計(jì)算方法的課后答案

1、計(jì)算方法習(xí)題答案第一章 數(shù)值計(jì)算中的誤差1什么是計(jì)算方法？(狹義解釋)答：計(jì)算方法就是將所求的的數(shù)學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)化為一系列的算術(shù)運(yùn)算和邏輯運(yùn)算，以便在計(jì)算機(jī)上編程上機(jī)，求出問(wèn)題的數(shù)值解，并對(duì)算法的收斂性、穩(wěn)定性和誤差進(jìn)行分析、計(jì)算。2 一個(gè)實(shí)際問(wèn)題利用計(jì)算機(jī)解決所采取的五個(gè)步驟是什么？ 答：一個(gè)實(shí)際問(wèn)題當(dāng)利用計(jì)算機(jī)來(lái)解決時(shí)，應(yīng)采取以下五個(gè)步驟： 實(shí)際問(wèn)題t建立數(shù)學(xué)模型t構(gòu)造數(shù)值算法t編程上機(jī)t獲得近似結(jié)果4利用秦九韶算法計(jì)算多項(xiàng)式P(x) x x3 x5 4在x3處的值，并編程獲得解。5432解：P(x) x 0 x x 0 x x 4，從而10-101-4-3-39-2472-2191-38-24

2、73-223所以，多項(xiàng)式P(x) x x3 x54在x 3處的值P( 3)223。5. 敘述誤差的種類及來(lái)源。答：誤差的種類及來(lái)源有如下四個(gè)方面：(1) 模型誤差：數(shù)學(xué)模型是對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行抽象，忽略一些次要因素簡(jiǎn)化得到的，它是原始問(wèn)題的近似， 即使數(shù)學(xué)模型能求出準(zhǔn)確解， 也與實(shí)際問(wèn)題的真解不同， 我們把數(shù)學(xué) 模型與實(shí)際問(wèn)題之間存在的誤差稱為模型誤差。(2) 觀測(cè)誤差：在建模和具體運(yùn)算過(guò)程中所用的一些原始數(shù)據(jù)往往都是通過(guò)觀測(cè)、 實(shí)驗(yàn)得來(lái)的，由于儀器的精密性，實(shí)驗(yàn)手段的局限性，周圍環(huán)境的變化以及人們的工作態(tài)度 和能力等因素，而使數(shù)據(jù)必然帶有誤差，這種誤差稱為觀測(cè)誤差。(3) 截?cái)嗾`差：理論上的精確

3、值往往要求用無(wú)限次的運(yùn)算才能得到，而實(shí)際運(yùn)算時(shí)只能用有限次運(yùn)算的結(jié)果來(lái)近似，這樣引起的誤差稱為截?cái)嗾`差(或方法誤差)。(4) 舍入誤差：在數(shù)值計(jì)算過(guò)程中還會(huì)用到一些無(wú)窮小數(shù)，而計(jì)算機(jī)受機(jī)器字長(zhǎng)的限制，它所能表示的數(shù)據(jù)只能是一定的有限數(shù)位，需要把數(shù)據(jù)按四舍五入成一定位數(shù)的近似的有理數(shù)來(lái)代替。這樣引起的誤差稱為舍入誤差。e x x為近似值x的絕對(duì)誤差6. 掌握絕對(duì)誤差(限)和相對(duì)誤差(限)的定義公式。(簡(jiǎn)稱誤差)。右存在一個(gè)正數(shù)使ex x，稱這個(gè)數(shù)為近似值x的絕對(duì)誤差限(簡(jiǎn)稱誤差限或精度)。*ex x把絕對(duì)誤差 e與精確值x之比er*稱為近似值x的相對(duì)誤差，稱答：設(shè)x是某個(gè)量的精確值,x是其近似值

4、，則稱差為近似值x的相對(duì)誤差限-來(lái)表示相對(duì)誤差,xer由于真值x是未知的，所以常常用于是相對(duì)誤差可以從絕對(duì)誤差求出。7 近似值的規(guī)格化表示形式如何？答：一般地，對(duì)于一個(gè)精確值x*，其近似值x的規(guī)格化形式為xO.X1X2Xp 10m ,其中Xi O,Xi0,1,2, 9 (i 1,2, p) , p為正整數(shù)，m為整數(shù)。&有效數(shù)字的概念是什么？掌握有效數(shù)字與誤差的關(guān)系。答：若近似值x的(絕對(duì))誤差限是它的某一位的半個(gè)單位，也就是說(shuō)該近似值準(zhǔn)確到 這一位，且從該位起直到前面第一個(gè)非零數(shù)字為止的所有數(shù)字都稱為有效數(shù)字。1若近似值X的(絕對(duì))誤差限為 e x* x ? 10m n，則稱X為具有n

5、位有效數(shù)字的有效數(shù)，或稱它精確到 10 m n位，其中的每一位數(shù)字 x1, x2, xn都是x的有效數(shù)字。*m設(shè)精確值X的近似值X的規(guī)格化形式為xO.x1x2 xp 10 ,若X具有n位有效數(shù)字，則其相對(duì)誤差限為er 101 n ;反之，若x的相對(duì)誤差限為2x1er一101 n，則x至少有n位有效數(shù)字。2(X11)9下列各數(shù)都是對(duì)真值進(jìn)行四舍五入后獲得的近似值，試分別寫出它們的絕對(duì)誤差限，相 對(duì)誤差限和有效數(shù)字的位數(shù)。(1) x10.024 ( 2)x250.4135 (3) x3 57.50 (4) x4 60000(5) x5 8 10 ；解：(1) e(2) I e(3) I e(4)

6、eX1X2X3X4X1X2X3X40.0005 ； er0.005 ； g0.5 ；0.0021;有三位有效數(shù)字。e0.000121；有四位有效數(shù)字。0.00005 ； erxe0.000087;有四位有效數(shù)字。xe0.0000084;有五位有效數(shù)字。x(5)X5 X50.5 ；ex0.000000625;有六位有效數(shù)字。10為了使 19的相對(duì)誤差0.1%，問(wèn)至少應(yīng)取幾位有效數(shù)字?解：由.19的首位數(shù)是 4.設(shè)近似數(shù)x有n位有效數(shù)字，由定理 4.1可知，相對(duì)誤差丄 101n2 4不超過(guò)0.1%。G(x )0.001,解得 n3.097,即取4位有效數(shù)字，近似數(shù)的相對(duì)誤差211.已知 y P(x

7、) xx 1150, x10033，計(jì)算 y*p()及 y P(33),3并求x和y的相對(duì)誤差。解: yp（罟）（罟）2（罟）11505.55555y P(33)(33)2(33) 115028e(x)0.333er(x)e(x)x0.0101e(y)22.44444er(y)e(y)y0.80158712.寫出誤差估計(jì)的一般公式（以二元函數(shù)z f（x, y）為例）。解：二元函數(shù)z f （x, y）的絕對(duì)誤差:e(z)-|(x,y) ye(y)二元函數(shù)的相對(duì)誤差:er(z)凹| 亦l(xiāng)(x,y)L|_eWl(x,y)y zz xzl(x,y) er(x)-zx,y) er(y)13 .I用電表測(cè)

8、得一個(gè)電阻兩端的電壓和流過(guò)的電流范圍分別為V 220 2V , 100.1A，求這個(gè)電阻的阻值解：e(V) 2, e(I)0.1 ,r，并估算其絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差。V 。所以:1214.e(R)-V |(v,i)RV |(V,I) e(V )er(R)響 Re(V)R|(v,i)e(I)R|(V,I) e(I)1.99 102。若 x11.03 0.01, x20.450.01 ,其上界。解：y (1.03)1 0.45e2e(y)*(X1lex；2)(X1(X*X1)(x；X1)15已測(cè)得某場(chǎng)地長(zhǎng)為le(d) d*0.1m，可得:解：由e(s)110s ld，-sl1X22(e110m ,試

9、求面積1102201000.10.42計(jì)算1 eX2的近似值，并估計(jì) e(y)及*(X1X1)( X；X1)X2丄(ex； eX2)2eX2)2.0610e 0.01,(X2,x2)ss-|(l,d) e(l) |a,d)ld0.2 80 0.130V(s)購(gòu)s3.4 10 3。d的值為80m,已知e(l)0.2mId的絕對(duì)誤差限和相對(duì)誤差限。e(l) l le(d)0.2m， e(d)y |(l,d) e(l)0.1me(d)16掌握二元函數(shù)的加、減、乘、除和開(kāi)方運(yùn)算的絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差估計(jì)公式。 解：(1)加、減運(yùn)算：由于 xx y / y 1, x y / x 1,1,e y ,er x

10、er x y| y/ x yx/ xyer X| |er y |y x/ x y er x y/ x y y/ x y er y ,從而有 | er xery ,e x| |x/x(2) 乘法運(yùn)算:由于xy,xyyx，所以 e xy yex xey ,er xyer xer y，從而|exy|y|ex | x|e y |(3) 除法運(yùn)算:乂)x以 e()y1-e(x) yxe(y)，yxer( ) er(x) er(y)y(4) 乘方及開(kāi)方運(yùn)算:nx由于 -xnxn 1，所以 exnnxn 1 e x ,er xnner x17.求方程x56xi 0的兩個(gè)根，使它至少具有 4位有效數(shù)字27.9

11、82 )解:Xi56( 56)2 4 1 128 27.982 55.782X2c10.017863x155.78219.求方程x2 16x 1 0的較小正根，要求有 3位有效數(shù)字。解：x116( 16)24 1 12 18 7.937 15.937X2cX1115.9370.062747所以較小正根為x20.062747。1 420.設(shè) I n0xnexdx, n 0,1,2,104。(1) 證明：ln e nln1 ,n 0,1,2,104;(2) 給出一個(gè)數(shù)值穩(wěn)定的算法，并證明算法的穩(wěn)定性。1111(1) 證明：Inxnexdxxndex e nxn exdx e nIn10001(2)

12、 I n 1(e I n)n設(shè) enI： In，則編i1 n 11 n 1Ioeo當(dāng)n無(wú)限大時(shí)，en越小，所以該算法穩(wěn)定。21 用遞推算法計(jì)算積分Indx, n01 4x0,1,2,10，并驗(yàn)證算法的數(shù)值穩(wěn)定性。解：In14xn1 4xdx丄(41xn1dx01 xn101 4xdX)4n1In 14*111I 14e°*1I 2I 22e04e1 e2e10 I 10 I 10所以該算法是穩(wěn)定的。22.設(shè)計(jì)一個(gè)計(jì)算 f(X)x12 3x2416x36的最小計(jì)算量的算法。122436解：f (x) x 3x 16x244 小 1212x x x x x 3 x x1612x24x23

13、.什么是數(shù)值穩(wěn)定的算法？數(shù)值計(jì)算應(yīng)遵循的六條規(guī)則是什么？答：一個(gè)算法如果原始數(shù)據(jù)有誤差(擾動(dòng))，而計(jì)算過(guò)程中舍入誤差不增長(zhǎng)或增長(zhǎng)可以控制，則稱此算法是數(shù)值穩(wěn)定的。否則，稱此算法是數(shù)值不穩(wěn)定的。數(shù)值計(jì)算應(yīng)遵循的六條規(guī)則是：(1) 選用數(shù)值穩(wěn)定的算法(計(jì)算公式)；(2) 盡量避免兩個(gè)相近數(shù)相減；(3) 盡量避免用絕對(duì)值很大的數(shù)作乘數(shù)；(4) 盡量避免用絕對(duì)值很小的數(shù)作除數(shù)；(5) 防止大數(shù)“吃掉”(或“淹沒(méi)”)小數(shù)(即合理安排運(yùn)算順序)；(6) 簡(jiǎn)化計(jì)算步驟，減少運(yùn)算次數(shù)。第二章非線性方程的數(shù)值解法1敘述零點(diǎn)定理的內(nèi)容。答：設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)且f(a) f(b) 0，則存在x*(a

14、,b)使f(x*) 0,即f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)存在實(shí)的零點(diǎn)，稱區(qū)間a,b為方程的有根區(qū)間。2方程求根的兩個(gè)步驟是什么？確定方程有根區(qū)間的方法有哪些？答：第一步 確定方程f (x)0的有根區(qū)間。第二步 近似根的精確化。確定方程有根區(qū)間的方法有兩種：作圖法和逐步搜索法。3利用作圖法確定方程f(x) x3 x 1 0的有根區(qū)間。由于f (0)10, f(2) 8 2 150,于是，在區(qū)間(0,2)內(nèi)至少有一個(gè)根，取步長(zhǎng)h 0.5向右進(jìn)行根的搜索，即 計(jì) 算f (0.5), f(1.0), f (1.5)的值 得 到f(0.5) 0, f(1.0)0, f (1.5)0 ,從而，原方程的有根區(qū)間

15、縮小為(1,1.5)4利用逐步搜索法確定方程f(x) x3 3x2 4x 3 0的有根區(qū)間。解：由于f(0) 3 0, f ( 1)5 0,于是，方程在(1,0)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根，所以,1從x1，取步長(zhǎng)h 0.5向右進(jìn)行根的搜索，即計(jì)算 f( 0.5)得到f( 0.5)0，從1而，原方程的有根區(qū)間縮小為(1,)。2325確定方程x 4x 100的有根區(qū)間。32解：由于函數(shù) f(x) x 4x10的定義域?yàn)椋弥鸩剿阉鞣ǎ河捎趂(0)10 0, f (2)14 0,于是，方程在(0,2)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根，所以，從x0,取步長(zhǎng)h 0.5向右進(jìn)行根的搜索，即計(jì)算f (0.5), f (1.0), f

16、 (1.5)的值得到f(0.5) 0, f(1) 0, f (1.5)0，從而原方程的有根區(qū)間縮小為(1,1.5)6.二分發(fā)的基本思想是什么？解：二分發(fā)的基本思想是將方程f(x)0的有根區(qū)間逐步分半，通過(guò)判別f (x)在端點(diǎn)的符號(hào)以及零點(diǎn)定理來(lái)縮小有根區(qū)間，使在足夠小的區(qū)間內(nèi)使方程f (x) 0有且僅有一個(gè)根，并滿足給定的精度要求為止。7.以方程f (x) 0的有根區(qū)間為 a, b為例(f (a) 0, f (b) 0),簡(jiǎn)述二分法的具體作法。a b解：第一步：將有根區(qū)間a,b分半，用區(qū)間 a,b的中點(diǎn) 一 將a,b分為兩個(gè)相等區(qū)間，計(jì)算中點(diǎn)的函數(shù)值f(a -)。若f (- b) 0,則x*

17、- b就是方程f(x) 0的2 2 2a ba b根；否則，若f( )0，由于f (x)在左半?yún)^(qū)間 a,內(nèi)不變號(hào)，所以方程的有根2 2a ba ba b區(qū)間變?yōu)椋琤。同理，若f( ) 0，則方程的有根區(qū)間變?yōu)閍,，從而將2 2 2新的有根區(qū)間記為，且區(qū)間 印，6 的長(zhǎng)度僅為區(qū)間 a,b的一半，即d第二步：對(duì)壓縮了的有根區(qū)間a1,b1又可施行同樣的方法，即用中點(diǎn)勺 色將區(qū)2間a1,0再分為兩半，然后通過(guò)根的搜索判定所求的根位于哪半個(gè)區(qū)間，從而又確定一個(gè) 新的有根區(qū)間 a2,b2 ,該區(qū)間的長(zhǎng)度是區(qū)間a1,b1的一半。如此反復(fù)可得出一系列有根區(qū)間且具有關(guān)系a, ba1 ,b1abk,b a其中后一

18、個(gè)區(qū)間長(zhǎng)是前一個(gè)區(qū)間長(zhǎng)的一半，因此區(qū)間ak,bk的長(zhǎng)度bk ak，當(dāng)x，顯然x就是方時(shí)，區(qū)間ak,bk的長(zhǎng)度必趨于零，即這些區(qū)間最終收縮于一點(diǎn)，試寫出利用二分法求該方程的近程f(x) 0的根。&以方程f(x) 0的有根區(qū)間為 a,b，精度要求為似根所需二分次數(shù) k的計(jì)算公式。解：若事先給定的精度要求為0 ,則只需xXk，即kIn 2k (編程)此時(shí)Xk就是滿足給定精度要求的近似值，k為二分法的次數(shù)。(1)f(x)Xxe20.5,1JD 0.0001解:Xk0.852600k12(2)f(x)3 X3x2 4x 31,1.5JD 0.00001解:Xk1.499992k15(3)f(x)

19、3 X4x2101,2JD 0.0005解:Xk1.364746k10(4)f(x)3 Xx 11,1.5JD 0.00005解:Xk1.324707k139 .用二分法求下列方程在給定的有限區(qū)間及精度要求下的近似值及二分次數(shù)x110. 若應(yīng)用二分法求方程e % sin 0在區(qū)間0,1上誤差不超過(guò)的近似值，應(yīng)二分225多少次？解：其近似根為0.437500，應(yīng)分k 5次。11. 迭代法的基本思想是什么?解：迭代法是一種逐次逼近法，首先給定方程f(x) 0的一個(gè)粗糙的初始近似根 X。,然后用一個(gè)固定公式反復(fù)校正這個(gè)根的近似值使之逐步精確化，直到滿足預(yù)先給定的精度要求為止。12. 迭代法的具體做法

20、如何？解：(1)將方程f (x) 0改寫成等價(jià)形式 x(x),在根x*的附近任取一個(gè)初始近似根構(gòu)造近似根序列：將 X°代入(x)計(jì)算得到人(X°)，般捲 X°，再把X1作為新的近似根代入(X)得到x2(x1)，重復(fù)上述步驟即可。13迭代法的幾何意義是什么？答：方程x x的求根問(wèn)題在幾何上就是確定曲線y x與直線y x交點(diǎn)p*的橫坐標(biāo)x。設(shè)迭代初值為x0，曲線y x上以x0為橫坐標(biāo)的點(diǎn)為 p0，x0為p0點(diǎn)的縱坐標(biāo)，過(guò)po點(diǎn)引平行于x軸的直線，并與直線y x相交于P° ,其橫坐標(biāo)為 捲X。，然后過(guò)點(diǎn)Po引平行線于y軸的直線，并與曲線y x的交點(diǎn)記作 5，重

21、復(fù)上述過(guò)程可得 點(diǎn)列Pi，p2， , pk,他們橫坐標(biāo)依次由迭代公式 xk 1xk ， k 0,1 所確定。如果點(diǎn)列Pi，P2， ，Pk，,逐步逼近p*，則迭代過(guò)程收斂，否則迭代過(guò)程發(fā)散。14.敘述迭代過(guò)程收斂定理的內(nèi)容。解：假設(shè)迭代函數(shù)滿足下列兩個(gè)條件(1)對(duì)任意的x a, b有a (x)(2)存在正數(shù)L 1，使對(duì)任意xa,b有(x) L 1。則(1)對(duì)任意初值xoa,b迭代過(guò)程Xk 1(xk)均收斂于方程X (x)的根X ,即 lim xkx (k )。(2)誤差事后估計(jì)公式為XXk17|XkXk。15.試構(gòu)造收斂的迭代公式求解下列方程: ,、 cosx sinx(1) x42XJ o解：

22、(1)將方程xcosx sin x4改寫為2 si n(x )，從而得到迭代公式4Xk 1、.2sin(Xk)k0,1,2，。(2)將方程x 42X改寫為ln(4 x),從而得到迭代公式Xk 1 ln(4 Xk) k 0,1,2,16判斷迭代法解方程 f(x) x ln(x 2) 0在0,2內(nèi)的根時(shí)所用的迭代過(guò)程的收斂性。解：將方程x In(x 2)0改寫為x ln(x 2),從而得到迭代公式(x)xk 1In(xk2), k 0,1,2,。則(x) In(x 2)為迭代函數(shù)。由由定理3.2可得該迭代法是收斂的。17用迭代法計(jì)算s 6 6 #6 丁6的近似值。19牛頓法的基本思想是什么？具體做

23、法如何？ 解：基本思想：牛頓迭代法實(shí)質(zhì)上是一種線性化的方法，其基本思想是將非線性方程f(x) 0逐步歸結(jié)為某種線性方程來(lái)求解的方法。具體做法：設(shè)已知方程f (x) 0有近似根xk，將f (x)在xk作一階泰勒展開(kāi)，于是方程 f(x) 0可近似地表示為f(xk) f (xk)(x xk) 0是一個(gè)線性方程，設(shè) f (xk) 0 , 小f (xk)f (xk)則X Xkk ，于是就有牛頓迭代公式 Xk 1 Xkk ,k 0,1,2,。f (xk)f (xk)20.牛頓法的幾何意義是什么？解：牛頓迭代法實(shí)質(zhì)上是用過(guò)點(diǎn)(Xk , f ( Xk )的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)Xk 1來(lái)逐步逼近曲線y f (

24、x)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)X*所以牛頓法又叫切線法。22.試證：用牛頓法求方程(x 2)2(X 3) 0在1,3內(nèi)的根x2是線性收斂的。由牛頓迭代公式Xk1Xk眾，k 0,1,2,(X) Xf(x)f (X)2x2 3x 63x 4，顯然,(2)0 ,所以該迭代過(guò)程是線性收斂的。23.用牛頓法求方程 x3 a0 ,導(dǎo)出求立方根3 a的迭代公式，并討論其收斂性。x3 a解：設(shè)f (x) x3 a 0 ,得牛頓迭代公式為xk 1xkk 2, k 0,1,，牛頓3x：迭代函數(shù) (x)2x3 a3x2(x)2x3 2a3x3(Va) 01,所以該迭代公式收斂。26.正割迭代法的基本思想是什么？具體做法如何

25、？幾何意義是什么？解：基本思想：用過(guò)兩點(diǎn)(Xk, f (Xk)， (Xk 1, f(Xk i)的直線的斜率這個(gè)差商來(lái)代替牛堆迭代公式中的倒數(shù) f (xk)。具體做法：對(duì)方程f(x)0經(jīng)過(guò)k次迭代后得到近似根Xk i，Xk，從而取f (Xk)(f (Xk) f (Xk 1)(XkXk 1)于 是 牛 頓 迭代 公 式 變 為Xk 1Xkf (Xk)f(Xk)f(Xk 1)(XkXk 1)，此公式為正割法迭代公式。幾何意義：正割迭代法是用過(guò)兩點(diǎn)A(Xk, f (Xk)， B(Xk 1, f (Xk 1)的直線與X軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)Xk 1來(lái)逐步逼近曲線 f (X)與X軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)X*，因此正割迭代法

26、又叫割線法。27.簡(jiǎn)述正割迭代法與牛頓迭代法的區(qū)別。解：牛頓迭代法在計(jì)算時(shí)只需要一個(gè)初值X0，在計(jì)算Xk 1只用到前一步的值 Xk，但要計(jì)算f (Xk)；而正割法在計(jì)算時(shí)需要兩個(gè)初值Xo , X1，在計(jì)算Xk 1時(shí)要用到前兩次的迭代值Xk 1 , Xk，但不用計(jì)算導(dǎo)數(shù)。30.使迭代法加速的方法有哪些？并分別寫出它們的迭代公式。 答：使迭代法加速的方法有艾特肯加速公式和斯蒂芬森方法: 艾特肯加速公式： 校正:再校正：210,1,2,2改進(jìn)：122 12 1 2斯蒂芬森方法：迭代：70,1,2,0,1,2,加速:第三章線性方程組的數(shù)值解法1線性方程組的數(shù)值解法有哪兩大類？并簡(jiǎn)述他們的概念。答：線性

27、方程組的數(shù)值解法有兩大類：（1）直接法：直接法就是在沒(méi)有舍入誤差的情況下，經(jīng)過(guò)有限步算術(shù)運(yùn)算可求得 方程組精確解的算法。（2） 迭代法：迭代法就是用某種極限過(guò)程去逐步逼近線性方程組精確解的方法，即 先給定一個(gè)初始解向量，然后按新的迭代公式逐步求出解的更準(zhǔn)確值的方法。2.咼斯消去法的基本思想是什么？答：高斯消去法的基本思想是用逐次消去未知量的方法把原來(lái)方程組AX b化為與其同解的三角形方程組，而求解三角形方程組就容易了。3高斯主元素消去法是在何種情況下提出來(lái)的？答：用高斯消去法解線性方程組 AX b的消元過(guò)程中，可能會(huì)出現(xiàn)以下兩種情況：第一是主元素全是0的情形，致使消元過(guò)程無(wú)法進(jìn)行下去；第二即使

28、主元素不為0，但其絕對(duì)值很小時(shí)作除數(shù)可能會(huì)導(dǎo)致其他元素?cái)?shù)量級(jí)的嚴(yán)重增長(zhǎng)和舍入誤差的傳播，使計(jì)算結(jié)果不可靠。所以對(duì)于一般矩陣來(lái)說(shuō)，最好每一步選取系數(shù)矩陣中絕對(duì)值大的元素作為主元素。4用高斯順序消去法，完全主元素消去法和列主元素消去法解下列方程組，并寫出高斯順 序消去法的程序。2x1X22X353x1X2 4X37(1)5x1X2X38;(2)X12x2 2x31。X13x24X342x13x2 2x30解:（1 ）將方程組的增廣矩陣進(jìn)行初等變化，并利用高斯順序消去法得：2 125212521 25X115 -1180-7-8-907 89X211 -3-4-40-7-10-1300 24X32利

29、用完全主兀素消去法得:2 1255-1185-11851 -15 -118212507890871 -3-4-41 -3-4-4023403251-18X110879X32 ;005-5X21利用列主兀素消去法得：21 255-1185-1185 -1185 -1 182125078907891 -3 -4-41-3 -4-4023400510XiX35.用矩陣的三角分解法解下列方程組，并掌握三角分解法的編程思路。3x-i14-2 48X1512(1)-4 18 -16X28 ;(2) 252x218 。-6 2 -20X37315X320解：(1)對(duì)系數(shù)矩陣A作如下的三角分解:-24810

30、0U11U12U13-4 18 -16121 1 00U 22u 23。-6 2 -201311 32 100U 33根據(jù)矩陣的乘法可得：1 u12U112 ,1 U124U124 ,1 U138U138 ;1 21 U11 4 l212 ,121 U121 U2218U2210,121 U131 u2316U2332;1 31u1161 313 ,131 U121 32 U222 11 321 ,1 31U13132 U231 U3320u3376。3-1473 -147-12-2-10 5-242-3-200 122利用完全主元素消去法得：3-1474-1 37-12-2-1-22 -1-

31、12-3-20-2-3 2014-137X320315X21 ；0048X12(2)將方程組的增廣矩陣進(jìn)行初等變化，并利用高斯順序消去法得:利用列主元素消去法得:3-14 7x,0 5 -2 4x20 0 2 1X321 ；124-1374-137031503150-1110-1113-147-1 2 -2 -12 -3 -203-14705-240 12 23-1470 5-240 0 21x12X21。X31 0 0248X1510 0y152 1 0010-32X28。解方程組Lyb，即21 0y28，得3 -1 100-76X373-1 1y371 2310 0U11U12U132 5

32、2121 1 00u22 U23o3 151311 32 100U33根據(jù)矩陣的乘法可得:1 u11 1U111,1 U122U122 ,1 U133U133 ;1 21u11 21212,121 U12 1U 225U221 ,l21U131U232U234 ;1 31U1131313 ,1 31U12132:U2211325 ,1 31U13132 U231 U335U3324 o1 001 23于是有A2 100 1-4LU ,則原方程組可表示為3 -510 0-2410 01 23X114100y11421 00 1-4X218o解方程組Lyb，即210y218，得3-5 10 0-2

33、4 X3203-51y32014123x1141y10o解方程組Ux y，即01-4 x210，得X2o7200 -24 X3723(2)對(duì)系數(shù)矩陣A作如下的三角分解:10024于是有A2100103-11008-32 LU，則原方程組可表示為-7652y2 。解方程組Uxy，即010029148x5190C A10-32X22 ，得x21o950-76X31053812, 21,33從而Ly-1 3 020 -1 43y1y2y30，解得02131。Uxy41-2 1 o oo o 3-4 1 o 2-3 1 o12 3 4 X X X X1-3 1-4 1 -，解得x53522 -100x

34、-12-100x-（1）-12-10X20 ；（2）-13 -10X20 -12-1X300-24-3X300-12X4000-35X4解:（1 )由ALU 得:2-10010001100-12-10220001200-12-10330001。300-12004400016 用追趕法解下列方程組。1i1, 21 2 2于是有12, 1132 2,23, 334, 4 3(2)由 A LU 得:2-10 -1 3 -10 -24 -300-35于是有12, 1111,從而Ly12100251O35W2000-1000-2165000-335y2y1為5 3-8UX1516X1X2X3X434解得

35、35142亦74359734357.設(shè)X1, X2,XnRn掌握常用向量范數(shù)的定義式岡1肘，X2，Xp。解：|xX1X2XnXimax ximax X1 , X2,Xn;（又叫最大范數(shù)）2X12X22Xn1Xi2)?;1XiP)P。8.已知x1,1,3,0 T計(jì)算x1, X解：xX1X2xnXimax ximax,XnnX；(丄x2)211 ;nIiIIXp (XiP)P (2 3P)P。i 19設(shè)Aj)nn Rn n，掌握常用矩陣范數(shù)的定義式IA. A ,A2,Af。n解：|Ah max aij ；i 1|x|nmaxaij ；j 1IA2)max(ATA)；|a|fn寫出用Jacobi迭代

36、法解此方程組迭代公式的分量形式和矩陣形式。(aj)Jacobi迭代法是否收斂？為什么？。i,j 110.已知2 -1A 30，計(jì)算 AA| W'IAIf。n解：|aL maxaij 5 ；i 1nIX max aij 3 ；j iA2 max（ATA） 72 10 ；n 1Af （ ai2）2、14。i,j 112.解線性方程組的迭代法有哪三種方法？答：（1）雅可比迭代法（Jacobi）（2）咼斯-賽德?tīng)柕ǎ℅-S）（3）超松弛迭代法（SOR）5x12X2X31213設(shè)有方程組X14X22x3202x13x210X33Xi0.4x20.2x32.4X1(k1)O.4x2k)O.2x

37、3k)2.4x2k1)O.25x1k)O.5x3k)5 ，其矩陣形式為：X(k 1)x3k1)0.2x1 k)O.3x2k)0.3解：該方程組可化為:X2X30.2xi 0.3x2 0.3D 1(U L)X(k) D 1b ,，從而得到Jacobi迭代法的公式:0.25x10.5x355OO其中：DO4O , UOO10O21OOO12OO2 , L-1OO , b20OOO2-3O3(2)用Jacobi迭代法解此方程組是收斂的。因?yàn)橄禂?shù)矩陣521A -142 是嚴(yán)格對(duì)角占2-310優(yōu)陣，所以Jacobi迭代法收斂。20x1 2x2 3x32414設(shè)有方程組Xi 8X2 X3 122x1 3x

38、215x330(1) 寫出用G-S迭代法解此方程組迭代公式的分量形式。(2) G-S迭代法是否收斂？為什么？解：該方程組可化為:XiO. 1x20.15x31.2X20.125x10.125x31.5，從而得到G-S迭代法的公式X30.133x10.2x22k)1.2K K-1 (2 (3XXXdi21),(k 1)O.125x3k) 1.5,O.2x2k 1)2(2)用G-S迭代法解此方程組是收斂的。因?yàn)橄禂?shù)矩陣 A2023181是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)2-315陣，所以G-S迭代法收斂。X1 8X2 0x3715.設(shè)有方程組X1 O X2 9x3 89X1 X2 X37怎樣改變方程的順序使 Jaco

39、bi迭代法和G-S迭代法均收斂。9x1 x2 x379-1-1解：將方程組變化成x1 8x2 0 x3 7 ，此時(shí)系數(shù)矩陣A-1 80為嚴(yán)X10 X2 9x38-1 09格對(duì)角占優(yōu)矩陣，所以Jacobi迭代法和G-S迭代法均收斂。(k)x1 /1(b1a12x2k °)16.設(shè)方程組11 112 2b，(a11 a220)，迭代公式為a11aXa 22 X2b?(k)1(k 1).X2(b2a21 X1)a 22(k 1,2,)。求證：由上述迭代公式產(chǎn)生的向量序列x(k)收斂的充要條件是空1。011322證明：由題設(shè)知:3ii3i2A3213223h0000a120，所以0a 22a

40、2100a1010a2迭代矩陣B0 a?2a2100a12a111a12a21嚴(yán)-rB.，所以由迭a210,a11a22a22x(k)收斂的充要條件代法收斂的充要條件(B)1，可得，上述迭代公式產(chǎn)生的向量序列3213121。31132218.簡(jiǎn)述迭代法的基本定理的內(nèi)容。答：設(shè)有方程組X BX f，對(duì)于任意初始解向量X(0)及任意f，迭代公式X (k 1) BX (k) f收斂的充要條件是 (B)1。19設(shè)A為非奇異矩陣，則A的條件數(shù)的計(jì)算公式如何？掌握常用條件數(shù)的計(jì)算公式。解：Cond(A) | A IA 11220 .已知A -10-1 03-1 ，求 AP , Cond(A)p (P 1,

41、2,)和-1 2(A)的值lim Cond (An)解：Ai 5 ；由(A AT)1,4,16。所以 A24 ；因?yàn)椋篈511848111 r-，所以424115848(A)15, Co nd(A)216,Cond (A)5。(A)1,2,4(A)4。1 121.設(shè)代1 ( n 為正整數(shù))，計(jì)算 An1, Co nd (An) , lim Co nd (An) (n )。1 1 -n解:An1，Cond(An)4n , lim Cond(Aj(n )。22 分析方程組1.0001.001 X11.0001.000 X22.0012.000的性態(tài)，并求其精確解；當(dāng)右端項(xiàng)擾動(dòng)為(2.000,2.0

42、00)t時(shí)，求其精確解，并計(jì)算解的相對(duì)誤差。解：由Cond(A)20001,所以該方程組為病態(tài)方程組。其精確解為(1,1)T ；當(dāng)右端項(xiàng)擾動(dòng)為(2.000,2.000)t時(shí)，其精確解為(2,0)t，解的相對(duì) 誤差為er(X)A lA1 er(b) 2000er (b)。第四章 插值法1簡(jiǎn)述插值法方法的概念。答：設(shè)函數(shù)y f (x)在區(qū)間a,b上有定義，且已知在點(diǎn)a x0Xixn b上的函數(shù)值y°,yi,yn，如存在一個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)P(x)使P(Xi)yi (i 0,1, ,n)成立，則稱足的條件p(xj yiP(x)為f(x)的插值函數(shù)，點(diǎn) X。，Xi, , Xn稱為插值節(jié)點(diǎn)，區(qū)間a,b稱為插值區(qū)間，滿(i 0,1,n)稱為插值條件，求插值函數(shù)P(x)的方法稱為插值方法。(簡(jiǎn)稱插值法)。解：設(shè)P(x)a0 a1xa2x，則根據(jù)條件得:P(1) 2,P(2)4,P(3)i2,P(2)解：設(shè)P(x)a0 aixa2x2a33X，則根據(jù)條件得：a° aia?a32ao6ao