三維坐標(biāo)變換

1、第二章 三維觀察1. 三維觀察坐標(biāo)系1.1觀察坐標(biāo)系 為了在不同的距離和角度上觀察物體，需要在用戶坐標(biāo)系下建立觀察坐標(biāo)系xv,yv,zv(通常是右手坐標(biāo)系)也稱(View Reference Coordinate)。如下圖所示，其中，點(diǎn)p0(xo, yo, z0)為觀察參考點(diǎn)（View Reference Point），它是觀察坐標(biāo)系的原點(diǎn)。圖1.1 用戶坐標(biāo)系與觀察坐標(biāo)系依據(jù)該坐標(biāo)系定義垂直于觀察坐標(biāo)系z(mì)v軸的觀察平面(view palne)，有時(shí)也稱投影平面(projection plane)。圖1.2 沿zv軸的觀察平面 1.2觀察坐標(biāo)系的建立 觀察坐標(biāo)系的建立如下圖所示：圖1.3 法矢

2、量的定義 觀察平面的方向及zv軸可以定義為觀察平面(view plane)N法矢量N: 在用戶坐標(biāo)系中指定一個(gè)點(diǎn)為觀察參考點(diǎn)，然后在此點(diǎn)指定法矢量N，即zv軸的正向。法矢量V：確定了矢量N后，再定義觀察正向矢量V，該矢量用來(lái)建立yv軸的正向。通常的方法是先選擇任一不平行于N的矢量V，然后由圖形系統(tǒng)使該矢量V投影到垂直于法矢量N的平面上，定義投影后的矢量為矢量V。法矢量U：利用矢量N和V，可以計(jì)算第三個(gè)矢量U，對(duì)應(yīng)于xz軸的正向。 的指定視圖投影到顯示設(shè)備表面上的過(guò)程來(lái)處理對(duì)象的描述。2. 世界坐標(biāo)系 在現(xiàn)實(shí)世界中，所有的物體都具有三維特征，但是計(jì)算機(jī)本身只能處理數(shù)字，顯示二維的圖形，將三維物體

3、和二維數(shù)據(jù)聯(lián)系到一起的唯一紐帶就是坐標(biāo)。為了使被顯示的物體數(shù)字化，要在被顯示的物體所在的空間中定義一個(gè)坐標(biāo)系。該坐標(biāo)系的長(zhǎng)度單位和坐標(biāo)軸的方向要適合被顯示物體的描述。該坐標(biāo)系被稱為世界坐標(biāo)系，世界坐標(biāo)系是固定不變的。 OpenGL中世界坐標(biāo)用來(lái)描述場(chǎng)景的坐標(biāo)，Z+軸垂直屏幕向外，X+從左到右，Y+軸從下到上。世界坐標(biāo)系是右手笛卡爾坐標(biāo)系統(tǒng)。我們用這個(gè)坐標(biāo)系來(lái)描述物體及光源的位置。世界坐標(biāo)系以屏幕中心為原點(diǎn)(0,0,0)，長(zhǎng)度單位這樣來(lái)定： 窗口范圍按此單位恰好是(-1,-1)到(1,1)。 3. 世界坐標(biāo)系到觀察坐標(biāo)系 在三維觀察流水線中，場(chǎng)景構(gòu)造完成后的第一步工作是將對(duì)象描述變換到觀察坐標(biāo)系

4、中。對(duì)象描述的轉(zhuǎn)換等價(jià)于將觀察坐標(biāo)系疊加到世界坐標(biāo)系的一連串變換。1. 平移觀察坐標(biāo)原點(diǎn)到世界坐標(biāo)系原點(diǎn)。2. 進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，分別讓xview、yview和zview軸對(duì)應(yīng)到世界坐標(biāo)的xw、yw、zw軸。如果指定世界坐標(biāo)點(diǎn)P=(x0,y0,z0)為觀察坐標(biāo)原點(diǎn)，則將觀察坐標(biāo)系原點(diǎn)移到世界坐標(biāo)系原點(diǎn)的變換是將觀察坐標(biāo)系疊加到世界坐標(biāo)系的組合旋轉(zhuǎn)變換矩陣使用單位向量u、v和n來(lái)形成。該變換矩陣為這里，矩陣R的元素是uvn軸向量的分量。將前面的平移和旋轉(zhuǎn)矩陣乘起來(lái)獲得坐標(biāo)變換矩陣：=該矩陣中的平移因子按u、v、n和P0的向量點(diǎn)積計(jì)算而得，P0代表從世界坐標(biāo)系原點(diǎn)到觀察原點(diǎn)的向量。換句話說(shuō)，平移因子實(shí)在每

5、一軸上的負(fù)投影(觀察坐標(biāo)系中的負(fù)分量P0)。這些矩陣元素的取值為矩陣將世界坐標(biāo)系中的對(duì)象描述變換到觀察坐標(biāo)系。4. 投影變換對(duì)象描述變換到觀察坐標(biāo)后，下一階段是將其投影到觀察平面上。投影變換就是把三維立體（或物體）投射到投影面上得到二維平面圖形。平面幾何投影主要指平行投影、透視投影以及通過(guò)這些投影變換而得到的三維立體的常用平面圖形：三視圖、軸視圖以及透視圖。 圖形軟件一般都支持平行投影和透視投影兩種方式。 在平行投影中(parallel projection)中，坐標(biāo)位置沿平行線變換到觀察平面上。圖4.1給出了用端點(diǎn)坐標(biāo)P1和P2描述的線段的平行投影。平行投影保持對(duì)象的相關(guān)比例不變，這是三維對(duì)

6、象計(jì)算機(jī)輔助繪圖和設(shè)計(jì)中產(chǎn)生成比例工程圖的方法。場(chǎng)景中的平行線在平行投影中顯示成平行的。一般有兩種獲得對(duì)象平行視圖的方法：沿垂直于觀察平面的直線投影，或沿某傾斜角度投影到觀察平面。圖4.1 線段到觀察平面的平行投影在透視投影(perspective projection)中，對(duì)象位置沿會(huì)聚到觀察平面后一點(diǎn)的直線變換到投影坐標(biāo)系。圖4.2給出了用端點(diǎn)坐標(biāo)P1和P2描述的線段的透視投影。與平行投影不同的是，透視投影不保持對(duì)象的相關(guān)比例。但場(chǎng)景的透視投影真實(shí)感教好，因?yàn)樵谕敢曪@示中較遠(yuǎn)的對(duì)象減小了尺寸。圖4.2 線段到觀察平面的透視投影5. 正投影對(duì)象描述沿與投影平面法向量平行的方向到投影平面上的變

7、換稱為正投影(orthogonal projection;或正交投影，orthographic projection)。這生成一個(gè)平行投影變換，其中投影線與投影平面垂直。正投影常常用來(lái)生成對(duì)象的前視圖、側(cè)視圖和頂視圖，如圖5.1所示，前、側(cè)和后方向的正投影稱為立面圖，頂部正投影稱為平面圖。工程和建筑繪圖通常使用正投影，因?yàn)榭梢跃_地繪出長(zhǎng)度和角度，并能從圖中測(cè)量出這些值。圖5.1 對(duì)象的正投影，顯示了平面圖和立面圖6. 斜投影斜投影是將三維形體向一個(gè)單一的投影面作平行投影，但投影方向不垂直于投影面所得到的平面圖形。常選用垂直于某個(gè)主軸的投影面，使得平行于投影面的形體表面可以進(jìn)行距離和角度的測(cè)量

8、。斜投影的特點(diǎn)：既可以進(jìn)行測(cè)量又可以同時(shí)反映三維形體的多個(gè)面，具有立體效果。常用的斜軸測(cè)圖有斜等測(cè)圖和斜二測(cè)圖，如下圖所示。圖6.1 斜投影斜等側(cè)投影：投影方向與投影平面成450的斜平行投影，它保持平行投影平面和垂直投影平面的線的投影長(zhǎng)度不變。斜二側(cè)投影：與投影平面成arctg(1/2)角的斜平行投影，它使垂直投影平面的線產(chǎn)生長(zhǎng)度為原1/2的投影線。7. 透視投影透視投影基本符合人類的視覺(jué)習(xí)慣，同樣尺寸的物體離視點(diǎn)近的比離視點(diǎn)遠(yuǎn)的大，遠(yuǎn)到極點(diǎn)即消失。以透視方式在計(jì)算機(jī)屏幕上觀察物體，就如同透過(guò)一個(gè)完全透明的四方玻璃片看東西一樣。想象有一條從眼睛到物體的線，這條直線穿過(guò)玻璃，并在玻璃上涂上一個(gè)與

9、物體顏色相同的點(diǎn)。如果對(duì)所有穿過(guò)玻璃的線都這樣做，并且保持眼睛不動(dòng)，那么玻璃片上的圖像就是透視變換后得到的圖像，這塊玻璃片就是窗口。正如人眼睛不能聚焦到非常近或非常遠(yuǎn)的物體一樣，透視投影有2個(gè)剪切面近剪切面和遠(yuǎn)剪切面，分別將離視點(diǎn)太近和太遠(yuǎn)的物體部分或全部地剪切掉。透視投影的特點(diǎn)是距離視點(diǎn)近的物體大，距離視點(diǎn)遠(yuǎn)的物體小，遠(yuǎn)到極點(diǎn)即為消失。它的觀察空間是一個(gè)頂部和底部都被切除掉的棱椎，也就是棱臺(tái)。OpenGL透視投影函數(shù)也有兩個(gè)，其中一個(gè)函數(shù)是：void glFrustum(GLdouble left,GLdouble Right,GLdouble bottom,GLdouble top,GLd

10、ouble near,GLdouble far);此函數(shù)創(chuàng)建一個(gè)透視投影的有限觀察空間。它的參數(shù)只定義近裁剪平面的左下角點(diǎn)和右上角點(diǎn)的三維空間坐標(biāo)，即（left，bottom，-near）和（right，top，-near）；最后一個(gè)參數(shù)far是遠(yuǎn)裁剪平面的Z負(fù)值，其左下角點(diǎn)和右上角點(diǎn)空間坐標(biāo)由函數(shù)根據(jù)透視投影原理自動(dòng)生成。near和far表示離視點(diǎn)的遠(yuǎn)近，它們總為正值。另一個(gè)函數(shù)是： void gluPerspective(GLdouble fovy,GLdouble aspect,GLdouble zNear, GLdouble zFar);它也創(chuàng)建一個(gè)透視投影的有限觀察空間，但它的參數(shù)定

11、義于前面的不同，如圖7-39所示，參數(shù)fovy定義視野在X-Z平面（垂直方向上的可見區(qū)域）的角度，范圍是0.0, 180.0；參數(shù)aspect是投影平面的縱橫比（寬度與高度的比值）；參數(shù)zNear和Far分別是遠(yuǎn)近裁剪面沿Z負(fù)軸到視點(diǎn)的距離，它們總為正值。圖7.1 透視投影的觀察空間8. 視口變換和三維屏幕坐標(biāo)系視口變換類似于照片沖洗過(guò)程中的照片裁剪。在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，視口是繪制圖像的句型區(qū)域。視口以窗口坐標(biāo)來(lái)定義，它表示圖像相對(duì)于窗口左下角的位置。進(jìn)行視口變換時(shí)，所有頂點(diǎn)都已經(jīng)經(jīng)過(guò)幾何變換，并且位于取景器之外的圖像已經(jīng)被剪切掉了。8.1 定義視口 打開一個(gè)窗口時(shí)，系統(tǒng)自動(dòng)地將視口設(shè)置為整個(gè)窗

12、口的大小。在OpenGL中可以用glViewport()函數(shù)來(lái)設(shè)置一個(gè)較小的繪圖區(qū)域，該函數(shù)的原型如下：void glViewport(GLint x,GLint y,GLsizei width,GLsizei height);該函數(shù)的功能是設(shè)置窗口。x，y指定一個(gè)視口像素矩形的左下角，其初始值是(0,0)。width,height指定一個(gè)視口的寬度和高度。當(dāng)一個(gè)OpenGL環(huán)境被第一次連接到一個(gè)窗口時(shí)，參數(shù)width和height按此窗口的大小設(shè)置。該函數(shù)為x和y指定了一種由標(biāo)準(zhǔn)化的設(shè)備坐標(biāo)到窗口坐標(biāo)的映射幾何轉(zhuǎn)化。設(shè)(xnd,ynd)是標(biāo)準(zhǔn)化的設(shè)備坐標(biāo)，則窗口坐標(biāo)(xw,yw)可由下式求得

13、：視口的寬度和高度被默認(rèn)為地截?cái)嗟揭欢ǖ姆秶?，具體范圍值由所處環(huán)境決定。可調(diào)用函數(shù)glGet(GL_MAX_VIEWPORT_DIMS)查詢這一范圍值。視口的高寬比一般與投影取景器的高寬比相同，否則會(huì)造成圖像的變形。在程序的運(yùn)行過(guò)程中，可能會(huì)改變窗口的大小，因此程序應(yīng)該始終檢測(cè)到這種變化，并作相應(yīng)的處理。8.2 變換z坐標(biāo) 在視口變換中，z坐標(biāo)或深度坐標(biāo)被編碼并被存儲(chǔ)起來(lái)。在OpenGL中可以使用glDepthRange()函數(shù)縮放z坐標(biāo)的值，使它處于所要求的范圍內(nèi)。該函數(shù)的原型為：void glDepthRange(GLclamped zNear,GLclamped zFar);該函數(shù)的功能是指定一種從歸一化深度坐標(biāo)到窗口深度坐標(biāo)的映射方法。zNear指定從最近的剪切平面到窗口坐標(biāo)的映射，其缺省值為0.zFar指定從最遠(yuǎn)的剪切平面到窗口坐標(biāo)的映射，其缺省值為1。深度坐標(biāo)在剪切和除以w后，其范圍將變?yōu)?1,1。其中-1和1分別與最近和最遠(yuǎn)的剪切平面相對(duì)應(yīng)