初中數(shù)學因式分解的常用方法(精華例題詳解)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上初中階段因式分解的常用方法（例題詳解）因式分解是把一個多項式分解成幾個整式乘積的形式，它和整式乘法互為逆運算，在初中代數(shù)中占有重要的地位和作用，在其它學科中也有廣泛應用，學習本章知識時，應注意以下幾點。  1. 因式分解的對象是多項式；  2. 因式分解的結果一定是整式乘積的形式；  3. 分解因式，必須進行到每一個因式都不能再分解為止；  4. 公式中的字母可以表示單項式，也可以表示多項式；  5. 結果如有相同因式，應寫成冪的

2、形式；  6. 題目中沒有指定數(shù)的范圍，一般指在有理數(shù)范圍內(nèi)分解；  7. 因式分解的一般步驟是：  （1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“變”的步驟。即首先看有無公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前兩個步驟都不能實施，可用分組分解法，分組的目的是使得分組后有公因式可提或可利用公式法繼續(xù)分解； （2）若上述方法都行不通，可以嘗試用配方法、換元法、待定系數(shù)法、試除法、拆項（添項）等方法. 因式分解的方法多種多樣，現(xiàn)將初中階段因式分解的常用方法總結如下：一、提公因式法. 如多項式其中m叫做這個多項式各

3、項的公因式， m既可以是一個單項式，也可以是一個多項式二、運用公式法.運用公式法，即用 寫出結果三、分組分解法.（一）分組后能直接提公因式例1、分解因式：分析：從“整體”看，這個多項式的各項既沒有公因式可提，也不能運用公式分解，但從“局部”看，這個多項式前兩項都含有a，后兩項都含有b，因此可以考慮將前兩項分為一組，后兩項分為一組先分解，然后再考慮兩組之間的聯(lián)系。解：原式= = 每組之間還有公因式！ = 思考：此題還可以怎樣分組？此類型分組的關鍵：分組后，每組內(nèi)可以提公因式，且各組分解后，組與組之間又有公因式可以提。例2、分解因式：解法一：第一、二項為一組； 解法二：第一、四項為一組；第三、四項

4、為一組。 第二、三項為一組。解：原式= 原式= = = = =練習：分解因式1、 2、（二）分組后能直接運用公式 例3、分解因式：分析：若將第一、三項分為一組，第二、四項分為一組，雖然可以提公因式，但提完后就能繼續(xù)分解，所以只能另外分組。 解：原式= = = 例4、分解因式： 解：原式= = =注意這兩個例題的區(qū)別！練習：分解因式3、 4、綜合練習：（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）（9） （10）（11）（12）四、十字相乘法.（一）二次項系數(shù)為1的二次三項式直接利用公式進行分解。特點：（1）二次項系數(shù)是1； （2）常數(shù)項是兩個數(shù)的乘積；（3）一次項系數(shù)是常數(shù)項的兩因數(shù)

5、的和。 例5、分解因式：分析：將6分成兩個數(shù)相乘，且這兩個數(shù)的和要等于5。 由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，從中可以發(fā)現(xiàn)只有2×3的分解適合，即2+3=5。 1 2解：= 1 3 = 1×2+1×3=5用此方法進行分解的關鍵：將常數(shù)項分解成兩個因數(shù)的積，且這兩個因數(shù)的代數(shù)和要等于一次項的系數(shù)。例6、分解因式：解：原式= 1 -1 = 1 -6 （-1）+（-6）= -7練習5、分解因式(1) (2) (3)練習6、分解因式(1) (2) (3)（二）二次項系數(shù)不為1的二次三項式條件：（1） （

6、2） （3） 分解結果：=例7、分解因式：分析： 1 -2 3 -5 （-6）+（-5）= -11解：=練習7、分解因式：（1） （2） （3） （4）（三）二次項系數(shù)為1的齊次多項式例8、分解因式：分析：將看成常數(shù)，把原多項式看成關于的二次三項式，利用十字相乘法進行分解。 1 8b 1 -16b 8b+(-16b)= -8b 解：= =練習8、分解因式(1)(2)(3)（四）二次項系數(shù)不為1的齊次多項式例9、 例10、 1 -2y 把看作一個整體 1 -1 2 -3y 1 -2 (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解：原式= 解：原式=練習9、分解因式：（1） （2

7、）綜合練習10、（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7）（8）（9）（10）思考：分解因式：五、主元法. 例11、分解因式： 5 -2解法一：以為主元 2 -1 解：原式= (-5)+(-4)= -9 = 1 -(5y-2) = 1 (2y-1) = -(5y-2)+(2y-1)= -(3y-1)解法二：以為主元 1 -1 解：原式= 1 2 = -1+2=1= 2 (x-1)= 5 -(x+2) = 5(x-1)-2(x+2)=(3x-9)練習11、分解因式(1) (2)(3) (4)六、雙十字相乘法。定義：雙十字相乘法用于對型多項式的分解因式。條件：（1），（2），即： ，則例12

8、、分解因式（1） （2）解：（1）應用雙十字相乘法： ，原式= （2）應用雙十字相乘法： ，原式=練習12、分解因式（1） （2）七、換元法。例13、分解因式（1） （2）解：（1）設2005=，則原式= = =（2）型如的多項式，分解因式時可以把四個因式兩兩分組相乘。 原式=設，則原式= =練習13、分解因式（1）（2） （3）例14、分解因式（1）觀察：此多項式的特點是關于的降冪排列，每一項的次數(shù)依次少1，并且系數(shù)成“軸對稱”。這種多項式屬于“等距離多項式”。方法：提中間項的字母和它的次數(shù)，保留系數(shù)，然后再用換元法。解：原式=設，則原式= = = = （2）解：原式= 設，則 原式= =練習14、（1）（2）八、添項、拆項、配方法。 例15、分解因式（1） 解法1拆項。 解法2添項。原式= 原式= = = = = = = =（2）解：原式=練習15、分解因式（1） （2）（3） （4）（5） （6）九、待定系數(shù)法。例16、分解因式分析：原式的前3項可以分為，則原多項式必定可分為解：設=對比左右兩邊相同項的系數(shù)可得，解得原式=例17、（1）當為何值時，多項式能分解因式，并分解此多項式。 （2）如果有兩個因式為和，求的值。（1）分析：前兩項可以分解為，故此多項式分解的形式必為解：設= 則=比較對應的系數(shù)可得：，解得：或當時，原多項式可以分解；當時，原式=；當時，原式=（2）分