七年級數(shù)學(xué)知識點整理未完

1、第1章 有理數(shù)1.1正數(shù)和負(fù)數(shù)正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念像3，2，1.8這樣大于0的數(shù)叫做正數(shù)根據(jù)需要有時在正數(shù)前面加上正號“+”，例如：+2,+3,+0.3,+1/7'.正數(shù)前面的正號“+”，一般省略不寫。像-3,-2,-2.7這樣在正數(shù)前面叫上負(fù)號“-”的數(shù)叫做負(fù)數(shù)負(fù)數(shù)前面的負(fù)號不能省略。一個數(shù)前面的“+”“-”叫做它的符號，“-”讀作“負(fù)”，如“-3”讀作“負(fù)三”，“+”讀作“正”，如“+2008”讀作“正二千零八”注意：字母a可以表示任意數(shù)，當(dāng)a表示正數(shù)時，-a是負(fù)數(shù)；當(dāng)a表示負(fù)數(shù)時，-a是正數(shù)；當(dāng)a表示0時，-a仍是0。（如果出判斷題為：帶正號的數(shù)是正數(shù)，帶負(fù)號的數(shù)是負(fù)數(shù)，這種說法是錯

2、誤的，例如+a,-a就不能做出簡單判斷）正數(shù)有時也可以在前面加“+”，有時“+”省略不寫。所以省略“+”的正數(shù)的符號是正號。2. 具有相反意義的量若正數(shù)表示某種意義的量，則負(fù)數(shù)可以表示具有與該正數(shù)相反意義的量，比如：零上8表示為：+8零下8表示為：-8常見的表示具有相反意義的量有：零上和零下、前進(jìn)和后退、海平面以上和海平面一下、收入和支出、向南和向北、盈利和虧損、升高和下降。3.0表示的意義0表示“ 沒有”，如教室里有0個人，就是說教室里沒有人；0是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界線，0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)。如：水位上升5m時水位變化記作+5m，水位下降3m時水位變化記作-3m，0m表示水位不升不降。1.2

3、有理數(shù)有理數(shù)1. 有理數(shù)的概念正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)（0和正整數(shù)統(tǒng)稱為自然數(shù)）正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為分?jǐn)?shù)正整數(shù)，0，負(fù)整數(shù)，正分?jǐn)?shù)，負(fù)分?jǐn)?shù)都可以寫成分?jǐn)?shù)的形式，這樣的數(shù)稱為有理數(shù)。（理解：只有能化成分?jǐn)?shù)的數(shù)才是有理數(shù)。是無限不循環(huán)小數(shù)，不能寫成分?jǐn)?shù)形式，不是有理數(shù)。有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都可化成分?jǐn)?shù)，都是有理數(shù)。）注意：引入負(fù)數(shù)以后，奇數(shù)和偶數(shù)的范圍也擴(kuò)大了，像-2,-4,-6,-8也是偶數(shù)，-1,-3,-5也是奇數(shù)。2. 有理數(shù)的分類按有理數(shù)的意義分類 按正、負(fù)來分 正整數(shù) 正整數(shù) 整數(shù) 0 正有理數(shù) 負(fù)整數(shù) 正分?jǐn)?shù)有理數(shù) 有理數(shù) 0 （0不能忽視） 正分?jǐn)?shù) 負(fù)整數(shù) 分?jǐn)?shù) 負(fù)有理數(shù) 負(fù)分

4、數(shù) 負(fù)分?jǐn)?shù)總結(jié)：正整數(shù)、0統(tǒng)稱為非負(fù)整數(shù)（也叫自然數(shù)） 負(fù)整數(shù)、0統(tǒng)稱為非正整數(shù) 正有理數(shù)、0統(tǒng)稱為非負(fù)有理數(shù) 負(fù)有理數(shù)、0統(tǒng)稱為非正有理數(shù)數(shù)軸數(shù)軸的概念規(guī)定了原點，正方向，單位長度的直線叫做數(shù)軸。注意：數(shù)軸是一條向兩端無限延伸的直線；原點、正方向、單位長度是數(shù)軸的三要素，三者缺一不可；同一數(shù)軸上的單位長度要統(tǒng)一；數(shù)軸的三要素都是根據(jù)實際需要規(guī)定的。2. 數(shù)軸的畫法步驟：畫一條直線；在直線上任意選取一點為原點，并用這點表示零（在原點下邊標(biāo)上“0”）；確定正方向（通常取向右方向為正方向），用箭頭表示出來；選取適當(dāng)?shù)拈L度作為單位長度，從原點向右，每隔一個單位長度取一點，依次表示1,2,3，；從原點

5、向左，每隔一個單位長度取一點，依次表示-1,-2,-3 -3 -2 -1 0 1 2 3 3.數(shù)軸上的點與有理數(shù)的關(guān)系所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點來表示，正有理數(shù)可用原點右邊的點表示，負(fù)有理數(shù)可用原點左邊的點表示，0用原點表示。所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示出來，但數(shù)軸上的點不都表示有理數(shù)，也就是說，有理數(shù)與數(shù)軸上的點不是一一對應(yīng)關(guān)系。（如，數(shù)軸上的點不是有理數(shù)） 4.利用數(shù)軸表示兩數(shù)大小在數(shù)軸上數(shù)的大小比較，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大；正數(shù)都大于0，負(fù)數(shù)都小于0，正數(shù)大于負(fù)數(shù)；兩個負(fù)數(shù)比較，距離原點遠(yuǎn)的數(shù)比距離原點近的數(shù)小。5.數(shù)軸上特殊的最大（?。?shù)最小的自然數(shù)是0，無最大的自然數(shù)；最小

6、的正整數(shù)是1，無最大的正整數(shù)；最大的負(fù)整數(shù)是-1，無最小的負(fù)整數(shù)6.a可以表示什么數(shù)a>0表示a是正數(shù)；反之，a是正數(shù)，則a>0；a<0表示a是負(fù)數(shù)；反之，a是負(fù)數(shù)，則a<0a=0表示a是0；反之，a是0,，則a=07.數(shù)軸上點的移動規(guī)律根據(jù)點的移動，向左移動幾個單位長度則減去幾，向右移動幾個單位長度則加上幾，從而得到所需的點的位置。相反數(shù)相反數(shù)只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)，其中一個是另一個的相反數(shù)，0的相反數(shù)是0。注意：相反數(shù)是成對出現(xiàn)的；相反數(shù)只有符號不同，若一個為正，則另一個為負(fù)；0的相反數(shù)是它本身；相反數(shù)為本身的數(shù)是0。2.相反數(shù)的性質(zhì)與判定任何數(shù)都有相反

7、數(shù)，且只有一個；0的相反數(shù)是0；互為相反數(shù)的兩數(shù)和為0，和為0的兩數(shù)互為相反數(shù)，即a，b互為相反數(shù)，則a+b=03.相反數(shù)的幾何意義在數(shù)軸上與原點距離相等的兩點表示的兩個數(shù)，是互為相反數(shù)；互為相反數(shù)的兩個數(shù)，在數(shù)軸上的對應(yīng)點（0除外）在原點兩旁，并且與原點的距離相等。0的相反數(shù)對應(yīng)原點；原點表示0的相反數(shù)。說明：在數(shù)軸上，表示互為相反數(shù)的兩個點關(guān)于原點對稱。4.相反數(shù)的求法求一個數(shù)的相反數(shù)，只要在它的前面添上負(fù)號“-”即可求得（如：5的相反數(shù)是-5）；求多個數(shù)的和或差的相反數(shù)是，要用括號括起來再添“-”，然后化簡（如；5a+b的相反數(shù)是-（5a+b）?；喌?5a-b）；求前面帶“-”的單個數(shù)

8、，也應(yīng)先用括號括起來再添“-”，然后化簡(如：-5的相反數(shù)是-（-5），化簡得5)練習(xí)：求：-a的相反數(shù)； x+y-1的相反數(shù)； -(-3)的相反數(shù)5.相反數(shù)的表示方法一般地，數(shù)a 的相反數(shù)是-a ，其中a是任意有理數(shù)，可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)或0。例如：當(dāng)a=7時，-a=-7，-7是7的相反數(shù)；當(dāng)a=-5時，-a=-(-5)=5，-5的相反數(shù)是5；當(dāng)a=0時，-a=0，0的相反數(shù)是0。所以，當(dāng)a>0時，-a<0（正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)）當(dāng)a<0時，-a>0（負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)）當(dāng)a=0時，-a=0，（0的相反數(shù)是0）相反數(shù)的表示方法有如下規(guī)律：a的相反數(shù)是-a；a-b的相反數(shù)是b

9、-a；a+b的相反數(shù)是-a-b。說明：任何有理數(shù)都有唯一的相反數(shù)6.多重符號的化簡多重符號的化簡規(guī)律:“+”號的個數(shù)不影響化簡的結(jié)果，可以直接省略；“-”號的個數(shù)決定最后化簡結(jié)果；即：“-”的個數(shù)是奇數(shù)時，結(jié)果為負(fù)，“-”的個數(shù)是偶數(shù)時，結(jié)果為正。絕對值絕對值的幾何定義一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離叫做a的絕對值，記作|a|。如：在數(shù)軸上表示+5的點與原點距離是5，即+5的絕對值是5,記作|+5|=5；在數(shù)軸上表示-5的點與原點的距離是5，即-5的絕對值是5，記作|-5|=5；表示0的點與原點的距離是0,記作|0|=0 。說明：絕對值為5的數(shù)是+5或-5，即|a|=5，則a=5或a=-

10、52.絕對值的代數(shù)定義一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0.可用字母表示為：如果a>0|，那么|a|=a；如果a<0，那么|a|=-a；如果a=0，那么|a|=0。 a（a>0） a（a0） a（a>0） 即|a|= 0（a=0） 或|a|= 或|a|= -a（a<0） -a（a<0） -a（a0）可歸納為：a0，<> |a|=a （非負(fù)數(shù)的絕對值等于本身；絕對值等于本身的數(shù)是非負(fù)數(shù)。）a0，<> |a|=-a （非正數(shù)的絕對值等于其相反數(shù)；絕對值等于其相反數(shù)的數(shù)是非正數(shù)。）3.絕對值的性質(zhì)任何一個有

11、理數(shù)的絕對值都是非負(fù)數(shù)，也就是說絕對值具有非負(fù)性。所以，a取任何有理數(shù)，都有|a|0。即0的絕對值是0；絕對值是0的數(shù)是0.即：a=0 <> |a|=0；一個數(shù)的絕對值是非負(fù)數(shù)，絕對值最小的數(shù)是0.即：|a|0；任何數(shù)的絕對值都不小于原數(shù)。即：|a|a；絕對值是相同正數(shù)的數(shù)有兩個，它們互為相反數(shù)。即：若|x|=a（a>0），則x=±a；互為相反數(shù)的兩數(shù)的絕對值相等。即：|-a|=|a|或若a+b=0，則|a|=|b|；絕對值相等的兩數(shù)相等或互為相反數(shù)。即：|a|=|b|，則a=b或a=-b；若幾個數(shù)的絕對值的和等于0，則這幾個數(shù)就同時為0。即|a|+|b|=0，則a

12、=0且b=0。（非負(fù)數(shù)的常用性質(zhì)：若幾個非負(fù)數(shù)的和為0，則有且只有這幾個非負(fù)數(shù)同時為0）4.有理數(shù)大小的比較利用數(shù)軸比較兩個數(shù)的大?。簲?shù)軸上的兩個數(shù)相比較，左邊的總比右邊的??；利用絕對值比較兩個負(fù)數(shù)的大?。簝蓚€負(fù)數(shù)比較大小，絕對值大的反而??；異號兩數(shù)比較大小，正數(shù)大于負(fù)數(shù)。5.絕對值的化簡依據(jù)絕對值定義當(dāng)a0時， |a|=a ； 當(dāng)a0時， |a|=-a 零點法令絕對值符號內(nèi)的式子為0，求得字母的值，從而將數(shù)軸分為兩部分，在每一部分上再進(jìn)行化簡。例如：化簡|x-3|第一步，取0點，令x-3=0，得x=3；第二步，取范圍，x3和x>3；或x<3和x3；第三步，在各范圍內(nèi)化簡，解：當(dāng)x

13、3時，x-30|x-3|=-(x-3)=-x+3當(dāng)x>3時，x-3>0，|x-3|=x-3。6.已知一個數(shù)的絕對值，求這個數(shù)一個數(shù)a的絕對值就是數(shù)軸上表示數(shù)a的點到原點的距離，一般地，絕對值為同一個正數(shù)的有理數(shù)有兩個，它們互為相反數(shù)，絕對值為0的數(shù)是0，沒有絕對值為負(fù)數(shù)的數(shù)。7.利用絕對值來確定整數(shù)利用絕對值來確定整數(shù)時，先由絕對值的意義在數(shù)軸上找出數(shù)的范圍，再確定這個范圍內(nèi)的整數(shù)。1.3有理數(shù)的加減法有理數(shù)的加法1.有理數(shù)的加法法則同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加；絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值；互為相反數(shù)的兩數(shù)相

14、加，和為零；一個數(shù)與零相加，仍得這個數(shù)。注意：在進(jìn)行加法運(yùn)算時，首先判斷兩個加數(shù)的符號，是同號就用法則一；是異號就用法則二或法則三；是否有0，有0就用法則四。在應(yīng)用過程中，一定要牢記“先符號，后絕對值”。2.有理數(shù)加法的運(yùn)算律加法交換律：a+b=b+a加法結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)在運(yùn)用運(yùn)算律時，一定要根據(jù)需要靈活運(yùn)用，以達(dá)到化簡的目的，通常有下列規(guī)律：互為相反數(shù)的兩個數(shù)先相加“相反數(shù)結(jié)合法”；符號相同的兩個數(shù)先相加“同號結(jié)合法”；分母相同的數(shù)先相加“同分母結(jié)合法”；幾個數(shù)相加得到整數(shù)，先相加“湊整法”；整數(shù)與整數(shù)、小數(shù)與小數(shù)相加“同形結(jié)合法”。3.加法性質(zhì)一個數(shù)加正數(shù)后的和比原數(shù)

15、大；加負(fù)數(shù)后的和比原數(shù)小；加0后的和等于原數(shù)。即：當(dāng)b>0時，a+b>a當(dāng)b<0時，a+b<a當(dāng)b=0時，a+b=a有理數(shù)的減法1.有理數(shù)減法法則減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。用字母表示為：a-b=a+(-b)。注意：進(jìn)行減法運(yùn)算時，首先要弄清減數(shù)的符號是“+”還是“-”。將有理數(shù)減法轉(zhuǎn)化為加法時，要同時改變兩個符：一是運(yùn)算符號由“-”號變成“+”號；另一個是減數(shù)的性質(zhì)符號（即減數(shù)變成它的相反數(shù)）。如3-(+5)轉(zhuǎn)化成加法后寫成3+(-5)有理數(shù)的減法中被減數(shù)和減數(shù)不能互換，減法沒有交換律和結(jié)合律，只有轉(zhuǎn)化為加法以后，才能使用加法的運(yùn)算律進(jìn)行計算。2.有理數(shù)加減法

16、統(tǒng)一成加法的意義在有理數(shù)加減法混合運(yùn)算中，根據(jù)有理數(shù)減法法則，可以將減法轉(zhuǎn)化成加法后，再按照加法法則進(jìn)行計算。在和式里，通常把各個加數(shù)的括號和它前面的加號省略不寫，寫成省略加號的和的形式。如：(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5.和式的讀法：按這個式子表示的意義讀作“負(fù)8、負(fù)7、負(fù)6、正5的和”按運(yùn)算意義讀作“負(fù)8減7減6加5”注意：把幾個有理數(shù)的和或差寫成省略加號和括號的和的形式時，第一步要根據(jù)減法法則把減法轉(zhuǎn)化成為加法，第二步才能省略加號和括號。3.有理數(shù)加減混合運(yùn)算中運(yùn)用結(jié)合律時的一些技巧：.把符號相同的加數(shù)相結(jié)合（同號結(jié)合法）(-33)-(-18)+(-15)-(+

17、1)+(+23)原式=-33+(+18)+(-15)+(-1)+(+23) （將減法轉(zhuǎn)換成加法）=-33+18-15-1+23 （省略加號和括號）=(-33-15-1)+(18+23) （把符號相同的加數(shù)相結(jié)合）=-49+41 （運(yùn)用加法法則一進(jìn)行運(yùn)算）=-8 （運(yùn)用加法法則二進(jìn)行運(yùn)算）.把和為整數(shù)的加數(shù)相結(jié)合 （湊整法）(+6.6)+(-5.2)-(-3.8)+(-2.6)-(+4.8)原式=(+6.6)+(-5.2)+(+3.8)+(-2.6)+(-4.8) （將減法轉(zhuǎn)換成加法）=6.6-5.2+3.8-2.6-4.8 （省略加號和括號）=(6.6-2.6)+(-5.2-4.8)+3.8

18、（把和為整數(shù)的加數(shù)相結(jié)合）=4-10+3.8 （運(yùn)用加法法則進(jìn)行運(yùn)算）=7.8-10 （把符號相同的加數(shù)相結(jié)合，并進(jìn)行運(yùn)算）=-2.2 （得出結(jié)論）.把分母相同或便于通分的加數(shù)相結(jié)合（同分母結(jié)合法）-+-+-原式=(-)+(-+)+(+-)=-1+0-=-1.既有小數(shù)又有分?jǐn)?shù)的運(yùn)算要統(tǒng)一后再結(jié)合（先統(tǒng)一后結(jié)合）(+0.125)-(-3)+(-3)-(-10)-(+1.25)原式=(+)+(+3)+(-3)+(+10)+(-1)=+3-3+10-1=(3-1)+(-3)+10=2-3+10=-3+13=10.把帶分?jǐn)?shù)拆分后再結(jié)合（先拆分后結(jié)合）-3+10-12+4原式=(-3+10-12+4)+(-+)+(-)=-1+=-1+-.分組結(jié)合2-3-4+5+6-7-8+9+66-67-68+69原式=(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+(66-67-68+69)=0.先拆項后結(jié)合1.4有理數(shù)的乘除法有理數(shù)的乘法1.有理數(shù)的乘法法則法則一：兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘；（“同號得正，異號得負(fù)”專指“兩數(shù)相乘”