2018無錫市一模數(shù)學(xué)試題含答案

1、江蘇省無錫市2018屆高三年級第一次模擬考試數(shù) 學(xué)試題(滿分160分，考試時間120分鐘)一、 填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分 1. 已知集合A1，3，B1，2，m，若ABB，則實數(shù)m_ 2. 若復(fù)數(shù)(aR，i為虛數(shù)單位)是純虛數(shù)，則實數(shù)a_ 3. 某高中共有學(xué)生2 800人，其中高一年級有960人，高三年級有900人，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，抽取140人進行體育達標檢測，則抽取高二年級的學(xué)生人數(shù)為_ 4. 已知a，b1，2，3，4，5，6，直線l1：2xy10，l2：axby30，則直線l1l2的概率為_ 5. 根據(jù)如圖所示的偽代碼，當輸入a的值為3時，最后輸出的S的值為_

2、6. 在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知ABBC，AB3，BC4，AA15，若三棱柱的所有頂點都在同一球面上，則該球的表面積為_ 7. 已知變量x，y滿足目標函數(shù)z3xy的最小值為5，則c的值為_ 8. 若函數(shù)ycos(2x)(0<<)的圖象向右平移個單位長度后，與函數(shù)ysin的圖象重合，則_ 9. 已知等比數(shù)列an滿足a2a52a3，且a4，2a7成等差數(shù)列，則a1·a2··an的最大值為_10. 過圓x2y216內(nèi)一點P(2，3)作兩條相互垂直的弦AB和CD，且ABCD，則四邊形ACBD的面積為_11. 已知雙曲線C：1(a>0，b>

3、0)與橢圓1的焦點重合，離心率互為倒數(shù)，設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C的左、右焦點，P為右支上任意一點，則的最小值為_12. 在平行四邊形ABCD中，AB4，AD2，A，M為DC的中點，N為平面ABCD內(nèi)一點，若|，則·_13. 已知函數(shù)f(x)g(x)x22x2.若存在aR，使得f(a)g(b)0，則實數(shù)b的取值范圍是_14. 若函數(shù)f(x)(x1)2|xa|在區(qū)間1，2上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是_二、 解答題：本大題共6小題，共計90分解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟15. (本小題滿分14分)如圖，已知四邊形ABCD是菱形，DE平面ABCD，AFDE，DE2AF.(1

4、) 求證：AC平面BDE；(2) 求證：AC平面BEF.16. (本小題滿分14分)在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，cos A，C2A.(1) 求cos B的值；(2) 若ac24，求ABC的周長17. (本小題滿分14分)如圖，點C為某沿海城市的高速公路出入口，直線BD為海岸線，CAB，ABBD，是以A為圓心，1km為半徑的圓弧形小路該市擬修建一條從點C通往海岸的觀光專線PQ，其中P為上異于點B，C的一點，PQ與AB平行，設(shè)PAB.(1) 證明：觀光專線PQ的總長度隨的增大而減小；(2) 已知新建道路PQ的單位成本是翻新道路的單位成本的2倍當取何值時，觀光專線PQ的修建總成本

5、最低？請說明理由18. (本小題滿分16分)已知橢圓E：1(a>0，b>0)的離心率為，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為左、右焦點，A，B分別為左、右頂點，原點O到直線BD的距離為.設(shè)點P在第一象限，且PBx軸，連結(jié)PA交橢圓于點C.(1) 求橢圓E的方程；(2) 若三角形ABC的面積等于四邊形OBPC的面積，求直線PA的方程；(3) 求過點B，C，P的圓的方程(結(jié)果用t表示)19. (本小題滿分16分)已知數(shù)列an滿足，nN*，Sn是數(shù)列an的前n項和(1) 求數(shù)列an的通項公式；(2) 若ap，30，Sq成等差數(shù)列，ap，18，Sq成等比數(shù)列，求正整數(shù)p，q的值；(3) 是否存在kN*，使得為

6、數(shù)列an中的項？若存在，求出所有滿足條件的k的值；若不存在，請說明理由20. (本小題滿分16分)已知函數(shù)f(x)ex(3x2)，g(x)a(x2)，其中a，xR.(1) 求過點(2，0)且和函數(shù)yf(x)的圖象相切的直線方程；(2) 若對任意xR，有f(x)g(x)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；(3) 若存在唯一的整數(shù)x0，使得f(x0)<g(x0)，求實數(shù)a的取值范圍2018屆高三年級第一次模擬考試(八)數(shù)學(xué)附加題(本部分滿分40分，考試時間30分鐘)21. 解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟B. 選修42：矩陣與變換(本小題滿分10分)已知矩陣A，若矩陣A屬于特征值1的一個特征

7、向量為a1，屬于特征值2的一個特征向量為a2，求矩陣A.C. 選修44：坐標系與參數(shù)方程(本小題滿分10分)在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程是(t是參數(shù))，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，若圓C的極坐標方程是4sin，且直線l與圓C相交，求實數(shù)m的取值范圍22. (本小題滿分10分)某公司有A，B，C，D四輛汽車，其中A車的車牌尾號為0，B，C兩輛車的車牌尾號為6，D車的車牌尾號為5，已知在非限行日，每輛車都有可能出車或不出車已知A，D兩輛汽車每天出車的概率為，B，C兩輛汽車每天出車的概率為，且四輛汽車是否出車是相互獨立的該公司所在地區(qū)汽車限行規(guī)定如下：汽車車牌尾號車輛

8、限行日0和5星期一1和6星期二2和7星期三3和8星期四4和9星期五(1) 求該公司在星期四至少有兩輛汽車出車的概率；(2) 設(shè)表示該公司在星期一和星期二兩天出車的車輛數(shù)之和，求的分布列和數(shù)學(xué)期望23. (本小題滿分10分)如圖，在四棱錐PABCD中，ABP是等邊三角形，底面ABCD是直角梯形，DAB90°，ADBC，E是線段AB的中點，PE底面ABCD，已知DAAB2BC2.(1) 求二面角PCDA的正弦值；(2) 試在平面PCD上找一點M，使得EM平面PCD. 2018屆無錫高三年級第一次模擬考試數(shù)學(xué)參考答案1. 32. 63. 474. 5. 216. 507. 58. 9. 1

9、 02410. 1911. 812. 613. (2，0)14. (，115. 解析：(1) 因為DE平面ABCD，所以DEAC. (2分)因為四邊形ABCD是菱形，所以ACBD.(4分)因為DEBDD，(5分)所以AC平面BDE.(6分)(2) 設(shè)ACBDO，取BE的中點G，連結(jié)FG，OG，所以O(shè)GDE且OGDE.(8分)因為AFDE，DE2AF，所以AFOG且AFOG，從而四邊形AFGO是平行四邊形，F(xiàn)GAO. (10分)因為FG平面BEF，AO平面BEF，所以AO平面BEF，即AC平面BEF. (14分)16. 解析：(1) 因為cosA，所以cosCcos2A2cos2A12×

10、;1. (3分)在ABC中，因為cosA，所以sinA.(4分)因為cosC，所以sinC，(5分)所以cosBcos(AB)sinAsinBcosAcosB. (7分)(2) 根據(jù)正弦定理，所以.又ac24，所以a4，c6.(10分)b2a2c22accosB25，b5.所以ABC的周長為15. (14分)17. 解析：(1) 由題意，CAP，所以，又PQABAPcos1cos，所以觀光專線的總長度f()1coscos1，0<<.(3分)因為當0<<時，f()1sin<0，(5分)所以f()在上單調(diào)遞減，即觀光專線PQ的總長度隨的增大而減小(6分)(2) 設(shè)翻新

11、道路的單位成本為a(a>0)，則總成本g()aa，0<<，(8分)g()a(12sin)(9分)令g()0，得sin.因為0<<，所以.(10分)當0<<時，g()<0，當<<時，g()>0，(12分)所以當時，g()最小(13分)故當時，觀光專線PQ的修建總成本最低. (14分)18. 解析：(1) 因為橢圓E：1(a>b>0)的離心率為，所以a22c2，bc，(1分)所以直線DB的方程為yxb，又O到直線BD的距離為，所以，所以b1，a，(3分)所以橢圓E的方程為y21.(4分)(2) 設(shè)P(，t)，t>0

12、，直線PA的方程為y(x)，(5分)由整理得(4t2)x22t2x2t280，解得xC，則點C的坐標是，(7分)因為三角形ABC的面積等于四邊形OBPC的面積，所以三角形AOC的面積等于三角形BPC的面積，SAOC××，SPBC×t×，則，解得t.(9分)所以直線PA的方程為x2y0. (10分)(3) 因為B(，0)，P(，t)，C(，)，所以BP的垂直平分線為y，BC的垂直平分線為yx，所以過B，C，P三點的圓的圓心為(，)，(12分)則過B，C，P三點的圓方程為，(14分)即所求圓方程為x2xy2ty0.(16分)19. 解析：(1) 因為，nN*

13、，所以當n1時，1，a12，(1分)當n2時，由和，兩式相除可得1，即anan11(n2)，所以數(shù)列an是首項為2，公差為1的等差數(shù)列. 于是，ann1. (4分)(2) 因為ap，30，Sq成等差數(shù)列，ap，18，Sq成等比數(shù)列，所以于是或(7分)當時，解得當時，無正整數(shù)解，所以p5，q9.(10分)(3) 假設(shè)存在滿足條件的正整數(shù)k，使得am(mN*)，則m1，平方并化簡得(2m2)2(2k3)263，(11分)則(2m2k5)(2m2k1)63，(12分)所以或或(4分)解得m15，k14或m5，k3或m3，k1(舍去)，綜上所述，k3或14. (16分)20. 解析：(1) 設(shè)切點為(

14、x0，y0)，f(x)ex(3x1)，則切線斜率為ex0(3x01)，所以切線方程為yy0ex0(3x01)(xx0)，因為切線過(2，0)，所以ex0(3x02)ex0(3x01)(2x0)，化聞得3x8x00，解得x00或x0. (3分)當x00時，切線方程為yx2，(4分)當x0時，切線方程為y9ex18e. (5分)(2) 由題意，對任意xR有ex(3x2)a(x2)恒成立，當x(，2)時，aa，令F(x)，則F(x)，令F(x)0得x0，x(，0)0(0，2)F(x)0F(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減F(x)maxF(0)1，故此時a1.(7分)當x2時，恒成立，故此時aR.(8分)當

15、x(2，)時，aa，令F(x)0x，xF(x)0F(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增F(x)minF9e，故此時a9e.綜上1a9e.(10分)(3) 因為f(x)<g(x)，即ex(3x2)<a(x2)，由(2)知a(，1)，令F(x)，則x(，0)0(0，2)(2，)(，)F(x)00F(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減單調(diào)遞減極大值單調(diào)遞增(12分)當x(，2)，存在唯一的整數(shù)x0使得f(x0)<g(x0)，等價于a<存在唯一的整數(shù)x0成立，因為F(0)1最大，F(xiàn)(1)，F(xiàn)(1)，所以當a<時，至少有兩個整數(shù)成立，所以a. (14分)當x(2，)，存在唯一的整數(shù)x0使得

16、f(x0)<g(x0)，等價于a>存在唯一的整數(shù)x0成立，因為F9e；最小，且F(3)7e3，F(xiàn)(4)5e4，所以當a>5e4時，至少有兩個整數(shù)成立，所以當a7e3時，沒有整數(shù)成立，所有a(7e3，5e4. 綜上：a(7e3，5e4. (16分)21. 解析：由矩陣A屬于特征值1的一個特征向量為a1可得，1，即(2分)得a2b10，由矩陣A屬于特征值2的一個特征向量為a2，可得2，即(6分)得2a3b9，解得即A，(10分)22. 解析：由4sin，得24sin，所以x2y24x，即圓C的方程為x2(y2)24，(3分)又由消去t，得xym0，(6分)由直線l與圓C相交，所以

17、<2，即2<m<6.(10分)23. 解析：(1) 記該公司在星期四至少有兩輛汽車出車為事件A，則A為該公司在星期四最多有一輛汽車出車P(A)CC. P(A)1P(A).(3分)答：該公司在星期四至少有兩輛汽車出行的概率為.(2) 由題意，的可能值為0，1，2，3，4，P(0)；P(1)CC·；P(2)CC；P(3)CC；P(4).(8分)01234PE()2×3×4×.答：的數(shù)學(xué)期望為.(10分)24. 解析：(1)因為PE底面ABCD，過點E作ESBC，則ESAB，以E為坐標原點，EB方向為x軸的正半軸，ES方向為y軸的正半軸，EP方向為z軸的正半軸建立空間直角坐標系，則E(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，A(1，0，0)，D(1，2，0)，