小學(xué)奧數(shù)周期問題(五年級)

1、周期問題一、知識要點周期問題是指事物在運動變化的發(fā)展過程中，某些特征循環(huán)往復(fù)出現(xiàn)，其連續(xù)兩次出現(xiàn)所經(jīng)過的時間叫做周期。在數(shù)學(xué)上，不僅有專門研究周期現(xiàn)象的分支，而且平時解題時也常常碰到與周期現(xiàn)象有關(guān)的問題。這些數(shù)學(xué)問題只要我們發(fā)展某種周期現(xiàn)象，并充分加以利用，把要求的問題和某一周期的等式相對應(yīng)，就能找到解題關(guān)鍵。二、精講精練【例題1】 流水線上生產(chǎn)小木球涂色的次序是：先5個紅，再4個黃，再3個綠，再2個黑，再1個白，然后又依次5紅、4黃、3綠、2黑、1白如此涂下去，到2001個小球該涂什么顏色？【思路導(dǎo)航】根據(jù)題意可知，小木球涂色的次序是5紅、4黃、3綠、2黑、1白，即54321=15個球為一個

2、周期，不斷循環(huán)。因為2001÷15=1336，也就是經(jīng)過133個周期還余6個，每個周期中第6個是黃的，所以第2001個球涂黃色。練習(xí)1：1. 跑道上的彩旗按“三面紅、兩面綠、一面黃”的規(guī)律插下去，第50面該插什么顏色？2. 有一串珠子，按4個紅的，3個白的，2個黑的順序重復(fù)排列，第160個是什么顏色？3.1/7=0.142857142857，小數(shù)點后面第100個數(shù)字是多少？【例題2】 有47盞燈，按二盞紅燈、四盞藍燈、三盞黃燈的順序排列著。最后一盞燈是什么顏色的？三種顏色的燈各占總數(shù)的幾分之幾？【思路導(dǎo)航】（1）我們把二盞紅燈、四盞藍燈、三盞黃燈這9盞燈看作一組，47÷9=

3、5（組）2（盞），余下的兩盞是第6組的前兩盞燈，是紅燈，所以最后一盞燈是紅燈；（2）由于47÷9=5（組）2（盞），所以紅燈共有2×52=12（盞），占總數(shù)的12/47；藍燈共有4×5=20（盞），占總數(shù)的20/47；黃燈共有3×5=15（盞），占總數(shù)的15/47。 練習(xí)2：1. 有68面彩旗，按二面紅的、一面綠的、三面黃的排列著，這些彩旗中，紅旗占黃旗的幾分之幾？2. 黑珠和白珠共2000顆，按規(guī)律排列著：，第2000顆珠子是什么顏色的？其中，黑珠共有多少顆？3. 在100米長的跑道兩側(cè)每隔2米站著一個同學(xué)。這些同學(xué)以一端開始，按先兩個女生，再一個男生

4、的規(guī)律站立著。這些同學(xué)中共有多少個女生？【例題3】 2001年10月1日是星期一，那么，2002年1月1日是星期幾？【思路導(dǎo)航】一個星期是7天，因此7天為一個周期。10月1日是星期一，是第一個周期的第一天，再過7天即10月8日也是星期一。計算天數(shù)時為了方便，我們采用“算尾不算頭”的方法，例如10月8日就用（81）÷7=1.沒有余數(shù)說明8號仍是星期一。題中說從2001年10月1日到2002年1月1日，要經(jīng)過92天，92÷7=131.余1天就是從星期一往后數(shù)一天，即星期二。練習(xí)3：1.2002年1月1日是星期二，2002年的六月一日是星期幾？2. 如果今天是星期五，再過80天是

5、星期幾？3. 以今天為標(biāo)準(zhǔn)，算一算今年自己的生日是星期幾？A B C D E1 3 5 715 13 11 917 19 21 2331 29 27 25 【例題4】 將奇數(shù)如下圖排列，各列分別用A、B、C、D、E為代表，問：2001所在的列以哪個字母為代表？【思路導(dǎo)航】這列數(shù)按每8個數(shù)一組有規(guī)律排列著。2001是這一列數(shù)中的第1001個數(shù)，1001÷8=1251.即2001是這列數(shù)中第126組的第一個數(shù)，所以它所在的那一列是以字母B為代表的。練習(xí)4：1. 將偶數(shù)2、4、6、8、按下圖依次排列，2014出現(xiàn)在哪一列？2.把自然數(shù)按下列規(guī)律排列，865排在哪一列？A B C D E8

6、6 4 210 12 14 1624 22 20 1826 28 30 32 A B C D1 2 36 5 47 8 912 11 10 【例題5】 8888100個8÷7，當(dāng)商是整數(shù)時，余數(shù)是幾？【思路導(dǎo)航】從豎式中可以看出，被除數(shù)除以7，每次除得的余數(shù)以1、4、6、5、2、0不斷重復(fù)出現(xiàn)。我們可以用100除以6，觀察余數(shù)就知道所求問題了。100÷6=164余數(shù)是4說明當(dāng)商是整數(shù)時，余數(shù)是1、4、6、5、2、0中的第4個數(shù)，即5。練習(xí)5：1.4444100個4÷3當(dāng)商是整數(shù)時，余數(shù)是幾？2.4444100個4÷6當(dāng)商是整數(shù)時，余數(shù)是幾？課后作業(yè)思考題

7、第12講 盈虧問題一、知識要點盈虧問題又叫盈不足問題，是指把一定數(shù)量的物品平均分給固定的對象，如果按某種標(biāo)準(zhǔn)分，則分配后會有剩余（盈）；按另一種標(biāo)準(zhǔn)分，分配后又會有不足（虧），求物品的數(shù)量和分配對象的數(shù)量。例如：把一代餅干分給小班的小朋友，每人分3塊，多12塊；如果每人分4塊，少8塊。小朋友有多少人？餅干有多少塊？這種一盈一虧的情況，就是我們通常說的標(biāo)準(zhǔn)的盈虧問題。盈虧問題的基本數(shù)量關(guān)系是：（盈虧）÷兩次所分之差=人數(shù)；還有一些非標(biāo)準(zhǔn)的盈虧問題，它們被分為四類：1.兩盈：兩次分配都有多余；2.兩不足：兩次分配都不夠；3.盈適足：一次分配有余，一次分配夠分；4，不足適足：一次分配不夠，

8、一次分配正好。一些非標(biāo)準(zhǔn)的盈虧問題都是由標(biāo)準(zhǔn)的盈虧問題演變過來的。解題時我們可以記住：1.“兩虧”問題的數(shù)量關(guān)系是：兩次虧數(shù)的差÷兩次分得的差=參與分配對象總數(shù)；2.“兩盈”問題的數(shù)量關(guān)系是：兩次盈數(shù)的差÷兩次分得的差=參與分配對象總數(shù)；3.“一盈一虧”問題的數(shù)量關(guān)系是：盈與虧的和÷兩次分得的差=參與分配對象總數(shù)。二、精講精練【例題1】 某校乒乓球隊有若干名學(xué)生，如果少一名女生，增加一名男生，則男生為總數(shù)的一半；如果少一名男生，增加一名女生，則男生為女生人數(shù)的一半。乒乓球隊共有多少名學(xué)生？【思路導(dǎo)航】（1）由“少一個女生，增加一個男生，則男生為總?cè)藬?shù)的一半”可知：

9、女生比男生多2人；（2）“少一個男生，增加一個女生”后，女生就比男生多22=4人，這時男生為女生人數(shù)的一半，即現(xiàn)在女生有4×2=8人。原來女生有81=7人，男生有72=5人，共有75=12人。練習(xí)1：1.學(xué)校買來了白粉筆和彩色粉筆若干盒，如果白粉筆減少10盒，彩色粉筆增加8盒，兩種粉筆就同樣多；如果再買10盒白粉筆，白粉筆的盒數(shù)就是彩色粉筆的5倍。學(xué)校買來兩種粉筆各多少盒？2.操場上有兩堆貨物，如果甲堆增加80噸，乙堆增加25噸，則兩堆貨物一樣重；苦甲、乙兩堆各運走5噸，剩下的乙堆正好是甲堆的3倍。兩堆貨物一共有多少噸？【例題2】 幼兒園老師拿出蘋果發(fā)給小朋友。如果平均分給小朋友，則

10、少4個；如果每個小朋友只發(fā)給4個，則老師自己也能留下4個。有多少個小朋友？共有多少個蘋果？【思路導(dǎo)航】如果平均分給小朋友，則少4個，說明小朋友人數(shù)大于4；如果每個小朋友只發(fā)給4個，則教師也能留下4個，說明每人少拿若干個，就少拿44=8個蘋果。因為小朋友人數(shù)大于4，所以，一定是每人少拿1個，有8÷1=8個小朋友，有8×44=36個蘋果。練習(xí)2：1.給小朋友分梨，如果每人分4個，則多9個；如果每人分5個，則少6個。有多少個小朋友？有多少個梨？2.老把一些鉛筆獎給三好學(xué)生。每人5支則多4支，每人7支則少4支。老師有多少支鉛筆？獎給多少個三好學(xué)生？【例題3】 幼兒園老師將一筐蘋果分

11、給小朋友。如果分給大班的學(xué)生每人5個余10個；如果分給小班的學(xué)生每人8個缺2個。已知大班比小班多3人，這筐蘋果有多少個？【思路導(dǎo)航】如果大班減少3人，則大班和小班的人數(shù)同樣多。這樣，大班每人5個就多余3×510=25個。由于兩班人數(shù)相等，小班每人多分3個就要多分（252）個蘋果，用（252）÷（85）就能得到小班同學(xué)的人數(shù)是9人，再用9×82就求出了這筐蘋果有多少個。練習(xí)3：1.一些學(xué)生搬一批磚，每人搬4塊，其中5人要搬兩次；如果每人搬5塊，就有兩人沒有磚可搬。這些學(xué)生有多少人？這批磚有多少塊？2.老師給幼兒園小朋友分糖，每人3塊還多10塊；如果減少2個小朋友再分

12、，每人4塊還多7塊。原來有多少個小朋友？有多少塊糖？【例題4】 幼兒園教師把一箱餅干分給小班和中班的小朋友，平均每人分得6塊；如果只分給中班的小朋友，平均每人可以多分得4塊。如果只分給小班的小朋友，平均每人分得多少塊？【思路導(dǎo)航】這箱餅干分給小班和中班的小朋友，平均每人分得6塊，如果只分給中班的小朋友，平均每人可多分4塊。說明中班的人數(shù)是小班人數(shù)的6÷4=1.5倍。因此，這箱餅干分給小班的小朋友，每位小朋友可多分到6×1.5=9塊，一共可分到69=15塊餅干。練習(xí)4：1.老師把一批書借給甲組同學(xué)，平均每人借4本。如果只借給甲組的女同學(xué)，每人可借6本。如果只借給甲組的男生，平

13、均每人借到幾本？2.甲、乙兩組同學(xué)做紅花，每人做8朵，正好送給五年級每個同學(xué)一朵。如果把這些紅花讓甲組同學(xué)單獨做，每人要多做4朵。如果把這些紅花讓乙組同學(xué)單獨做，每人要做幾朵？【例題5】 全班同學(xué)去劃船，如果減少一條船，每條船正好坐9個同學(xué)；如果增加一條船，每條船正好坐6個同學(xué)。這個班有多少個同學(xué)？【思路導(dǎo)航】根據(jù)題意可知：每船坐9人，就能減少一條船，也就是少9個同學(xué)；每船坐6人，就要增加一條船，也就是多出6個同學(xué)。因此，每船坐9人比每船坐6人可多坐96=15人，15里面包含5個（96），說明有5條船。知道了有5條船，就可以求全班人數(shù)：9×（51）=36人。練習(xí)5：1.老師把一籃蘋果

14、分給小班的同學(xué)，如果減少一個同學(xué)，每個同學(xué)正好分得5個；如果增加一個同學(xué)，正好每人分得4個。這籃蘋果一共有多少個？2.五年級同學(xué)去劃船，如果增加一只船，正好每只船上坐7人；如果減少一只船，正好每只船上價8人。五年級共有多少人？課后作業(yè)思考題第13講 長方體和正方體（一）一、知識要點在數(shù)學(xué)競賽中，有許多有關(guān)長方體、正方體的問題。解答稍復(fù)雜的立體圖形問題要注意幾點：1.必須以基本概念和方法為基礎(chǔ)，同時把構(gòu)成幾何圖形的諸多條件溝通起來；2.依賴已經(jīng)積累的空間觀念，觀察經(jīng)過割、補后物體的表面積或體積所發(fā)生的變化；3.求一些不規(guī)則的物體體積時，可以通過變形的方法來解決。二、精講精練【例題1】 一個零件形

15、狀大小如下圖：算一算，它的體積是多少立方厘米？表面積是多少平方厘米？（單位：厘米）【思路導(dǎo)航】（1）可以把零件沿虛線分成兩部分來求它的體積，左邊的長方體體積是10×4×2=80（立方厘米），右邊的長方體的體積是10×（62）×2=80（立方厘米），整個零件的體積是80×2=160（立方厘米）；（2）求這個零件的表面積，看起來比較復(fù)雜，其實，朝上的兩個面的面積和正好與朝下的一個面的面積相等；朝右的兩個面的面積和正好與朝左的一個面的面積相等。因此，此零件的表面積就是（10×610×42×2）×2=232（平方

16、厘米）。想一想：你還能用別的方法來計算它的體積嗎？練習(xí)1：1.一個長5厘米，寬1厘米，高3厘米的長方體，被切去一塊后（如圖），剩下部分的表面積和體積各是多少？2.把一根長2米的長方體木料鋸成1米長的兩段，表面積增加了2平方分米，求這根木料原來的體積。3.有一個長8厘米，寬1厘米，高3厘米的長方體木塊，在它的左右兩角各切掉一個正方體（如圖），求切掉正方體后的表面積和體積各是多少？【例題2】 有一個長方體形狀的零件，中間挖去一個正方體的孔（如圖），你能算出它的體積和表面積嗎？（單位：厘米）【思路導(dǎo)航】（1）先求出長方體的體積，8×5×6=240（立方厘米），由于挖去了一個孔，所

17、以體積減少了2×2×2=8（立方厘米），這個零件的體積是2408=232（立方厘米）；（2）長方體完整的表面積是（8×58×66×5）×2=236（平方厘米），但由于挖去了一個孔，它的表面積減少了一個（2×2）平方厘米的面，同時又增加了凹進去的5個（2×2）平方厘米的面，因此，這個零件的表面積是2362×2×4=252（平方厘米）。練習(xí)2：1.有一個形狀如下圖的零件，求它的體積和表面積。（單位：厘米）。2.有一個棱長是4厘米的正方體，從它的一個頂點處挖去一個棱長是1厘米的正方體后，剩下物體的體積

18、和表面積各是多少？3.如果把上題中挖下的小正方體粘在另一個面上（如圖），那么得到的物體的體積和表面積各是多少？【例題3】 一個正方體和一個長方體拼成了一個新的長方體，拼成的長方體的表面積比原來的長方體的表面積增加了50平方厘米。原正方體的表面積是多少平方厘米？【思路導(dǎo)航】一個正方體和一個長方體拼成新的長方體，其表面積比原來的長方體增加了4塊正方形的面積，每塊正方形的面積是50÷4=12.5（平方厘米）。正方體有6個這樣的面，所以，原來正方體的表面積是12.5×6=75（平方厘米）。練習(xí)3：1.把兩個完全一樣的長方體木塊粘成一個大長方體，這個大長方體的表面積比原來兩個長方體的

19、表面積的和減少了46平方厘米，而長是原來長方體的2倍。如果拼成的長方體的長是24厘米，那么它的體積是多少立方厘米？2.一根長80厘米，寬和高都是12厘米的長方體鋼材，從鋼材的一端鋸下一個最大的正方體后，它的表面積減少了多少平方厘米？3.把4塊棱長都是2分米的正方體粘成一個長方體，它們的表面積最多會減少多少平方分米？【例題4】 把11塊相同的長方體磚拼成一個大長方體。已知每塊磚的體積是288立方厘米，求大長方體的表面積。【思路導(dǎo)航】要求大長方體的表面積，必須知道它的長、寬和高。我們用a、b、h分別表示小長方體的長、寬、高，顯然，a=4h，即h=1/4a,2a=3b即b=2/3a，磚的體積是a*2

20、/3a*1/4a=1/6a3。由1/6a3=288可知，a=12.b=2/3*12=8,h=1/4*12=3。大長方體的長是12×2=24厘米，寬12厘米，高是83=11厘米，表面積就不難求了。練習(xí)4：1.一塊小正方體的表面積是6平方厘米，那么，由1000個這樣的小正方體所組成的大正方體的表面積是多少平方厘米？2.一個長方體的體積是385立方厘米，且長、寬、高都是質(zhì)數(shù)，求這個長方體的表面積。3.有24個正方體，每個正方體的體積都是1立方厘米，用這些正方體可以拼成幾種不同的長方體？用圖畫出來。 【例題5】 一個長方體，前面和上面的面積之和是209平方厘米，這個長方體的長、寬、高以厘為為

21、單位的數(shù)都是質(zhì)數(shù)。這個長方體的體積和表面積各是多少？【思路導(dǎo)航】長方體的前面和上面的面積是長×寬長×高=長×（寬高），由于此長方體的長、寬、高用厘米為單位的數(shù)都是質(zhì)數(shù)，所以有209=11×19=11×（172），即長、寬、高分別為11、17、2厘米。知道了長、寬、高求體積和表面積就容易了。練習(xí)5：1.有一個長方體，它的前面和上面的面積和是88平方厘米，且長、寬、高都是質(zhì)數(shù)，那么這個長方體的體積是多少？2.一個長方體的長、寬、高是三個連續(xù)偶數(shù)，體積是96立方厘米，求它的表面積。3.一個長方體和一個正方體的棱長之長相等，已知長方體長、寬、高分別是6

22、分米、4分米、25分米，求正方體體積。課后作業(yè)思考題第14講 長方體和正方體（二）一、知識要點在長方體、正方體問題中，我們還會常常遇到這樣一些情況：把一個物體變形為另一種形狀的物體；把兩個物體熔化后鑄成一個物體；把一個物體浸入水中，物體在水中會占領(lǐng)一部分的體積。解答上述問題，必須掌握這樣幾點：1.將一個物體變形為另一種形狀的物體（不計損耗），體積不變；2.兩個物體熔化成一個物體后，新物體的體積是原來物體體積的和；3.物體浸入水中，排開的水的體積等于物體的體積。二、精講精練【例題1】 有兩個無蓋的長方體水箱，甲水箱里有水，乙水箱空著。從里面量，甲水箱長40厘米，寬32厘米，水面高20厘米；乙水箱

23、長30厘米，寬24厘米，深25厘米。將甲水箱中部分水倒入乙水箱，使兩箱水面高度一樣，現(xiàn)在水面高多少厘米？【思路導(dǎo)航】由于后來兩個水箱里的水面的高度一樣，我們可以這樣思考：把兩個水箱并靠在一起，水的體積就是（甲水箱的底面積+乙水箱的底面）×水面的高度。這樣，我們只要先求出原來甲水箱中的體積：40×32×20=25600（立方厘米），再除以兩只水箱的底面積和：40×3230×24=2000（平方厘米），就能得到后來水面的高度。練習(xí)1：1.有兩個水池，甲水池長8分米、寬6分米、水深3分米，乙水池空著，它長6分米、寬和高都是4分米。現(xiàn)在要從甲水池中抽一

24、部分水到乙水池，使兩個水池中水面同樣高。問水面高多少？2.有一個長方體水箱，從面量長40厘米、寬30厘米、深35厘米，箱中水面高10厘米。放進一個棱長20厘米的正方體鐵塊后，鐵塊頂面仍高于水面。這時水面高多少厘米？3.一段鋼材長15分米，橫截面面積是1.2平方分米。如果把它煅燒成一橫截面面積是0.1平方分米的鋼筋，求這根據(jù)鋼筋的長?！纠}2】 將表面積分別為54平方厘米、96平方厘米和150平方厘米的三個鐵質(zhì)正方體熔成一個大正方體（不計損耗），求這個大正方體的體積?！舅悸穼?dǎo)航】因為正方體的六個面都相等，而54=6×9=6×（3×3），所以這個正方體的棱是3厘米。用

25、同樣的方法求出另兩個正方體的棱長：96=6×（4×4），棱長是4厘米；150=6×（5×5），棱長是5厘米。知道了棱長就可以分別算出它們的體積，這個大正方體的體積就等于它們的體積和。練習(xí)2：1. 有三個正方體鐵塊，它們的表面積分別是24平方厘米、54平方厘米和294平方厘米?，F(xiàn)將三塊鐵熔成一個大正方體，求這個大正方體的體積。2.將表面積分別為216平方厘米和384平方厘米的兩個正方體鐵塊熔成一個長方體，已知這個長方體的長是13厘米，寬7厘米，求它的高?！纠}3】 有一個長方體容器，從里面量長5分米、寬4分米、高6分米，里面注有水，水深3分米。如果把一塊邊

26、長2分米的正方體鐵塊浸入水中，水面上升多少分米？【思路導(dǎo)航】鐵塊的體積是2×2×2=8（立方分米），把它浸入水中后，它就占了8立方分米的空間，因此，水上升的體積也就是8立方分米，用這個體積除以底面積（5×4）就能得到水上升的高度了。練習(xí)3：1. 有一個小金魚缸，長4分米、寬3分米、水深2分米。把一塊假山石浸入水中后，水面上升0.8分米。這塊假山石的體積是多少立方分米？2.有一個正方體容器，邊長是24厘米，里面注滿了水。有一根長50厘米，橫截面是12平方厘米的長方形的鐵棒，現(xiàn)將鐵棒垂直插入水中。問：會溶出多少立方厘米的水？【例題4】 有一個長方體容器（如下圖），長3

27、0厘米、寬20厘米、高10厘米，里面的水深6厘米。如果把這個容器蓋緊，再朝左豎起來，里面的水深應(yīng)該是多少厘米？【思路導(dǎo)航】首先求出水的體積：30×20×6=3600（立方厘米）。當(dāng)容器豎起來以后，水流動了，但體積沒有變，這時水的形狀是一個底面積是20×10=200平方厘米的長方體。只要用體積除以底面積就知道現(xiàn)在水的深度了。練習(xí)4：1.有兩個長方體水缸，甲缸長3分米，寬和高都是2分米；乙缸長4分米、寬2分米，里面的水深1.5分米。現(xiàn)把乙缸中的水倒進甲缸，水在甲缸里深幾分米？2.有一塊邊長2分米的正方體鐵塊，現(xiàn)把它煅造成一根長方體，這長方體的截面是一個長4厘米、寬2厘

28、米的長方形，求它的長?！纠}5】 長方體不同的三個面的面積分別為10平方厘米、15平方厘米和6平方厘米。這個長方體的體積是多少立方厘米？【思路導(dǎo)航】長方體不同的三個面的面積分別是長×寬、長×高、寬×高得來的。因此，15×10×6=（長×寬×高）×（長×寬×高），而15×10×6=900=30×30。所以，這個長方體的體積是30立方厘米。練習(xí)5：1. 一個長方體，不同的三個面的面積分別是25平方厘米、18平方厘米和8平方厘米，這個長方體的體積是多少立方厘米？2.一個長

29、方體，不同的三個面的面積分別是35平方厘米、21平方厘米和15平方厘米，且長、寬、高都是質(zhì)數(shù)，這個長方體的體積是多少立方厘米？課后作業(yè)思考題第15講 長方體和正方體(三)一、知識要點解答有關(guān)長方體和正方體的拼、切問題，除了要切實掌握長方體、正方體的特征，熟悉計算方法，仔細分析每一步操作后表面幾何體積的等比情況外，還必須知道：把一個長方體或正方體沿水平方向或垂直方向切割成兩部分，新增加的表面積等于切面面積的兩倍。二、精講精練【例題1】 一個棱長為6厘米的正方體木塊，如果把它鋸成棱長為2厘米的正方體若干塊，表面積增加多少厘米？【思路導(dǎo)航】把棱長為6厘米的正方體鋸成棱長為2厘米的正方體，可以按下圖中

30、的線共鋸6次，每鋸一次就增加兩個6×6=36平方厘米的面，鋸6次共增加36×2×6=432平方厘米的面積。因此，鋸好后表面積增加432平方厘米。練習(xí)1：1.把27塊棱長是1厘米的小正方體堆成一個大正方體，這個大正方體的表面積比原來所有的小正方體的表面積之和少多少平方厘米？2.有一個棱長是1米的正方體木塊，如果把它鋸成體積相等的8個小正方體，表面積增加多少平方米？3.把一個正方體的六個面都涂上紅色，然后把它鋸兩次鋸成4個同樣的小長方體，沒有涂顏色的面積是60平方厘米。求涂上紅色的面積一共是多少平方厘米？【例題2】 有一個正方體木塊，把它分成兩個長方體后，表面積增加了

31、24平方厘米，這個正方體木塊原來的表面積是多少平方厘米？【思路導(dǎo)航】把正方體分成兩個長方體后，增加了兩個面，每個面的面積是24÷2=12平方厘米，而正方體有6個這樣的面。所以原正方體的表面積是12×6=72平方厘米。練習(xí)2：1.把三個棱長都是2厘米的正方體拼成一個長方體，這個長方體的表面積是多少平方厘米？2.有一個正方體木塊，長4分米、寬3分米、高6分米，現(xiàn)在把它鋸成兩個長方體，表面積最多增加多少平方分米？3.有三塊完全一樣的長方體積木，它們的長是8厘米、寬4厘米、高2厘米，現(xiàn)把三塊積木拱成一個大的長方體，怎樣搭表面積最大？最大是多少平方厘米？【例題3】 有一個正方體，棱長

32、是3分米。如果按下圖把它切成棱長是1分米的小正方體，這些小正方體的表面積的和是多少？想一想：在切的過程中，每切一切，就會增加兩個3×3平方分米的面，你能用這種思路來計算所求問題嗎？練習(xí)3：1.用棱長是1厘米的小正方體擺成一個稍大一些的正方體，至少需要多少個小正方體？如果要擺一個棱長是6厘米的正方體，需要多少個小正方體？2.有一個長方體，長10厘米、寬6厘米、高4厘米，如果把它鋸成棱長是1厘米的小正方體，一共能鋸多少個？這些小正方體的表面積和是多少？3.把24個棱長是1厘米的小正方體擺成一個長方體，這個長方體的表面積至少是多少平方厘米？【例題4】 一個正方體的表面涂滿了紅色，然后如下圖

33、切開，切開的小正方體中：（1）三個面涂有紅色的有幾個？（2）二個面涂有紅色的有幾個？（3）一個面涂有紅色的有幾個？（4）六個面都沒有涂色的有幾個？【思路導(dǎo)航】按題中的要求切，切成的小正方體一共有3×3×3=27個。（1）三個面涂有紅色的小正方體在大正方體的頂點處，共有8個；（2）二個面涂有紅色的小正方體在大正方體的棱上，共有1×12=12個；（3）一個面涂有紅色的小正方體在大正方體的六個面上，共有1×6=6個；（4）六個面都沒有涂色的在大正方體的中間，有27（8126）=1個。練習(xí)4：1.把一個棱長是5厘米的正方體的六個面涂滿紅色，然后切成1立方厘米的小

34、正方體，這些小正方體中，一面涂紅色的、二面涂紅色的、三面涂紅色的以及六個面都沒有涂色的各有多少個？2.把若干個體積相同的小正方體堆成一個大的正方體，然后在大正方體的表面涂上顏色，已知兩面被涂上紅色的小正方體共有24個，那么，這些小正方體一共有多少個？3.把1立方米的正方體木塊的表面涂上顏色，然后切成1立方分米的小正方體，在這些小正方體中，六個面都沒有涂色的有多少個？【例題5】 一個長方體的長、寬、高分別是6厘米、5厘米和4厘米，若把它切割成三個體積相等的小長方體，這三個小長方體表面積的和最大是多少平方厘米？【思路導(dǎo)航】這個長方體原來的表面積是（6×56×45×4）

35、×2=148平方厘米，每切割一刀，增加2個面。切成三個體積相等的小長方體要切2刀，一共增加2×2=4個面。要求表面積和最大，應(yīng)該增加4個6×5=30平方厘米的面。所以，三個小長方體表面積和最大是1486×5×4=268平方厘米。練習(xí)5：1.有三塊完全一樣的長方體木塊，每塊長8厘米、寬5厘米、高3厘米。要把它們粘成一個大的長方體，這個長方體的表面積最大是多少平方厘米？最小是多少平方厘米？2.把8個同樣大小的小正方體拼成一個大正方體，已知每個小正方體的表面積是72平方厘米，拼成的大正方體的表面積是多少平方厘米？3.把一個長、寬、高分別為7厘米、6厘

36、米、5厘米的長方體，截成兩個長方體，使這兩個長方體的表面積的和最大，求它們的表面積和是多少平方厘米？課后作業(yè)思考題第16講 組合圖形面積（一）一、知識要點組合圖形是由兩個或兩個以上的簡單的幾何圖形組合而成的。組合的形式分為兩種：一是拼合組合，二是重疊組合。由于組合圖形具有條件相等的特點，往往使得問題的解決無從下手。要正確解答組合圖形的面積，應(yīng)該注意以下幾點：1.切實掌握有關(guān)簡單圖形的概念、公式，牢固建立空間觀念；2.仔細觀察，認真思考，看清所求圖形是由哪幾個基本圖形組合而成的；3.適當(dāng)采用增加輔助線等方法幫助解題；4，采用割、補、分解、代換等方法，可將復(fù)雜問題變得簡單。二、精講精練【例題1】

37、一個等腰直角三角形，最長的邊是12厘米，這個三角形的面積是多少平方厘米？【思路導(dǎo)航】 由于此三角形中只知道最長的邊是12厘米，所以，不能用三角形的面積公式來計算它的面積。我們可以假設(shè)有4個這樣的三角形，且拼成了下圖正方形。顯然，這個正方形的面積是12×12.那么，一個三角形的面積就是12×12÷4=36平方厘米。練習(xí)1：1.求四邊形ABCD的面積。（單位：厘米）2.已知正方形ABCD的邊長是7厘米，求正方形EFGH的面積。3.有一個梯形，它的上底是5厘米，下底7厘米。如果只把上底增加3厘米，那么面積就增加4.5平方厘米。求原來梯形的面積。【例題2】 正圖正方形中套

38、著一個長方形，正方形的邊長是12厘米，長方形的四個角的頂點把正方形的四條邊各分成兩段，其中長的一段是短的2倍。求中間長方形的面積?！舅悸穼?dǎo)航】圖中的兩個小三角形平移后可拼得一個小正方形，兩個大三角形平移后可拼得一個大正方形。這兩個正方形的邊長分別是12÷（12）=4（厘米）和4×2=8（厘米）。中間長方形的面積只要用總面積減去這兩個拼起來的正方形的面積就可以得到。即：12×12（4×48×8）=64（平方厘米）練習(xí)2：1.（如下圖）已知大正方形的邊長是12厘米，求中間最小正方形的面積。2.正圖長方形ABCD的面積是16平方厘米，E、F都是所在邊

39、的中點，求三角形AEF的面積。3.求下圖（上右圖）長方形ABCD的面積（單位：厘米）。【例題3】 四邊形ABCD和四邊形DEFG都是正方形，已知三角形AFH的面積是7平方厘米。三角形CDH的面積是多少平方厘米？【思路導(dǎo)航】設(shè)大正方形的邊長是a，小正方形的邊長是b。（1）梯形EFAD的面積是（a+b）×b÷2.三角形EFC的面積也是（a+b）×b÷2。所以，兩者的面積相等。（2）因為三角形AFH的面積=梯形EFAD的面積梯形EFHD的面積，而三角形CDH的面積=三角形EFC的面積梯形EFHD的面積，所以，三角形CDH的面積與三角形AFH的面積相等，也是7平

40、方厘米。練習(xí)3：1.圖中兩個正方形的邊長分別是6厘米和4厘米，求陰影部分的面積。2.下圖中兩個完全一樣的三角形重疊在一起，求陰影部分的面積。（單位：厘米）3.下圖中，甲三角形的面積比乙三角形的面積大多少平方厘米？【例題4】 下圖中正方形的邊長為8厘米，CE為20厘米，梯形BCDF的面積是多少平方厘米？【思路導(dǎo)航】要求梯形的面積，關(guān)鍵是要求出上底FD的長度。連接FC后就能得到一個三角形EFC，用三角形EBC的面積減去三角形FBC的面積就能得到三角形EFC的面積：8×20÷28×8÷2=48平方厘米。FD=48×2÷20=4.8厘米，所求

41、梯形的面積就是（4.88）×8÷2=51.2平方厘米。練習(xí)4：1.如下圖，正方形ABCD中，AB=4厘米，EC=10厘米，求陰影部分的面積。2.在一個直角三角形鐵皮上剪下一塊正方形，并使正方形面積盡可能大，正方形的面積是多少？（單位：厘米）3.圖中BC=10厘米，EC=8厘米，且陰影部分面積比三角形EFG的面積大10平方厘米。求平行四邊形的面積?！纠}5】 圖中ABCD是長方形，三角形EFD的面積比三角形ABF的面積大6平方厘米，求ED的長?！舅悸穼?dǎo)航】因為三角形EFD的面積比三角形ABF的面積大6平方厘米，所以，三角形BCE的面積比長方形ABCD的面積大6平方厘米。三角形

42、BCE的面積是6×46=30平方厘米，EC的長則是30×2÷6=10厘米。因此，ED的長是104=6厘米。練習(xí)5：1.如圖，平行四邊形BCEF中，BC=8厘米，直角三角形中，AC=10厘米，陰影部分面積比三角形ADH的面積大8平方厘米。求AH長多少厘米？2.圖中三個正方形的邊長分別是1厘米、2厘米和3厘米，求圖中陰影部分的面積。3.正方形的邊長是2(a+b)，已知圖中陰影部分B的面積是7平方厘米，求陰影部分A和C的和是多少平方厘米？ 第17講 組合圖形的面積（二）一、知識要點在組合圖形中，三角形的面積出現(xiàn)的機會很多，解題時我們還可以記住下面三點：1.兩個三角形等底

43、、等高，其面積相等；2.兩個三角形底相等，高成倍數(shù)關(guān)系，面積也成倍數(shù)關(guān)系；3.兩個三角形高相等，底成倍數(shù)關(guān)系，面積也成倍數(shù)關(guān)系。二、精講精練【例題1】 如圖，ABCD是直角梯形，求陰影部分的面積和。（單位：厘米）【思路導(dǎo)航】按照一般解法，首先要求出梯形的面積，然后減去空白部分的面積即得所求面積。其實，只要連接AC，顯然三角形AEC與三角形DEC同底等高其面積相等，這樣，我們把兩個陰影部分合成了一個三角形ABC。面積是：6×3÷2=9平方厘米。練習(xí)1：1.求下圖中陰影部分的面積。2.求圖中陰影部分的面積。（單位：厘米）3.下圖的長方形是一塊草坪，中間有兩條寬1米的走道，求植草的面積?！纠}2】 下圖中，邊長為10和1