小學(xué)五年級奧數(shù)講義(學(xué)生版)30講全

1、- 37 -五年級奧數(shù)第1講數(shù)字迷（一） 第16講 巧算24第2講 數(shù)字謎(二) 第17講 位置原則第3講 定義新運算(一) 第18講 最大最小第4講 定義新運算(二) 第19講 圖形的分割與拼接第5講 數(shù)的整除性(一) 第20講 多邊形的面積第6講 數(shù)的整除性(二) 第21講 用等量代換求面積第7講 奇偶性（一） 第22 用割補法求面積第8講 奇偶性（二） 第23講 列方程解應(yīng)用題第9講 奇偶性（三） 第24講 行程問題（一） 第10講 質(zhì)數(shù)與合數(shù) 第25講 行程問題（二）第11講 分解質(zhì)因數(shù) 第26講 行程問題（三）第12講 最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)（一） 第27講 邏輯問題（一） 第13講

2、最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)（二） 第28講 邏輯問題（二） 第14講 余數(shù)問題 第29講 抽屜原理(一) 第15講 孫子問題與逐步約束法 第30講 抽屜原理(二)   第1講 數(shù)字謎（一）例1 把+，-，×，÷四個運算符號，分別填入下面等式的內(nèi)，使等式成立（每個運算符號只準使用一次）：（5137）（179）=12。例2 將19這九個數(shù)字分別填入下式中的中，使等式成立：×=×=5568。例3 在443后面添上一個三位數(shù)，使得到的六位數(shù)能被573整除。例4 已知六位數(shù)3344是89的倍數(shù)，求這個六位數(shù)。例5 在左下方的加法豎式中，不同的字母代表不同的數(shù)

3、字，相同的字母代表相同的數(shù)字，請你用適當(dāng)?shù)臄?shù)字代替字母，使加法豎式成立。 FORTY TEN+ TEN SIXTY例6 在左下方的減法算式中，每個字母代表一個數(shù)字，不同的字母代表不同的數(shù)字。請你填上適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使豎式成立。 練習(xí)11.在一個四位數(shù)的末尾添零后，把所得的數(shù)減去原有的四位數(shù)，差是621819，求原來的四位數(shù)。2.在下列豎式中，不同的字母代表不同的數(shù)字，相同的字母代表相同的數(shù)字。請你用適當(dāng)?shù)臄?shù)字代替字母，使豎式成立： （1） A B (2) A B A B + B C A - A C A A B C B A A C3.在下面的算式中填上括號，使得計算結(jié)果最大：1÷

4、2÷3÷4÷5÷6÷7÷8÷9。4.在下面的算式中填上若干個（ ），使得等式成立：1÷2÷3÷4÷5÷6÷7÷8÷9=2.8。5.將19分別填入下式的中，使等式成立：×=×=3634。6.六位數(shù)391是789的倍數(shù)，求這個六位數(shù)。7.已知六位數(shù)7888是83的倍數(shù)，求這個六位數(shù)。第2講 數(shù)字謎（二）    這一講主要講數(shù)字謎的代數(shù)解法及小數(shù)的除法豎式問題。例1 在下面的算式中，不同的字母代表不同的

5、數(shù)字，相同的字母代表相例2 在內(nèi)填入適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使左下方的乘法豎式成立。 × 8 1 例3 左下方的除法豎式中只有一個8，請在內(nèi)填入適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使除法豎式成立。 8 ) 0例4 在內(nèi)填入適當(dāng)數(shù)字，使小數(shù)除法豎式成立。 例4圖 例5圖例5 一個五位數(shù)被一個一位數(shù)除得到右上圖豎式（1），這個五位數(shù)被另一個一位數(shù)除得到右上圖的豎式（2），求這個五位數(shù)。 練習(xí)21.下面各算式中，相同的字母代表相同的數(shù)字，不同的字母代表不同的數(shù)字，求出abcd及abcxyz (1)1abcd×3=abcd5 (2)7×abcxyz=6×xyzabc2.用代數(shù)方法求解下列

6、豎式： 3.在內(nèi)填入適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使下列小數(shù)除法豎式成立： 8 7 . ) .) .) . 8 0 0 0 第3講 定義新運算（一）例1 對于任意數(shù)a，b，定義運算“*”：a*b=a×b-a-b。求12*4的值。例2 已知ab表示a的3倍減去b的，例如根據(jù)以上的規(guī)定，求106的值 3，x>=2，求x的值。例6 對于任意自然數(shù)，定義：n！=1×2× ×n。 例如 4！=1×2×3×4。那么1！+2！+3！+100！的個位數(shù)字是幾？例7 如果m，n表示兩個數(shù)，那么規(guī)定：m¤n=4n-（m+n）÷2。 求3

7、¤（4¤6）¤12的值。練習(xí)31.對于任意的兩個數(shù)a和b，規(guī)定a*b=3×a-b÷3。求8*9的值。2.已知ab表示a除以3的余數(shù)再乘以b，求134的值。3.已知ab表示（a-b）÷（a+b），試計算：（53）（106）。4.規(guī)定ab表示a與b的積與a除以b所得的商的和，求82的值。5.假定mn表示m的3倍減去n的2倍，即mn=3m-2n。（2）已知x（41）=7，求x的值。7.對于任意的兩個數(shù)P， Q，規(guī)定 PQ=（P×Q）÷4。例如：28=（2×8）÷4。已知x（85）=10，求x的值。8.

8、定義： ab=ab-3b，ab=4a-b/a。計算：（43）（2b）。9.已知： 23=2×3×4，45=4×5×6×7×8，求（44）÷（33）的值。第4講 定義新運算（二）例1 已知ab=（a+b）-（a-b），求92的值。例2 定義運算：ab=3a+5ab+kb，其中a，b為任意兩個數(shù)，k為常數(shù)。比如：27=3×2+5×2×7+7k。（1）已知52=73。問：85與58的值相等嗎？（2）當(dāng)k取什么值時，對于任何不同的數(shù)a，b，都有ab=ba，即新運算“”符合交換律？例3 對兩個自然數(shù)a和b

9、，它們的最小公倍數(shù)與最大公約數(shù)的差，定義為ab，即ab=a，b-（a，b）。比如，10和14的最小公倍數(shù)是70，最大公約數(shù)是2，那么1014=70-2=68。（1）求1221的值；（2）已知6x=27，求x的值。例4 a表示順時針旋轉(zhuǎn)90°，b表示順時針旋轉(zhuǎn)180°，c表示逆時針旋轉(zhuǎn)90°，d表示不轉(zhuǎn)。定義運算“”表示“接著做”。求：ab；bc；ca。例5 對任意的數(shù)a，b，定義：f（a）=2a+1， g（b）=b×b。（1）求f（5）-g（3）的值；（2）求f（g（2）+g（f（2）的值；（3）已知f（x+1）=21，求x的值。練習(xí)4 2.定義兩種運算

10、“”和“”如下：ab表示a，b兩數(shù)中較小的數(shù)的3倍，ab表示a，b兩數(shù)中較大的數(shù)的2.5倍。比如：45=4×3=12，45=5×2.5=12.5。計算：(0.60.5)+(0.30.8)÷(1.20.7)-(0.640.2)。4.設(shè)m，n是任意的自然數(shù)，A是常數(shù)，定義運算mn=（A×m-n）÷4，并且23=0.75。試確定常數(shù)A，并計算：（57）×（22）÷（32）。5.用a，b，c表示一個等邊三角形圍繞它的中心在同一平面內(nèi)所作的旋轉(zhuǎn)運動：a表示順時針旋轉(zhuǎn)240°，b表示順時針旋轉(zhuǎn)120°，c表示不旋轉(zhuǎn)。

11、運算“”表示“接著做”。試以a，b，c為運算對象做運算表。6.對任意兩個不同的自然數(shù)a和b，較大的數(shù)除以較小的數(shù)，余數(shù)記為ab。比如73=1，529=4，420=0。（1）計算：19982000，（519）19，5（195）； （2）已知11x=4，x小于20，求x的值。7.對于任意的自然數(shù)a，b，定義：f（a）=a×a-1，g（b）=b÷2+1。（1）求f（g（6）-g（f（3）的值；（2）已知f（g（x）=8，求x的值。第5講 數(shù)的整除性（一）1. 整除的定義、性質(zhì).定義：如果a、b、c是整數(shù)并且 ，則稱a能被b整除或者b能整除a，記做，否則稱為a不能被b整除或者b不能

12、整除a，記做b| a.2、性質(zhì)（1）如果甲數(shù)能被乙數(shù)整除，乙數(shù)能被丙數(shù)整除，那么甲數(shù)能被丙數(shù)整除。 （2）如果兩個數(shù)都能被一個自然數(shù)整除，那么這兩個數(shù)的和與差都能被這個自然數(shù)整除。 （3）如果一個數(shù)能分別被幾個兩兩互質(zhì)的自然數(shù)整除，那么這個數(shù)能被這幾個兩兩互質(zhì)的自然數(shù)的乘積整除。（4）如果一個質(zhì)數(shù)能整除兩個自然數(shù)的乘積，那么這個質(zhì)數(shù)至少能整除這兩個自然數(shù)中的一個。 （5）幾個數(shù)相乘，如果其中一個因數(shù)能被某數(shù)整除，那么乘積也能被這個數(shù)整除。 整除的數(shù)的特征1、 被2整除特征：個位上是0,2,4,6,8 2、 被5整除特征：個位上是5,03、 能被3或9整除的數(shù)的特征是：各個數(shù)位的數(shù)字之和是3或9

13、的倍數(shù)4、被4、25整除的數(shù)的特征：一個數(shù)的末2位能被4、25整除5、被8、125整除的數(shù)的特征：一個數(shù)的末3位能被8、125整除6、被7整除的數(shù)的特征 ：若一個整數(shù)的個位數(shù)字去掉,再從余下的數(shù)中,減去個位數(shù)的2倍,如果差是7的倍數(shù),則原數(shù)能被7整除。如果數(shù)字仍然太大不能直接觀察出來，就重復(fù)此過程。7、能被11整除的數(shù)的特征 ： 把一個數(shù)由右邊向左邊數(shù),將奇位上的數(shù)字與偶位上的數(shù)字分別加起來,再求它們的差,如果這個差是11的倍數(shù)(包括0),那么,原來這個數(shù)就一定能被11整除。 例如：判斷491678能不能被11整除。 奇位數(shù)字的和9+6+8=23 偶位數(shù)位的和4+1+7=12 

14、60; 23-12=11 因此,491678能被11整除。這種方法叫“奇偶位差法”。 8、能被13整除的數(shù)的特征 ：把一個整數(shù)的個位數(shù)字去掉，再從余下的數(shù)中，加上個位數(shù)的4倍，如果和是13的倍數(shù)，則原數(shù)能被13整除。如果數(shù)字仍然太大不能直接觀察出來，就重復(fù)此過程。如：判斷1284322能不能被13整除。 128432+2×4=128440 12844+0×4=12844 1284+4×4=1300 1300÷13=100 所以，1284322能被13整除。 9、被7、11、13整除特征：末三位與末三位之前的數(shù)之差（大數(shù)小數(shù)）能被7、11、13整除，如果數(shù)

15、字仍然太大不能直接觀察出來，就重復(fù)此過程。例如：判斷556584能不能被7整除 末三位584 末三位之前的數(shù)556， 584-556=28 28能被7整除，所以556584能被7整除10、能被17整除的數(shù)的特征 : 把一個整數(shù)的個位數(shù)字去掉，再從余下的數(shù)中，減去個位數(shù)的5倍，如果差是17的倍數(shù)，則原數(shù)能被17整除。如果數(shù)字仍然太大不能直接觀察出來，就重復(fù)此過程。 11、能被19整除的數(shù)的特征:把一個整數(shù)的個位數(shù)字去掉，再從余下的數(shù)中，加上個位數(shù)的2倍，如果和是19的倍數(shù)，則原數(shù)能被19整除。如果數(shù)字仍然太大不能直接觀察出來，就重復(fù)此過程例1 在里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使得七位數(shù)7

16、358能分別被9，25和8整除。例2 由2000個1組成的數(shù)11111能否被41和271這兩個質(zhì)數(shù)整除？例3 有四個數(shù)：76550，76551，76552，76554。能不能從中找出兩個數(shù)，使它們的乘積能被12整除？例4 在所有五位數(shù)中，各位數(shù)字之和等于43且能夠被11整除的數(shù)有哪些？例5 能不能將從1到10的各數(shù)排成一行，使得任意相鄰的兩個數(shù)之和都能被3整除？練習(xí)51.已知4205和2813都是29的倍數(shù)，1392和7018是不是29的倍數(shù)？2.如果兩個數(shù)的和是64，這兩個數(shù)的積可以整除4875，那么這兩個數(shù)的差是多少？3.173是個四位數(shù)。數(shù)學(xué)老師說：“我在這個中先后填入3個數(shù)字，所得到的

17、 3個四位數(shù)，依次可以被9，11，6整除?！眴枺簲?shù)學(xué)老師先后填入的3個數(shù)字之和是多少4、用16六個數(shù)字組成一個六位數(shù)abcdef期中不同的字母代表1-6中不同的數(shù)字。要求ab能被2整除，abc能被3整除，abcd能被4整除，abcde是5的倍數(shù)，abcdef是6的倍數(shù)。這樣的六位數(shù)有幾個？各是多少？5.紅光小學(xué)五年級二班期末數(shù)學(xué)考試平均分是90分，總分A95B,這個班有多少名學(xué)生？6.能不能將從1到9的各數(shù)排成一行，使得任意相鄰的兩個數(shù)之和都能被3整除？第6講 數(shù)的整除性（二）特殊的數(shù)1001。因為1001=7×11×13，所以凡是1001的整數(shù)倍的數(shù)都能被7，11和13整

18、除。例2 判斷306371能否被7整除？能否被13整除？例3 已知108971能被13整除，求中的數(shù)。例4說明12位數(shù)abbaabbaabba一定是3、7、13的倍數(shù)。例5 如果41位數(shù)555999能被7整除，那么中間方格內(nèi)的數(shù)字是幾？ 20個 20個判斷一個數(shù)能否被27或37整除的方法： 對于任何一個自然數(shù)，從個位開始，每三位為一節(jié)將其分成若干節(jié)，然后將每一節(jié)上的數(shù)連加，如果所得的和能被27（或37）整除，那么這個數(shù)一定能被27（或37）整除；否則，這個數(shù)就不能被27（或37）整除。例6 判斷下列各數(shù)能否被27或37整除：（1）2673135；（2）8990615496。判斷一個數(shù)能否被個位

19、是9的數(shù)整除的方法：為了敘述方便，將個位是9的數(shù)記為 k9（= 10k+9），其中k為自然數(shù)。 對于任意一個自然數(shù)，去掉這個數(shù)的個位數(shù)后，再加上個位數(shù)的（k+1）倍。連續(xù)進行這一變換。如果最終所得的結(jié)果等于k9，那么這個數(shù)能被k9整除；否則，這個數(shù)就不能被k9整除。例7 （1）判斷18937能否被29整除； （2）判斷296416與37289能否被59整除。  練習(xí)61.下列各數(shù)哪些能被7整除？哪些能被13整除？ 88205， 167128， 250894， 396500，675696， 796842， 805532， 75778885。2.六位數(shù)17562是13的倍數(shù)。中的數(shù)字是幾

20、？ 3、已知七位數(shù)132A679是7的倍數(shù)，求A？ 4、六位數(shù)ababab能否被7和13整除？ 5、12位數(shù)aabbaabbaabb能否被7和13整除？ 6、333888能被13整除，求中間中的數(shù)？ 20個 20個7.九位數(shù)87654321能被21整除，求中間中的數(shù)。8.在下列各數(shù)中，哪些能被27整除？哪些能被37整除？1861026， 1884924， 2175683， 2560437，11159126，131313555，266117778。9.在下列各數(shù)中，哪些能被19整除？哪些能被79整除？55119， 55537， 62899， 71258，186637，872231，5381717

21、。第7講 奇偶性（一）整數(shù)按照能不能被2整除，可以分為兩類：（1）能被2整除的自然數(shù)叫偶數(shù)，例如0， 2， 4， 6， 8， 10， 12， 14， 16，（2）不能被2整除的自然數(shù)叫奇數(shù)，例如1，3，5，7，9，11，13，15，17，整數(shù)由小到大排列，奇、偶數(shù)是交替出現(xiàn)的。相鄰兩個整數(shù)大小相差1，所以肯定是一奇一偶。因為偶數(shù)能被2整除，所以偶數(shù)可以表示為2n的形式，其中n為整數(shù)；因為奇數(shù)不能被2整除，所以奇數(shù)可以表示為2n+1的形式，其中n為整數(shù)。每一個整數(shù)不是奇數(shù)就是偶數(shù)，這個屬性叫做這個數(shù)的奇偶性。奇偶數(shù)有如下一些重要性質(zhì)：（1）兩個奇偶性相同的數(shù)的和（或差）一定是偶數(shù)；兩個奇偶性不同

22、的數(shù)的和（或差）一定是奇數(shù)。反過來，兩個數(shù)的和（或差）是偶數(shù)，這兩個數(shù)奇偶性相同；兩個數(shù)的和（或差）是奇數(shù)，這兩個數(shù)肯定是一奇一偶。（2）奇數(shù)個奇數(shù)的和（或差）是奇數(shù)；偶數(shù)個奇數(shù)的和（或差）是偶數(shù)。任意多個偶數(shù)的和（或差）是偶數(shù)。（3）兩個奇數(shù)的乘積是奇數(shù)，一個奇數(shù)與一個偶數(shù)的乘積一定是偶數(shù)。（4）若干個數(shù)相乘，如果其中有一個因數(shù)是偶數(shù)，那么積必是偶數(shù)；如果所有因數(shù)都是奇數(shù)，那么積就是奇數(shù)。反過來，如果若干個數(shù)的積是偶數(shù)，那么因數(shù)中至少有一個是偶數(shù)；如果若干個數(shù)的積是奇數(shù)，那么所有的因數(shù)都是奇數(shù)。（5）在能整除的情況下，偶數(shù)除以奇數(shù)得偶數(shù)；偶數(shù)除以偶數(shù)可能得偶數(shù)，也可能得奇數(shù)。奇數(shù)肯定不能被偶

23、數(shù)整除。（6）偶數(shù)的平方能被4整除；奇數(shù)的平方除以4的余數(shù)是1。因為（2n）2=4n2=4×n2，所以（2n）2能被4整除；因為（2n+1）2=4n2+4n+1=4×（n2+n）+1，所以（2n+1）2除以4余1。（7）相鄰兩個自然數(shù)的乘積必是偶數(shù)，其和必是奇數(shù)。（8）如果一個整數(shù)有奇數(shù)個約數(shù)（包括1和這個數(shù)本身），那么這個數(shù)一定是平方數(shù)；如果一個整數(shù)有偶數(shù)個約數(shù)，那么這個數(shù)一定不是平方數(shù)。 整數(shù)的奇偶性能解決許多與奇偶性有關(guān)的問題。有些問題表面看來似乎與奇偶性一點關(guān)系也沒有，例如染色問題、覆蓋問題、棋類問題等，但只要想辦法編上號碼，成為整數(shù)問題，便可利用整數(shù)的奇偶性加以解

24、決。例1下式的和是奇數(shù)還是偶數(shù)？1+2+3+4+1997+1998。例2 能否在下式的中填上“+”或“-”，使得等式成立？123456789=36。例3 任意給出一個五位數(shù)，將組成這個五位數(shù)的5個數(shù)碼的順序任意改變，得到一個新的五位數(shù)。那么，這兩個五位數(shù)的和能不能等于99999？例4 在一次校友聚會上，久別重逢的老同學(xué)互相頻頻握手。請問：握過奇數(shù)次手的人數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？請說明理由。例5 五（2）班部分學(xué)生參加鎮(zhèn)里舉辦的數(shù)學(xué)競賽，每張試卷有50道試題。評分標準是：答對一道給3分，不答的題，每道給1分，答錯一道扣1分。試問：這部分學(xué)生得分的總和能不能確定是奇數(shù)還是偶數(shù)？練習(xí)71.能否從四個3、三

25、個5、兩個7中選出5個數(shù)，使這5個數(shù)的和等于22？2.任意交換一個三位數(shù)的數(shù)字，得一個新的三位數(shù)，一位同學(xué)將原三位數(shù)與新的三位數(shù)相加，和是999。這位同學(xué)的計算有沒有錯？3.甲、乙兩人做游戲。任意指定七個整數(shù)（允許有相同數(shù)），甲將這七個整數(shù)以任意的順序填在下圖第一行的方格內(nèi)，乙將這七個整數(shù)以任意的順序填在圖中的第二行方格里，然后計算出所有同一列的兩個數(shù)的差（大數(shù)減小數(shù)），再將這七個差相乘。游戲規(guī)則是：若積是偶數(shù)，則甲勝；若積是奇數(shù)，則乙勝。請說明誰將獲勝。4.某班學(xué)生畢業(yè)后相約彼此通信，每兩人間的通信量相等，即甲給乙寫幾封信，乙也要給甲寫幾封信。問：寫了奇數(shù)封信的畢業(yè)生人數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？5.

26、A市舉辦五年級小學(xué)生“春暉杯”數(shù)學(xué)競賽，競賽題30道，記分方法是：底分15分，每答對一道加5分，不答的題，每道加1分，答錯一道扣1分。如果有333名學(xué)生參賽，那么他們的總得分是奇數(shù)還是偶數(shù)？6.把下圖中的圓圈任意涂上紅色或藍色。是否有可能使得在同一條直線上的紅圈數(shù)都是奇數(shù)？試講出理由。7.紅星影院有1999個座位，上、下午各放映一場電影。有兩所學(xué)校各有1999名學(xué)生包場看這兩場電影，那么一定有這樣的座位，上、下午在這個座位上坐的是兩所不同學(xué)校的學(xué)生，為什么？ 第8講 奇偶性（二）例1用09這十個數(shù)碼組成五個兩位數(shù)，每個數(shù)字只用一次，要求它們的和是奇數(shù)，那么這五個兩位數(shù)的和最大是多少？例2 7只

27、杯子全部杯口朝上放在桌子上，每次翻轉(zhuǎn)其中的2只杯子。能否經(jīng)過若干次翻轉(zhuǎn)，使得7只杯子全部杯口朝下？例3 有m（m2）只杯子全部口朝下放在桌子上，每次翻轉(zhuǎn)其中的（m-1）只杯子。經(jīng)過若干次翻轉(zhuǎn)，能使杯口全部朝上嗎？例4 一本論文集編入15篇文章，這些文章排版后的頁數(shù)分別是1，2，3，15頁。如果將這些文章按某種次序裝訂成冊，并統(tǒng)一編上頁碼，那么每篇文章的第一面是奇數(shù)頁碼的最多有幾篇？例5 有大、小兩個盒子，其中大盒內(nèi)裝1001枚白棋子和1000枚同樣大小的黑棋子，小盒內(nèi)裝有足夠多的黑棋子。阿花每次從大盒內(nèi)隨意摸出兩枚棋子，若摸出的兩枚棋子同色，則從小盒內(nèi)取一枚黑棋子放入大盒內(nèi)；若摸出的兩枚棋子異

28、色，則把其中白棋子放回大盒內(nèi)。問：從大盒內(nèi)摸了1999次棋子后，大盒內(nèi)還剩幾枚棋子？它們都是什么顏色？例6 一串?dāng)?shù)排成一行：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，到這串?dāng)?shù)的第1000個數(shù)為止，共有多少個偶數(shù)？練習(xí)8 1.在11，111，1111，11111，這些數(shù)中，任何一個數(shù)都不會是某一個自然數(shù)的平方。這樣說對嗎？2.一本書由17個故事組成，各個故事的篇幅分別是1，2，3，17頁。這17個故事有各種編排法，但無論怎樣編排，故事正文都從第1頁開始，以后每一個故事都從新一頁碼開始。如果要求安排在奇數(shù)頁碼開始的故事盡量少，那么最少有多少個故事是從奇數(shù)頁碼開始的？3.桌子上放著6只杯子，其

29、中3只杯口朝上，3只杯口朝下。如果每次翻轉(zhuǎn)5只杯子，那么至少翻轉(zhuǎn)多少次，才能使6只杯子都杯口朝上？4.70個數(shù)排成一行，除了兩頭的兩個數(shù)以外，每個數(shù)的3倍都恰好等于它兩邊的兩個數(shù)的和，這一行數(shù)的最左邊的幾個數(shù)是這樣的：0，1，3，8，21，問：最右邊的一個數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？5.學(xué)校組織運動會，小明領(lǐng)回自己的運動員號碼后，小玲問他：“今天發(fā)放的運動員號碼加起來是奇數(shù)還是偶數(shù)？”小明說：“除開我的號碼，把今天發(fā)的其它號碼加起來，再減去我的號碼，恰好是100?！苯裉彀l(fā)放的運動員號碼加起來，到底是奇數(shù)還是偶數(shù)？6.在黑板上寫出三個整數(shù)，然后擦去一個換成所剩兩數(shù)之和，這樣繼續(xù)操作下去，最后得到88，66

30、，99。問：原來寫的三個整數(shù)能否是1，3，5？7.將888件禮品分給若干個小朋友。問：分到奇數(shù)件禮品的小朋友是奇數(shù)還是偶數(shù)？ 第9講 奇偶性（三）例1 在7×7的正方形的方格表中，以左上角與右下角所連對角線為軸對稱地放置棋子，要求每個方格中放置不多于1枚棋子，且每行正好放3枚棋子，則在這條對角線上的格子里至少放有一枚棋子，這是為什么？例2 對于左下表，每次使其中的任意兩個數(shù)減去或加上同一個數(shù)，能否經(jīng)過若干次后（各次減去或加上的數(shù)可以不同），變?yōu)橛蚁卤?？為什么？? 下圖是一套房子的平面圖，圖中的方格代表房間，每個房間都有通向任何一個鄰室的門。有人想從某個房間開始，依次不重復(fù)

31、地走遍每一個房間，他的想法能實現(xiàn)嗎？ 例4 下圖是由14個大小相同的方格組成的圖形。能不能剪裁成7個由相鄰兩方格組成的長方形？例5 在右圖的每個中填入一個自然數(shù)（可以相同），使得任意兩個相鄰的中的數(shù)字之差（大數(shù)減小數(shù)）恰好等于它們之間所標的數(shù)字。能否辦到？為什么？ 例6 下頁上圖是半張中國象棋盤，棋盤上已放有一只馬。眾所周知，馬是走“日”字的。請問：這只馬能否不重復(fù)地走遍這半張棋盤上的每一個點，然后回到出發(fā)點？練習(xí)9 1.教室里有5排椅子，每排5張，每張椅子上坐一個學(xué)生。一周后，每個學(xué)生都必須和他相鄰（前、后、左、右）的某一同學(xué)交換座位。問：能不能換成？為什么？2.房間里有5盞燈，全部關(guān)著。每

32、次拉兩盞燈的開關(guān)，這樣做若干次后，有沒有可能使5盞燈全部是亮的？3.左下圖是由40個小正方形組成的圖形，能否將它剪裁成20個相同的長方形？4.一個正方形果園里種有48棵果樹，加上右下角的一間小屋，整齊地排列成七行七列（見右上圖）。守園人從小屋出發(fā)經(jīng)過每一棵樹，不重復(fù)也不遺漏（不許斜走），最后又回到小屋?？梢宰龅絾?？5.紅光小學(xué)五年級一次乒乓球賽，共有男女學(xué)生17人報名參加。為節(jié)省時間不打循環(huán)賽，而采取以下方式：每人只打5場比賽，每兩人之間用抽簽的方法決定只打一場或不賽。然后根據(jù)每人得分決定出前5名。這種比賽方式是否可行？6.如下圖所示，將112順次排成一圈。如果報出一個數(shù)a（在112之間），那

33、么就從數(shù)a的位置順時針走a個數(shù)的位置。例如a=3，就從3的位置順時針走3個數(shù)的位置到達6的位置；a=11，就從11的位置順時針走11個數(shù)的位置到達10的位置。問：a是多少時，可以走到7的位置？ 第10講 質(zhì)數(shù)與合數(shù)自然數(shù)按照能被多少個不同的自然數(shù)整除可以分為三類：第一類：只能被一個自然數(shù)整除的自然數(shù)，這類數(shù)只有一個，就是1。第二類：只能被兩個不同的自然數(shù)整除的自然數(shù)。因為任何自然數(shù)都能被1和它本身整除，所以這類自然數(shù)的特征是大于1，且只能被1和它本身整除。這類自然數(shù)叫質(zhì)數(shù)（或素數(shù)）。例如，2，3，5，7，第三類：能被兩個以上的自然數(shù)整除的自然數(shù)。這類自然數(shù)的特征是大于1，除了能被1和

34、它本身整除外，還能被其它一些自然數(shù)整除。這類自然數(shù)叫合數(shù)。例如，4，6，8，9，15，上面的分類方法將自然數(shù)分為質(zhì)數(shù)、合數(shù)和1，1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)。例1 1100這100個自然數(shù)中有哪些是質(zhì)數(shù)？例2 判斷269，437兩個數(shù)是合數(shù)還是質(zhì)數(shù)。例3 判斷數(shù)1111112111111是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)？例4 判定298+1和298+3是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)？例5 已知A是質(zhì)數(shù)，（A+10）和（A+14）也是質(zhì)數(shù)，求質(zhì)數(shù)A。練習(xí)101.現(xiàn)有1，3，5，7四個數(shù)字。（1）用它們可以組成哪些兩位數(shù)的質(zhì)數(shù)（數(shù)字可以重復(fù)使用）？（2）用它們可以組成哪些各位數(shù)字不相同的三位質(zhì)數(shù)？2.a，b，c都是質(zhì)數(shù)，abc，且a&#

35、215;b+c=88，求a，b，c。3.A是一個質(zhì)數(shù)，而且A+6，A+8，A+12，A+14都是質(zhì)數(shù)。試求出所有滿足要求的質(zhì)數(shù)A。5.試說明：兩個以上的連續(xù)自然數(shù)之和必是合數(shù)。6.判斷266+388是不是質(zhì)數(shù)。7.把一個一位數(shù)的質(zhì)數(shù)a寫在另一個兩位數(shù)的質(zhì)數(shù)b后邊，得到一個三位數(shù)，這個三位數(shù)是a的87倍，求a和b。第11講 分解質(zhì)因數(shù)自然數(shù)中任何一個合數(shù)都可以表示成若干個質(zhì)因數(shù)乘積的形式，如果不考慮因數(shù)的順序，那么這個表示形式是唯一的。把合數(shù)表示為質(zhì)因數(shù)乘積的形式叫做分解質(zhì)因數(shù)。例如，60=22×3×5， 1998=2×33×37。例1 一個正方體的體積是

36、13824厘米3，它的表面積是多少？例2 學(xué)區(qū)舉行團體操表演，有1430名學(xué)生參加，分成人數(shù)相等的若干隊，要求每隊人數(shù)在100至200之間，共有幾種分法？例3 1×2×3××40能否被90909整除？例4 求72有多少個不同的約數(shù)。例5 試求不大于50的所有約數(shù)個數(shù)為6的自然數(shù)。練習(xí)11 1.一個長方體，它的正面和上面的面積之和是209分米2，如果它的長、寬、高都是質(zhì)數(shù)，那么這個長方體的體積是多少立方分米？2.爺孫兩人今年的年齡的乘積是693，4年前他們的年齡都是質(zhì)數(shù)。爺孫兩人今年的年齡各是多少歲？3.某車間有216個零件，如果平均分成若干份，分的份數(shù)在

37、5至20之間，那么有多少種分法？4.小英參加小學(xué)數(shù)學(xué)競賽，她說：“我得的成績和我的歲數(shù)以及我得的名次乘起來是3916，滿分是100分?！蹦芊裰佬∮⒌哪挲g、考試成績及名次？5.舉例回答下面各問題：（1）兩個質(zhì)數(shù)的和仍是質(zhì)數(shù)嗎？（2）兩個質(zhì)數(shù)的積能是質(zhì)數(shù)嗎？（3）兩個合數(shù)的和仍是合數(shù)嗎？（4）兩個合數(shù)的差（大數(shù)減小數(shù)）仍是合數(shù)嗎？（5）一個質(zhì)數(shù)與一個合數(shù)的和是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)？6.求不大于100的約數(shù)最多的自然數(shù)。7.同學(xué)們?nèi)ド浼?guī)定每射一箭得到的環(huán)數(shù)或者是“0”（脫靶）或者是不超過10的自然數(shù)。甲、乙兩同學(xué)各射5箭，每人得到的總環(huán)數(shù)之積剛好都是1764，但是甲的總環(huán)數(shù)比乙少4環(huán)。求甲、乙各自的總

38、環(huán)數(shù)。第12講 最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)（一）如果一個自然數(shù)a能被自然數(shù)b整除，那么稱a為b的倍數(shù)，b為a的約數(shù)。如果一個自然數(shù)同時是若干個自然數(shù)的約數(shù)，那么稱這個自然數(shù)是這若干個自然數(shù)的公約數(shù)。在所有公約數(shù)中最大的一個公約數(shù)，稱為這若干個自然數(shù)的最大公約數(shù)。自然數(shù)a1，a2，an的最大公約數(shù)通常用符號（a1，a2，an）表示，例如，（8，12）=4，（6，9，15）=3。如果一個自然數(shù)同時是若干個自然數(shù)的倍數(shù)，那么稱這個自然數(shù)是這若干個自然數(shù)的公倍數(shù)。在所有公倍數(shù)中最小的一個公倍數(shù)，稱為這若干個自然數(shù)的最小公倍數(shù)。自然數(shù)a1，a2，an的最小公倍數(shù)通常用符號a1，a2，an表示，例如8，12=

39、24，6，9，15=90。常用的求最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的方法是分解質(zhì)因數(shù)法和短除法。例1 用60元錢可以買一級茶葉144克，或買二級茶葉180克，或買三級茶葉240克?，F(xiàn)將這三種茶葉分別按整克數(shù)裝袋，要求每袋的價格都相等，那么每袋的價格最低是多少元錢？例2 用自然數(shù)a去除498，450，414，得到相同的余數(shù)，a最大是多少？例3 現(xiàn)有三個自然數(shù)，它們的和是1111，這樣的三個自然數(shù)的公約數(shù)中，最大的可以是多少？例4 在一個30×24的方格紙上畫一條對角線（見下頁上圖），這條對角線除兩個端點外，共經(jīng)過多少個格點（橫線與豎線的交叉點）？例5 甲、乙、丙三人繞操場競走，他們走一圈分別需要

40、1分、1分15秒和1分30秒。三人同時從起點出發(fā)，最少需多長時間才能再次在起點相會？ 例6 爺爺對小明說：“我現(xiàn)在的年齡是你的7倍，過幾年是你的6倍，再過若干年就分別是你的5倍、4倍、3倍、2倍?！蹦阒罓敔敽托∶鳜F(xiàn)在的年齡嗎？ 練習(xí)12 1.有三根鋼管，分別長200厘米、240厘米、360厘米?，F(xiàn)要把這三根鋼管截成盡可能長而且相等的小段，一共能截成多少段？2.兩個小于150的數(shù)的積是2028，它們的最大公約數(shù)是13，求這兩個數(shù)。3.用19這九個數(shù)碼可以組成362880個沒有重復(fù)數(shù)字的九位數(shù)，求這些數(shù)的最大公約數(shù)？4.大雪后的一天，亮亮和爸爸從同一點出發(fā)沿同一方向分別步測一個圓形花圃的周長。亮

41、亮每步長54厘米，爸爸每步長72厘米，由于兩個人的腳印有重合，所以雪地上只留下60個腳印。問：這個花圃的周長是多少米？5.有一堆桔子，按每4個一堆分少1個，按每5個一堆分也少1個，按每6個一堆分還是少1個。這堆桔子至少有多少個？6.某公共汽車站有三條線路的公共汽車。第一條線路每隔5分鐘發(fā)車一次，第二、三條線路每隔6分鐘和8分鐘發(fā)車一次。9點時三條線路同時發(fā)車，下一次同時發(fā)車是什么時間？7.四個連續(xù)奇數(shù)的最小公倍數(shù)是6435，求這四個數(shù)。 第13講 最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)（二）兩個自然數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積，等于這兩個自然數(shù)的乘積。即，（a，b）×a，b=a×b。例

42、1 兩個自然數(shù)的最大公約數(shù)是6，最小公倍數(shù)是72。已知其中一個自然數(shù)是18，求另一個自然數(shù)。例2 兩個自然數(shù)的最大公約數(shù)是7，最小公倍數(shù)是210。這兩個自然數(shù)的和是77，求這兩個自然數(shù)。例3 已知a與b，a與c的最大公約數(shù)分別是12和15，a，b，c的最小公倍數(shù)是120，求a，b，c。要將它們?nèi)糠謩e裝入小瓶中，每個小瓶裝入液體的重量相同。問：每瓶最多裝多少千克？如果若干個分數(shù)（含整數(shù)）都是某個分數(shù)的整數(shù)倍，那么稱這個分數(shù)是這若干個分數(shù)的公約數(shù)。在所有公約數(shù)中最大的一個公約數(shù)，稱為這若干個分數(shù)的最大公約數(shù)。如果某個分數(shù)（或整數(shù)）同時是若干個分數(shù)（含整數(shù)）的整數(shù)倍，那么稱這個分數(shù)是這若干個分數(shù)的

43、公倍數(shù)。在所有公倍數(shù)中最小的一個公倍數(shù)，稱為這若干個分數(shù)的最小公倍數(shù)。練習(xí)131.將72和120的乘積寫成它們的最大公約數(shù)和最最小公倍數(shù)的乘積的形式。2.兩個自然數(shù)的最大公約數(shù)是12，最小公倍數(shù)是72。滿足條件的自然數(shù)有哪幾組？3.求下列各組分數(shù)的最大公約數(shù)：4.求下列各組分數(shù)的最小公倍數(shù)：部分別裝入小瓶中，每個小瓶裝入液體的重量相同。問：最少要裝多少瓶？ 于同一處只有一次，求圓形綠地的周長。第14講 余數(shù)問題余數(shù)有如下一些重要性質(zhì)（a，b，c均為自然數(shù)）：（1）余數(shù)小于除數(shù)。（2）被除數(shù)=除數(shù)×商+余數(shù)；除數(shù)=（被除數(shù)-余數(shù)）÷商；商=（被除數(shù)-余數(shù)）÷除數(shù)。（

44、3）如果a，b除以c的余數(shù)相同，那么a與b的差能被c整除。例如，17與11除以3的余數(shù)都是2，所以17-11能被3整除。（4）a與b的和除以c的余數(shù)，等于a，b分別除以c的余數(shù)之和（或這個和除以c的余數(shù)）。 （5）a與b的乘積除以c的余數(shù)，等于a，b分別除以c的余數(shù)之積（或這個積除以c的余數(shù)）。 例1 5122除以一個兩位數(shù)得到的余數(shù)是66，求這個兩位數(shù)。例2 被除數(shù)、除數(shù)、商與余數(shù)之和是2143，已知商是33，余數(shù)是52，求被除數(shù)和除數(shù)。例3 甲、乙兩數(shù)的和是1088，甲數(shù)除以乙數(shù)商11余32，求甲、乙兩數(shù)。例4 有一個整數(shù)，用它去除70，110，160得到的三個余數(shù)之和是50。求這個數(shù)。例

45、5 求478×296×351除以17的余數(shù)。例6 甲、乙兩個代表團乘車去參觀，每輛車可乘36人。兩代表團坐滿若干輛車后，甲代表團余下的11人與乙代表團余下的成員正好又坐滿一輛車。參觀完，甲代表團的每個成員與乙代表團的每個成員兩兩合拍一張照片留念。如果每個膠卷可拍36張照片，那么拍完最后一張照片后，相機里的膠卷還可拍幾張照片？練習(xí)14 1.今天是星期六，再過1000天是星期幾？2.已知兩個自然數(shù)a和b（ab），已知a和b除以13的余數(shù)分別是5和9，求a+b，a-b，a×b，a2-b2各自除以13的余數(shù)。3.2100除以一個兩位數(shù)得到的余數(shù)是56，求這個兩位數(shù)。4.被

46、除數(shù)、除數(shù)、商與余數(shù)之和是903，已知除數(shù)是35，余數(shù)是2，求被除數(shù)。5.用一個整數(shù)去除345和543所得的余數(shù)相同，且商相差9，求這個數(shù)。6.有一個整數(shù)，用它去除312，231，123得到的三個余數(shù)之和是41，求這個數(shù)。7.2000年五月有5個星期三、4個星期四，這個月的一日是星期幾？第15講 孫子問題與逐步約束法例1 一個數(shù)除以3余2，除以5余3，除以7余2。求滿足條件的最小自然數(shù)。例2 求滿足除以5余1，除以7余3，除以8余5的最小的自然數(shù)。例3 在10000以內(nèi)，除以3余2，除以7余3，除以11余4的數(shù)有幾個？例4 求滿足除以6余3，除以8余5，除以9余6的最小自然數(shù)。例5學(xué)校要安排6

47、6名新生住宿，小房間可以住4人，大房間可以住7人，需要多少間大、小房間，才能正好將66名新生安排下？例6 求不定方程5x+3y=68的所有整數(shù)解。 練習(xí)15 1.一個數(shù)除以5余4，除以8余3，除以11余2，求滿足條件的最小自然數(shù)。2.有一堆蘋果，3個3個數(shù)余1個，5個5個數(shù)余2個，6個6個數(shù)余4個。這堆蘋果至少有多少個？3.在小于1000的自然數(shù)中，除以4余3，除以5余2，除以7余4的最大的自然數(shù)是幾？4.在5000以內(nèi)，除以3余1，除以5余2，除以7余3的自然數(shù)有多少個？5.有一個兩位數(shù)，除以2與除以3都余1，除以4與除以5都余3，求這個數(shù)。6.用100元錢去買3元一個和7元一個的

48、兩種商品，錢正好用完，共有幾種買法？7.五年級一班的43名同學(xué)去劃船，大船可坐7人，小船可坐5人，需租大、小船各多少條？ 第16講 巧算24游戲規(guī)則：給定四個自然數(shù)，通過+，-，×，÷四則運算，可以交換數(shù)的位置，可以隨意地添括號，但規(guī)定每個數(shù)恰好使用一次，連起來組成一個混合運算的算式，使最后得數(shù)是24。 “數(shù)學(xué)24”游戲通常是用撲克牌進行的，此時，給定的四個自然數(shù)就被限定在113范圍內(nèi)了?！皵?shù)學(xué)24”游戲可以1個人玩，也可以多個人玩，比如四個人玩，把撲克牌中的大、小王拿掉，剩下的52張牌洗好后，每人分13張，然后每人出一張牌，每張牌的點數(shù)代表一個自然數(shù)，其中J，Q，K分別代

49、表11，12和13，四張牌表示四個自然數(shù)。誰最先按游戲規(guī)則算出24，就把這四張牌贏走。然后繼續(xù)進行。最后誰的牌最多誰獲勝。 要想算得又快又準，最重要的有兩條：一是熟悉加法口訣和乘法口訣，二是利用括號。括號既能改變運算順序，也可以改變運算符號。請用下面例題中給出的四個數(shù)，按規(guī)則算出24。例1 3，3，5，6。 例2 2，2，4，8。 例3 1，4，4，5。 例4 6，8，8，9。 例5 5，7，12，12。 例6 2，2，6，9。 例7 2，6，9，9。 例8 2，4，10，10。例9 1，5，5，5。 例10 3，3，8，8。 例11 1，4，5，6。  練習(xí) 16 用給出的四個數(shù)，

50、按規(guī)則算出24。1.（1）1，3，3，7； （2）2，2，5，7；（3）1，4，4，7； （4）1，2，8，8；（5）1，5，6，6； （6）5，8，8，8。2.（1） 2，7，7，10； （2）3，5，5，9；（3）5，5，7，11； （4）2，6，6，12；（5）4，4，5，5； （6）2，5，5，10；（7）4，9，9，12； （8）3，7，9，13。3.（1）1，3，4，6； （2）2，8，9，13；（3）1，6，6，8； （4）2，3，5，12；（5）3，4，6，13； （6）1，8，12，12；（7）3，4，8，13； （8）2，7，12，13。第17講 位值原則同一個數(shù)字，由于它

51、在所寫的數(shù)里的位置不同，所表示的數(shù)也不同。也就是說，每一個數(shù)字除了本身的值以外，還有一個“位置值”。例如“5”，寫在個位上，就表示5個一；寫在十位上，就表示5個十；寫在百位上，就表示5個百；等等。這種把數(shù)字和數(shù)位結(jié)合起來表示數(shù)的原則，稱為寫數(shù)的位值原則。我們通常使用的是十進制計數(shù)法，其特點是“滿十進一”。就是說，每10個某一單位就組成和它相鄰的較高的一個單位，即10個一，叫做“十”，10個十叫做“百”，10個百叫做“千”，等等。寫數(shù)時，從右端起，第一位是個位，第二位是十位，第三位是百位，第四位是千位，等等（見下圖）。用阿拉伯?dāng)?shù)字和位值原則，可以表示出一切整數(shù)。例如，926表示9個百，2個十，6個一，即926=9×100+2×10+6。根據(jù)問題的需要，有時我們也用字母代替阿拉伯?dāng)?shù)字表示數(shù)，如：其中a可以是19中的數(shù)碼，但不能是0，b和c是09中的數(shù)碼。下面，我們利用位值原則解決一些整數(shù)問題。例2有一個兩位數(shù)，把數(shù)碼1加在它的前面可以得到一個三位數(shù)，加在它的后面也可以得到一個三位數(shù)，這兩個三位數(shù)相差666。求原來的兩位數(shù)。例3 a，b，c是19中的三個不同的數(shù)碼，用它們組成的六個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)之和是（a+b+c）的多少倍？