工程力學(xué)(上)電子教案第十二章

1、第十二章 動量矩定理第一、二節(jié) 質(zhì)點和質(zhì)點系的動量矩 動量矩定理教學(xué)時數(shù)：2學(xué)時教學(xué)目標(biāo)：1、 對動量矩的概念有清晰的理解2、 熟練的計算質(zhì)點系的動量矩教學(xué)重點：質(zhì)點系的動量矩 質(zhì)點系的動量矩定理教學(xué)難點：質(zhì)點系的動量矩定理教學(xué)方法：板書PowerPoint教學(xué)步驟：一、引言由靜力學(xué)力系簡化理論知：平面任意力系向任一簡化中心簡化可得一力和一力偶，此力等于平面力系的主矢，此力偶等于平面力系對簡化中心的主矩。 由剛體平面運動理論知：剛體的平面運動可以分解為隨同基點的平動和相對基點的轉(zhuǎn)動。 若將簡化中心和基點取在質(zhì)心上，則動量定理（質(zhì)心運動定理）描述了剛體隨同質(zhì)心的運動的變化和外力系主矢的關(guān)系。它揭

2、示了物體機械運動規(guī)律的一個側(cè)面。剛體相對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動的運動變化與外力系對質(zhì)心的主矩的關(guān)系將有本章的動量矩定理給出。它揭示了物體機械運動規(guī)律的另一個側(cè)面。二、質(zhì)點和質(zhì)點系的動量矩1、質(zhì)點的動量矩設(shè)質(zhì)點M某瞬時的動量為，質(zhì)點相對固定點O的矢徑為，如圖。質(zhì)點M的動量對于點O的矩，定義為質(zhì)點對于點O的動量矩，即垂直于OMA，大小等于OMA面積的二倍，方向由右手法則確定。類似于力對點之矩和力對軸之矩的關(guān)系，質(zhì)點對固定坐標(biāo)軸的動量矩等于質(zhì)點對坐標(biāo)原點的動量矩在相應(yīng)坐標(biāo)軸上的投影，即 質(zhì)點對固定軸的動量矩是代數(shù)量，其正負號可由右手法則來確定。動量矩是瞬時量。在國際單位制中，動量矩的單位是2、質(zhì)點系的動量矩（1

3、）質(zhì)點系對固定點的動量矩設(shè)質(zhì)點系由個質(zhì)點組成，其中第個質(zhì)點的質(zhì)量為，速度為，到點的矢徑為，則質(zhì)點系對點的動量矩（動量系對點的主矩）為：即：質(zhì)點系對任一固定點O的動量矩定義為質(zhì)點系中各質(zhì)點對固定點動量矩的矢量和。（2）質(zhì)點系對固定軸的動量矩以固定點O為原點建立直角坐標(biāo)軸，將上式投影到軸上，則有 即：質(zhì)點系對任一固定軸的動量矩定義為質(zhì)點系中各質(zhì)點對該固定軸動量矩的代數(shù)和。（3）平動剛體的動量矩設(shè)平動剛體的質(zhì)量為m，質(zhì)心C的速度為。其上任一點Mi的質(zhì)量為mi，速度為，則=。任選一固定點O，則有由于，所以即：平動剛體對任一固定點的動量矩等于視剛體為質(zhì)量集中于質(zhì)心的質(zhì)點對該固定點的動量矩。（4）轉(zhuǎn)動剛體

4、對轉(zhuǎn)軸的動量矩設(shè)剛體繞定軸 轉(zhuǎn)動的角速度為，剛體上任一質(zhì)點Mi 的質(zhì)量為mi，到轉(zhuǎn)軸的距離為ri，則其速度的大小為 vi= ri，于是有令，稱為剛體對轉(zhuǎn)軸z的轉(zhuǎn)動慣量，于是有Lz=即：定軸轉(zhuǎn)動剛體對轉(zhuǎn)軸的動量矩等于剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量與剛體角速度的乘積。三、動量矩定理1、質(zhì)點的動量矩定理設(shè)質(zhì)點對固定點O的動量矩為，作用力對同一點的矩為，如圖所示。將動量矩對時間取一次導(dǎo)數(shù)，得由于，且，則上式可改寫為因為，于是得即：質(zhì)點對某固定點的動量矩對時間的一階導(dǎo)數(shù)，等于質(zhì)點所受的力對同一點的矩。這就是質(zhì)點的動量矩定理。將上式投影在直角坐標(biāo)軸上，并將對點的動量矩與對軸的動量矩的關(guān)系代入，得即：質(zhì)點對某固定軸的

5、動量矩對時間的一階導(dǎo)數(shù)等于質(zhì)點所受的力對同一軸的矩。在特殊情況下，若,則=常矢量若，則=常量即：若作用在質(zhì)點上的作用力對某固定點（或固定軸）之矩恒等于零，則質(zhì)點對該點（或該軸）的動量矩為常矢量（或常量）。這就是質(zhì)點的動量矩守恒定理。例1 圖示為一單擺（數(shù)學(xué)擺），擺錘質(zhì)量為m，擺線長為l，如給擺錘以初位移或初速度（統(tǒng)稱初擾動），它就在經(jīng)過O點的鉛垂平面內(nèi)擺動。求此單擺在微小擺動時的運動規(guī)律。解：以擺錘為研究對象，受力如圖，建立如圖坐標(biāo)。在任一瞬時，擺錘的速度為，擺的偏角為，則 式中負號表示力矩的正負號恒與角坐標(biāo)的正負號相反。它表明力矩總是有使擺錘回到平衡位置的趨勢。由，得，即 這就是單擺的運動微

6、分方程。當(dāng)很小時擺作微擺動,sin，于是上式變?yōu)?此微分方程的解為 其中A和為積分常數(shù)，取決于初始條件?？梢妴螖[的微幅擺動為簡諧運動。擺動的周期為顯然，周期只與l有關(guān)，而與初始條件無關(guān)。2、質(zhì)點系的動量矩定理設(shè)質(zhì)點系內(nèi)有n個質(zhì)點，作用于每個質(zhì)點的力分為外力 和內(nèi)力。由質(zhì)點的動量矩定理有這樣的方程共有n個，相加后得由于內(nèi)力總是成對出現(xiàn)，因此上式右端的底二項上式左端為于是得 即：質(zhì)點系對某固定點O的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點系的外力對于同一點的矩的矢量和。這就是質(zhì)點系的動量矩定理。應(yīng)用時取投影式 即：質(zhì)點系對某固定軸的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點系的外力對于同一軸的矩的代數(shù)和。在特殊

7、情況下，若,則=常矢量若，則=常量即：若作用在質(zhì)點系上的作用力對某固定點（或固定軸）之矩恒等于零，則質(zhì)點系對該點（或該軸）的動量矩為常矢量（或常量）。這就是質(zhì)點系的動量矩守恒定理。課堂小結(jié)：動量矩守恒定理在工程實際和日常生活中都有廣泛的應(yīng)用。例如芭蕾舞演員繞通過腳尖的鉛垂軸旋轉(zhuǎn)時，如忽略腳尖和地面的摩擦力，則因演員所受重力及地面的支承反力與轉(zhuǎn)軸共線，外力對轉(zhuǎn)軸的矩恒為零，滿足動量矩守恒的條件，所以演員對轉(zhuǎn)軸的動量矩守恒。即=常量。其中為人體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。為了改變?nèi)梭w的旋轉(zhuǎn)角度（當(dāng)旋轉(zhuǎn)進行時，增大，當(dāng)旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，減?。?，可利用雙臂的伸展或收縮來改變。因，當(dāng)手臂向外伸展時，增大，當(dāng)手臂向轉(zhuǎn)軸收

8、縮時，減小。因此演員常用此方法來調(diào)整旋轉(zhuǎn)角速度。作業(yè)布置：課本習(xí)題12-3、12-7教學(xué)后記：第三、四節(jié) 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動微分方程 轉(zhuǎn)動慣量教學(xué)時數(shù)：2學(xué)時教學(xué)目標(biāo)：1、 對轉(zhuǎn)動慣量的概念要有清晰的理解2、 熟練的計算繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動慣量3、 熟練的應(yīng)用動量矩定理和剛體繞定軸轉(zhuǎn)動微分方程求解動力學(xué)問題教學(xué)重點：轉(zhuǎn)動慣量剛體繞定軸轉(zhuǎn)動微分方程及其應(yīng)用教學(xué)難點：剛體繞定軸轉(zhuǎn)動微分方程及其應(yīng)用教學(xué)方法：板書PowerPoint教學(xué)步驟：一、關(guān)于質(zhì)點系動量矩定理的應(yīng)用舉例例1 高爐運送礦石的卷揚機如圖。已知鼓輪的半徑為R，質(zhì)量為m1，繞O軸轉(zhuǎn)動。小車和礦石的總質(zhì)量為m2。作用在鼓輪上的力偶矩為M，鼓

9、輪對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為J，軌道傾角為。設(shè)繩質(zhì)量和各處摩擦不計，求小車的加速度a。解：以系統(tǒng)為研究對象，受力如圖。以順時針為正，則 由，有由，于是解得 若，則a0，小車的加速度沿軌道向上。例2 一繩跨過定滑輪，其一端吊有質(zhì)量為m的重物A，另一端有一質(zhì)量為m的人以速度相對細繩向上爬。若滑輪半徑為r，質(zhì)量不計，并且開始時系統(tǒng)靜止，求人的速度。解：以系統(tǒng)為研究對象，受力如圖。由于，且系統(tǒng)初始靜止，所以LO=0設(shè)重物A上升的速度為，則人的絕對速度的大小為 va=u-v所以 即由上式解得重物A的速度為 于是人的絕對速度為 由上可知，人與重物A具有相同的的速度，此速度等于人相對繩的速度的一半。如果開始時，人與

10、重物A位于同一高度，則不論人以多大的相對速度爬繩，人與重物A將始終保持相同的高度。二、剛體繞定軸轉(zhuǎn)動微分方程設(shè)剛體繞定軸z轉(zhuǎn)動，受力如圖所示。設(shè)剛體對軸z轉(zhuǎn)動慣量為，則Lz=，由得即：剛體對定軸的轉(zhuǎn)動慣量與角加速度的乘積，等于作用于剛體上的主動力對該軸的矩的代數(shù)和。以上各式均稱為剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的微分方程。應(yīng)用剛體定軸轉(zhuǎn)動的微分方程可以解決動力學(xué)兩類問題。例1 圖示物理擺的質(zhì)量為m，C為其質(zhì)心，擺對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為。求微小擺動的周期。解：設(shè)角以逆時針方向為正。當(dāng)角為正時，重力對O點之矩為負。由剛體定軸轉(zhuǎn)動的微分方程，有 當(dāng)微擺動時，sin=，于是方程可寫為 此方程通解為：為角振幅，為初相位。它們

11、均由初始條件確定。擺動周期為 如將上式改寫為 這就表明，如已知某物體的質(zhì)量和質(zhì)心位置，并將物體懸掛于O點作微幅擺動，測出擺動周期后即可計算出此物體對于O軸的轉(zhuǎn)動慣量。例2 如圖所示，嚙合齒輪各繞定軸O1、O2 轉(zhuǎn)動，其半徑分別為r1、r2，質(zhì)量分別為 m1、m2，轉(zhuǎn)動慣量分別為 J1、J2，今在輪O1上作用一力矩M，求其角加速度。解：分別以兩輪為研究對象，受力如圖，由剛體定軸轉(zhuǎn)動的微分方程，有 由運動學(xué)關(guān)系，得 注意到，聯(lián)立求解以上三式得三、轉(zhuǎn)動慣量由前知，剛體對軸z的轉(zhuǎn)動慣量定義為：剛體上所有質(zhì)點的質(zhì)量與該質(zhì)點到軸z距離的平方乘積的算術(shù)和。即 對于質(zhì)量連續(xù)分布的剛體，上式可寫成積分形式 由定

12、義可知，轉(zhuǎn)動慣量不僅與質(zhì)量有關(guān)，而且與質(zhì)量的分布有關(guān)；在國際單位制中，轉(zhuǎn)動慣量的單位是：。同一剛體對不同軸的轉(zhuǎn)動慣量是不同的，而它對某定軸的轉(zhuǎn)動慣量卻是常數(shù)。因此在談及轉(zhuǎn)動慣量時，必須指明它是對哪一軸的轉(zhuǎn)動慣量。1、均質(zhì)細桿對過質(zhì)心和端點且垂直于桿軸線軸的轉(zhuǎn)動慣量取桿的軸線為x軸，z的位置如圖。在距z軸為x處取一長度為dx的微段，它的質(zhì)量為 對于z的轉(zhuǎn)動慣量為。于是整個細長桿對于z軸的轉(zhuǎn)動慣量為 同法可得對 軸的轉(zhuǎn)動慣量為2、細圓環(huán)對過質(zhì)心垂直于圓環(huán)平面軸的轉(zhuǎn)動慣量設(shè)細圓環(huán)的質(zhì)量為M，半徑為R。則 3、薄圓板對過質(zhì)心垂直于板平面軸的轉(zhuǎn)動慣量設(shè)細圓環(huán)的質(zhì)量為M，半徑為R。則，圓環(huán)的質(zhì)量為，于是圓

13、板轉(zhuǎn)動慣量為4、圓柱體對其中心軸的轉(zhuǎn)動慣量設(shè)圓柱體的質(zhì)量為M，半徑為R，則5、薄平面的轉(zhuǎn)動慣量取如圖坐標(biāo)軸。任取微面元 ，其質(zhì)量為mi，則 于是得到薄平板對三坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動慣量之間的關(guān)系式，即對于薄圓板，注意到它關(guān)于直徑的對稱性，有6、矩形薄平板的轉(zhuǎn)動慣量設(shè)板的質(zhì)量為M，則 同理 而它對垂直于板平面的質(zhì)心軸z的轉(zhuǎn)動慣量為課堂小結(jié)：由剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程可知，在主動力矩的代數(shù)和一定的條件下，剛體的轉(zhuǎn)動慣量越大，則剛體的腳加速度越小，即剛體的運動狀態(tài)越不容易被改變；反之，轉(zhuǎn)動慣量越小，剛體的運動狀態(tài)越容易改變?？傊D(zhuǎn)動慣量的大小反映了剛體轉(zhuǎn)動狀態(tài)改變的難易程度。因此，剛體的轉(zhuǎn)動慣量是剛體轉(zhuǎn)動時慣性的

14、度量。這就是轉(zhuǎn)動慣量的物理意義。作業(yè)布置：課本習(xí)題12-12教學(xué)后記：第五節(jié) 質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩定理第六節(jié) 剛體的平面運動微分方程教學(xué)時數(shù)：2學(xué)時教學(xué)目標(biāo)：1、 會應(yīng)用剛體平面運動微分方程求解動力學(xué)問題2、 熟練的求繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動慣量教學(xué)重點：轉(zhuǎn)動慣量教學(xué)難點：剛體平面運動微分方程的應(yīng)用教學(xué)方法：講授教學(xué)步驟：一、轉(zhuǎn)動慣量的平行軸定理定理：剛體對于任一軸的轉(zhuǎn)動慣量，等于剛體對于通過質(zhì)心、并與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動慣量，加上剛體的質(zhì)量與兩軸間距離平方的乘積，即證明：如圖所示，作直角坐標(biāo)系，則因為，于是由質(zhì)心坐標(biāo)公式，當(dāng)坐標(biāo)原點取在質(zhì)心C時，又有，于是得。證畢。由定理可知：剛體對于所有平行

15、軸的轉(zhuǎn)動慣量，過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量最小。例1 如圖所示，已知均質(zhì)桿的質(zhì)量為M，對 軸的轉(zhuǎn)動慣量為 ，求桿對 的轉(zhuǎn)動慣量 。解：由得， 兩式相減得，例2 均質(zhì)直角折桿尺寸如圖，其質(zhì)量為3m，求其對軸O的轉(zhuǎn)動慣量。解： 例3 如圖所示，質(zhì)量為m的均質(zhì)空心圓柱體外徑為R1，內(nèi)徑為R2，求對中心軸z的轉(zhuǎn)動慣量。解：空心圓柱可看成由兩個實心圓柱體組成，外圓柱體的轉(zhuǎn)動慣量為，內(nèi)圓柱體的轉(zhuǎn)動慣量為取負值，即設(shè)m1、m2分別為外、內(nèi)圓柱體的質(zhì)量，則 于是 設(shè)單位體積的質(zhì)量為，則 代入前式得 注意到，則得 二、回轉(zhuǎn)半徑在工程上常用回轉(zhuǎn)半徑來計算剛體的轉(zhuǎn)動慣量，其定義為稱為剛體對z軸的回轉(zhuǎn)半徑。顯然具有常度的單位。

16、如果已知回轉(zhuǎn)半徑，則剛體對轉(zhuǎn)軸z的轉(zhuǎn)動慣量為 回轉(zhuǎn)半徑的幾何意義是：假想地將剛體的質(zhì)量集中到一點處，并保持剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量不變，則該點到軸的距離就等于回轉(zhuǎn)半徑的長度。由定義知，回轉(zhuǎn)半徑僅與剛體的形狀有關(guān)，而與剛體的材質(zhì)（即與剛體的質(zhì)量）無關(guān)。即幾何形狀相同，材質(zhì)不同的均質(zhì)剛體，其回轉(zhuǎn)半徑相同。三、質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩定理如圖所示，O為固定點，C為質(zhì)點系的質(zhì)心，質(zhì)點系對于固定點的動量矩為 對于任一質(zhì)點，由圖可見 于是 由于 ，令，它是質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩。于是得 即：質(zhì)點系對任一點 O的動量矩等于集中于質(zhì)心的系統(tǒng)動量對于O點的動量矩再加上此系統(tǒng)對于質(zhì)心的動量矩（應(yīng)為矢量和）。質(zhì)點系對于

17、固定點O的動量矩定理可寫成 展開上式括弧，注意右端項中，于是上式化為因為，于是上式成為 上式右端是外力對質(zhì)心的主矩，于是得 即：質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點系的外力對質(zhì)心的主矩。這就是質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩定理。四、剛體平面運動微分方程由剛體平面運動理論知：平面運動剛體的位置可由基點的位置與剛體繞基點的轉(zhuǎn)角確定。取質(zhì)心為基點，如圖所示，則剛體的位置可有質(zhì)心坐標(biāo)和角確定。剛體的運動可分解為隨同質(zhì)心的平動和相對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動兩部分。取如圖的動坐標(biāo)系，則剛體繞質(zhì)心的動量矩為 為剛體過質(zhì)心且垂直于圖示平面軸的轉(zhuǎn)動慣量。設(shè)剛體在力、作用下作平面運動，由質(zhì)心運動定理和相對質(zhì)心的動量矩

18、定理得 上式也可寫成 以上兩式稱為剛體平面運動微分方程。應(yīng)用時，前一式取其投影式。即 或 例1 均質(zhì)圓柱體A和B重量均為P，半徑均為r。圓柱A可繞固定軸O轉(zhuǎn)動。一繩繞在圓柱A上，繩的另一端繞在圓柱B上。求B下落時，質(zhì)心C點的加速度。摩擦不計。 解：分別以A、B為研究對象，受力如圖。A作定軸轉(zhuǎn)動，B作平面運動。對A和B分別應(yīng)用定軸轉(zhuǎn)動的微分方程和平面運動的微分方程，有 (1) （2） （3）其中， （4）由運動學(xué)關(guān)系 （5）聯(lián)立（1）-（5），解得 一、上一節(jié)內(nèi)容剩余例題例1 如圖質(zhì)量為m的均質(zhì)桿AB用細繩吊住，已知兩繩與水平方向的夾角為。求B端繩斷開瞬時，A端繩的張力。 解：以桿為研究對象，受力如圖，建立如圖坐標(biāo)。由有 （1） （2）AB作平面運動，以A為基點，則因為斷開初瞬時，=0，故，所以 將上式投影到x軸上，得 而 ，所以 （3）聯(lián)立求解（1）（2）（3）式，得 例2 長l，重W的均質(zhì)桿AB和BC用鉸鏈B聯(lián)接，并用鉸鏈A固定，位于平衡位置如圖所示。今在C端作用一水平力 ，求此瞬時，兩桿的角加速度。 解：分別以AB和BC為研究對象，受力如圖。 AB和BC分別作定軸轉(zhuǎn)動和平面運動。對AB由定軸轉(zhuǎn)動的微分方程 得 對BC由剛體平面運動的微分方程 （1）得 （2） （3）BC作平面運動，取B為基點，則 其中 ，將以上矢量式投影到水平方向，得 （4）由（1）-（4）聯(lián)立解得 例3