，2），正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以C（ 1， 2 ）. （3）存在. 因?yàn)辄c(diǎn)D在y軸上，所以設(shè)D（0，y），則AC2，AD，CD若ACD為等腰三角形，分三種情況討論： ACAD，即2，整理得y24y150，解得y2±，所以D（0，2）或（0，2） ACCD，即2，整理得y24y150，解得y2±，所以D（0，2 ）或（0，2）. ADC

8、D，即，解得y0，此時(shí)點(diǎn)D與原點(diǎn)重合，舍去.所以這樣的點(diǎn)D有四個(gè)，D（0，2），（0，2），（0，2 ），（0，2）. 這一道題的方法和例1一樣，但是計(jì)算的難度加大，解一元二次方程用到了公式法. 1.1因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的等腰三角形【階梯題組訓(xùn)練】圖24.已知：如圖，拋物線的解析式為 y = x 2 + 2 x + 2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)P，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1， 1），點(diǎn)B的坐標(biāo)為 （1，m），且，若ABP是等腰三角形，求點(diǎn)B的坐標(biāo)（第4題）5.如圖，已知：拋物線y = x 2 + x + 4與軸交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)A、B，平行于x軸的動(dòng)直線與該拋物線交于點(diǎn)P，與直線AC交于點(diǎn)F，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，0）問：

9、是否存在這樣的直線，使得ODF是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由（第5題） 1.1因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的等腰三角形4動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)的路程如圖1-8，點(diǎn)P由點(diǎn)C向點(diǎn)A移動(dòng)，速度是每秒1cm，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，則路程CP速度×時(shí)間1×tt；點(diǎn)Q由點(diǎn)B向點(diǎn)C移動(dòng)，速度是每秒2cm，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，則路程BQ2×t2 t.圖1-9圖 1-8 動(dòng)點(diǎn)的移動(dòng)，是中考經(jīng)常會(huì)碰到的類型，要熟練的掌握它.例3. 如圖1-9，在直角梯形ABCD中，ADBC，C90°，BC12，AD18，AB10. 動(dòng)點(diǎn)、分別從點(diǎn)、同時(shí)出發(fā)，動(dòng)點(diǎn)沿射線的方向以每秒2個(gè)單位長的速

10、度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)在線段上以每秒1個(gè)單位長的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 （秒）射線與射線相交于點(diǎn)，能否為等腰三角形？如果能，求出的值；如果不能，請(qǐng)說明理由.分析：1. 路程速度×時(shí)間，動(dòng)點(diǎn)P移動(dòng)的路程DP2 t，動(dòng)點(diǎn)Q移動(dòng)的路程BQt2. 直角梯形作高，構(gòu)造矩形和直角三角形，利用矩形的對(duì)邊相等或勾股定理找到等量關(guān)系.3. 動(dòng)點(diǎn)沿射線的方向運(yùn)動(dòng)，所以要分點(diǎn)P在線段DA上，和點(diǎn)P在DA的延長線上兩種情況分別討論4. 當(dāng)點(diǎn)P在線段DA上，AEP是等腰三角形的三種情況要根據(jù)三種不同的情況，靈活的采用不同 的方法求出t的值5. 當(dāng)點(diǎn)P在DA的延長線上時(shí)，可利用等邊對(duì)等

11、角，對(duì)頂角，平行來找到等量關(guān)系求之.解：直角梯形ABCD中，ADBC，C90°，BC12，AD18，AB10，DP2t，BQt動(dòng)點(diǎn)P沿射線DA的方向運(yùn)動(dòng)，所以分兩種情況：（1）點(diǎn)P在線段DA上時(shí)：若BDG為等腰三角形，則分三種情況討論： 如圖1-10，AEAP，因?yàn)镈P2t，AD18，所以AP18 2 t，又因?yàn)锳EAP，所以APEE ，梯形ADBC，APEBQE，所以BQEE，所以BEBQt，AE10t，所以18 2 t10 t，解得t . 如圖1-11，EPAE，作PMBC于M，得CMDP2 t，BC12，BQt，所以MQ123 t，又因?yàn)镻QAB10，PMCD8，所以MQ6，所

12、以123 t6，解得 t2. 如圖1-12，APEP，所以AE，因?yàn)锳DBC，EBQA，所以EBQE，所以EQBQt， 又因?yàn)锳P18 2 t，所以PE18 2 t，PQ18 2 t t18 3 t，MQ123 t，在RtPQM中，(18 3 t) 2(123 t) 282，解得：t .（2）點(diǎn)P在DA的延長線上時(shí)：如圖4，AP2 t 18AE，所以AEPP，因?yàn)锳DBC，BQEP，因?yàn)锳EPBEQ，所以BQEBEQ，所以BQBEt，所以AE10 t，即2 t 1810 t，解得：t 綜上所述，AEP能構(gòu)成等腰三角形，此時(shí)t，2，.圖 1-10圖1-11圖1-12在解等腰三角形的題目時(shí)，一般情

13、況下是分類討論兩條邊相等，但有時(shí)利用等腰三角形的三線合一也可使問題更快地解決. 本題還有一個(gè)難點(diǎn)：點(diǎn)P是在線段上，還是在延長線上，容易疏忽.5. 構(gòu)造相似三角形，利用相似比，探求等腰三角形的存在性.學(xué)了相似三角形以后, 通過作等腰三角形底邊上的高，構(gòu)造一個(gè)與基礎(chǔ)三角形相似的三角形，通過相似比，探求點(diǎn)的存在性.如圖1-13，若要證PRQ為等腰三角形中的PQPR，已知AB5，AH4，BPQR，PQ ，RQx，而PR沒有任何條件求不出來. 我們可以作底邊上的高PG，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)，得到PG平分QR， 所以QG ，從已知不難得到RtQPG與RtABH相似，利用相似比 ，得到 ，解出x.圖

14、 1-13圖1-14例4. 如圖1-14，在ABC中，AB = AC = 5，BC = 6，D、E分別是邊AB、AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（D不與A、B重合），且保持DEBC，以DE為邊，在點(diǎn)A的異側(cè)作正方形DEFG設(shè)AD = x，當(dāng)BDG是等腰三角形時(shí)，請(qǐng)求出AD的長分析：1.由DEBC，利用平行線分線段成比例可以求出DE，因?yàn)檎叫蜠GDE，所以求出了三角形的邊DG .2.如果已知一個(gè)三角形的兩條邊，來求它是等腰三角形需滿足的條件，可以根據(jù)等腰三角形的三線合一來添輔助線，這樣構(gòu)造了一個(gè)直角三角形，想辦法在已知條件中也構(gòu)造一個(gè)直角三角形與之相似，使問題得到解決.3.按照等腰三角形存在的三種情況，進(jìn)行分

15、類討論.解：如圖1-15，作AQBC于Q，因?yàn)镈EBC，所以 ，因?yàn)锳B5，BC6，ADx，BD5 x， ，得DEx. 因?yàn)檎叫蜠EFG，所以DG DEx.若BDG為等腰三角形，分三種情況討論： 如圖1-15，BDDG，即5 xx，解得x ，所以AD 如圖1-16，BDBG，此時(shí)BC正好是DG的垂直平分線，所以DMAQ，即 ， 解得x，所以AD. 如圖1-17，BGDG，作GHAB于H，則DH BD ( 5 x )，因?yàn)镚HDAQB90°，又GDHDGH90°，GDHADE90°，所以DGHADEABC，所以DGH ABQ，所以 ，即 ，解得：x，所以AD .圖

16、1-16綜上所述，當(dāng)BDG是等腰三角形時(shí)，AD ，.圖1-17圖1-15 1.1因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的等腰三角形【階梯題組訓(xùn)練】答案： 4.頂點(diǎn)P（1，3）AB，AP2，PB3 m().ABAP，即2，解得：m 5，所以B（1， 5）；APPB，即23 m，解得：x3 2，所以B（1，3 2）；ABPB，即3 m，解得：x ，所以B（1，）. 5. A（4，0），B（ 2，0），C（0，4），D（2，0），AC的解析式為：y x + 4. 設(shè)F（x， x + 4）如圖1-33，ODDF2，所以F（2，2）.當(dāng)y2時(shí) ， x 2 + x + 42，解得：x2±，所以P（1，2）（1 ，2 ）；如

17、圖1-34，OFDF，由等腰三角形三線合一得：F（1，3），.當(dāng)y3時(shí) ， x 2 + x + 43，解得：x1±，所以P（1，3）（1 ，3 ）. 圖1圖2（第5題） 1.1因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的等腰三角形【階梯題組訓(xùn)練】答案：1.（1）y ；（2）設(shè)B（x，0），則OBx，OA，AB. OAOB，即x，解得：x±，所以B（，0）或（ ，0）；OAAB，即 ，解得：x0（舍去），x 4，所以B（ 4，0）；OBAB，即x，解得：x ，所以B（ ，0）.2. A（2，0），B（0，2），設(shè)P（ x， x + 2），OP，PA，OA2. OPPA，即 ，解得：x1，所以P（1，1）；OPOA，即 2，解得：x0，x2（舍去），所以P（0，2）；PAOB，即2，解得：x 2±，所以P（2， ）（2 ， ）. 3.解：（1）令y0，所以 x + 10，解得x2，所以A（2，0）；令x0，y1，所以B（0，1）.