6利用費(fèi)馬原理對光的反射與折射這兩個實驗定律進(jìn)行推證

1、第二章利用費(fèi)馬原理對光的反射與折射這兩個實驗定律進(jìn)行推證2.1 反射定律和折射定律在教材中我們早就學(xué)習(xí)了折射定律和反射定律，反射定律的傳統(tǒng)表達(dá)為：入射光線與反射光線在同種介質(zhì)中，且對稱分居于法線兩側(cè)，即入射角等于反射角，或。折射定律的傳統(tǒng)表達(dá)為：光折射時，折射光線、入射光線、法線在同一平面內(nèi)，折射光線和入射光線分別位于法線的兩側(cè)。折射角隨入射角的改變而改變：入射角增大時，折射角也增大；入射角減小時，折射角也減小。這兩個定律通俗易懂，但它們在教材中都是通過實驗推出，并沒有從理論的角度進(jìn)行推證。本章利用費(fèi)馬原理從理論角度對反射定律和折射定律進(jìn)行推導(dǎo)。我們已經(jīng)學(xué)過nds稱為光程，并且當(dāng)兩列波在同一點(diǎn)

2、相遇并疊加時，其光強(qiáng)取決于相位差，而相位差又取決于光程差?？梢宰C明，幾何光學(xué)中，有關(guān)光線的實驗事實也可以歸結(jié)為光程問題，即不考慮光的波動性，而只從光線的觀點(diǎn)出發(fā)通過光程的概念。2.2費(fèi)馬原理費(fèi)馬原理是費(fèi)馬在1650年概括光線傳播的實驗定律提出的2，其內(nèi)容為：連結(jié)給定兩點(diǎn)P和Q可以有許多路徑，而光線只遵循兩點(diǎn)間光程為極值的路徑，數(shù)學(xué)表達(dá)形式為： 極值（極小值、極大值或恒值） （2-1）費(fèi)馬原理要求光程為極值，可以是最小值，這是最常見的，也可以是最大值，還可以是穩(wěn)定值。幾何光學(xué)的核心就是費(fèi)馬原理，雖然幾何光學(xué)被看作是波動光學(xué)的近似，但現(xiàn)在光學(xué)設(shè)計中的光線追跡及光學(xué)成像等還是利用由費(fèi)馬原理推出的幾何

3、光學(xué)的知識，費(fèi)馬原理是物理學(xué)和數(shù)學(xué)的精妙結(jié)合。2.3 折射定律的推導(dǎo)設(shè)光線由P點(diǎn)傳播到Q點(diǎn)， P和Q兩點(diǎn)分別在折射率為和的均勻媒質(zhì)中，首先建立笛卡兒空間直角坐標(biāo)系，選兩種介質(zhì)的分界面為x y平面，選過P和Q兩點(diǎn)并與媒質(zhì)分界面垂直的平面為yz平面，如果P和Q兩點(diǎn)的連線與分界面不垂直，yz平面選取為唯一，否則yz平面的選取不唯一，任選一個即可，如圖2-1所示。設(shè)光線交xy平面于A點(diǎn)，由于在均勻媒質(zhì)中光線沿直線傳播，任意可能的路徑是光線沿著直線PA傳播到A點(diǎn)，并沿著直線AQ前進(jìn)到Q點(diǎn)。設(shè)p點(diǎn)坐標(biāo)為，Q點(diǎn)坐標(biāo)為，A點(diǎn)坐標(biāo)為，P和Q分別在兩種均勻媒介中，不在xy平面上，即， ，。令：光程 ：光程是x，

4、y的二元函數(shù)，實際光線所走路徑的光程為極值，則其對x，y的偏導(dǎo)數(shù)為零，這時的A點(diǎn)設(shè)為，即實際光線與媒質(zhì)分界面得交點(diǎn)為，圖2-1光線在折射中任意可能路徑示意圖坐標(biāo)標(biāo)為，則，即點(diǎn)在yz平面上，因此光線沿著yz平面?zhèn)鞑?，過點(diǎn)作xy平面得垂線即為法線，其也在yz平面上，由此得出折射光線，法線，入射光線在同一平面上，如圖2-2所示。圖2-2中的為入射角，為折射角。光程在點(diǎn)對y的偏導(dǎo)數(shù)也為0。圖2-2光線在兩種媒質(zhì)分界面的折射則： （2-2）由（2-2）式又得到： （2-3）因此：即： （2-4）設(shè) ：，則： （2-5）不失一般性，如果，由（2-2）式則，否則。因此： （2-6）由（2-6）式可知，如果P

5、，Q兩點(diǎn)的連線與分界面不垂直，折射光線和入射光線分居在法線的兩側(cè)。如果，由（2-5）式可得因此： （2-7）在圖2-2中，分別過P，Q兩點(diǎn)做垂直于OM的垂線，垂足分別為B，C，由于，點(diǎn)都在yz平面上，并且法線OM與z軸平行，所以， ，并且，把這些關(guān)系式代入（2-3）式 得到： （2-8）由于， ，可以得到下式： （2-9）綜合了（2-6）式和(2-9)式得出斯涅耳定律：折射光線、法線和入射光線在同一個平面上，折射光線和入射光線分居在法線的兩側(cè)，并且入射角和折射角的正弦之比為常量3（入射角不為0時）。如果P，Q兩點(diǎn)的連線與分界面垂直，由（2-7）式及P， ，Q三點(diǎn)都在yz平面上，P，Q三點(diǎn)共線，

6、則(2-9)式也滿足，這時折射角和入射角都為0，入射光線和折射光線垂直于分界面，折射光線、入射光線和法線都在同一直線上。為了證明光線遵循折射定律所走路徑的光程為極值還需要證明：成立。由于： ，因此： （2-10） （2-11） （2-12）根據(jù)前面，的定義，由于，因此，則： 因此則： （2-13）根據(jù)（2-10）（2-13）式得到： （2-14）根據(jù)可知，遵循折射定律的路徑的光程的確為極小值。2.4 反射定律的推導(dǎo)對于反射定律的推導(dǎo)和折射定律的推導(dǎo)相似只是把折射定律中的折射率和都用代替，折射角用反射角代替，而P，Q兩點(diǎn)在xy平面的同側(cè)，（2-9）式變?yōu)椋?（2-15）和都小于，則有： （2-16）由此得