液體粘滯系數(shù)的準(zhǔn)確測量和計(jì)算

1、物理實(shí)驗(yàn)第19卷第1期9液體粘滯系數(shù)的準(zhǔn)確測量和計(jì)算許定生(上海交通大學(xué)應(yīng)用物理系200240)摘要指出了粘滯系數(shù)實(shí)驗(yàn)中的計(jì)算錯(cuò)誤.詳細(xì)推導(dǎo)了正確計(jì)算液體粘滯系數(shù)的計(jì)算公式.關(guān)鍵詞粘滯系數(shù)摩擦力矩粘滯系數(shù)實(shí)驗(yàn)有些教材用下式計(jì)算液體粘1滯系數(shù)(1)=234nLR2式中參量見圖1.R1為外圓筒的內(nèi)半徑,R2為圓柱的外半徑,L為圓柱高度,z為圓柱底面到外圓筒的內(nèi)底面的距離,R為砝碼、由于(2)式的出現(xiàn),使得計(jì)算液體粘滯系數(shù)的誤差大大減小.但(2)式也有不足之處:一是因?yàn)樵谕茖?dǎo)(2)式時(shí)取底部環(huán)狀液體31)的摩擦力矩3=M2,因而、下軸承的摩擦力,空氣阻力和液體旋渦等因素對摩擦力矩的影響.因而產(chǎn)生2的

2、系統(tǒng)誤差.正確計(jì)算液體粘滯系數(shù)的計(jì)算公式應(yīng)該是(3)=33nR1R2(12R2Lz+R1-R2)下面我們就來詳細(xì)介紹(3)式的推導(dǎo)過程.在穩(wěn)定流動(dòng)的液體中,流速不同的相鄰兩層液體的接觸面上,會(huì)形成一對阻礙兩液體層圖1測液體粘滯系數(shù)的原理圖由于推導(dǎo)公式(1)時(shí)將液體轉(zhuǎn)動(dòng)簡化為平動(dòng),這與實(shí)際情況不符,因而造成相當(dāng)大的系統(tǒng)誤差.最近有人從液體旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)著手,推導(dǎo)出了粘滯系數(shù)實(shí)驗(yàn)中液體粘滯系數(shù)的計(jì)算公式2=222nR1R2+R1-R22zR1(2)相對運(yùn)動(dòng)的等值反向的相反作用力,這一對力稱為內(nèi)摩擦力(即粘滯力).在r=R1處角速度為R1)處液體為角速度為零.我們將液體劃分成如圖1所示的三個(gè)部分來分別討論

3、:圓柱側(cè)面的液體1;圓柱底面下方的液體2;圖1所示的底部環(huán)狀部分的液體3.7)觀察是否出現(xiàn)三角波時(shí),示波器Y軸幅度置于015mV cm檔,X軸時(shí)間掃描置于015ms .正常的三角波在示波器上大約cm檔呈現(xiàn)35個(gè)波形.幅度則變化較大,可從幾mV變到上百mV.8)用新制作器件觀察三角波現(xiàn)象時(shí)必須十分細(xì)致,應(yīng)反復(fù)調(diào)試,一旦出現(xiàn)三角波后,需驗(yàn)證是否正常,排除受干擾或內(nèi)部振蕩所致.本文作者衷心感謝邱經(jīng)武教授所給予的各(1997210207收稿)種幫助.10物理實(shí)驗(yàn)第19卷第1期1旋轉(zhuǎn)液體內(nèi)摩擦力矩的計(jì)算公式111圓柱側(cè)面液體所受的力矩M1M1=rF3=-2Lrdr(7)在柱與筒之間,設(shè)想在液體中有一個(gè)距

4、軸線r處厚度為dr,長度為L的圓筒狀薄層,如圖2所示.薄層的內(nèi)表面積為S=2rL.由該層內(nèi)部液體作用在這個(gè)內(nèi)表面的內(nèi)摩擦力方向與.0的轉(zhuǎn)向相同實(shí)驗(yàn)中我們只討論牛頓流體的情形.由牛頓內(nèi)摩擦定律可知:平面層流時(shí)流層間的內(nèi)摩擦力F等于表面積S、粘滯系數(shù)和速度梯度dv dl的乘積,即(4)F=Sdl本實(shí)驗(yàn)中部分1屬于旋轉(zhuǎn)層流3,對于(7)式微分方程的解為M1=2L0R1-R2(8)112內(nèi)圓柱底面所產(chǎn)生的內(nèi)摩擦力矩M兩個(gè)距離較小的同軸大圓片,其間放有待測液體.當(dāng)上圓片以0勻速轉(zhuǎn)動(dòng),下圓片靜止時(shí),可以認(rèn)為兩圓片間液體層的角速度均勻變化,即d dz為常量d dz=0 z底面半徑為rrr=dz圖2筒狀薄層,

5、2dr,可得M2為R2M2=rdS r0zR2=2r3dr0z如圖2所示的高度為L的筒狀薄層,半徑為r處的表面積S=2rL,該面所受的內(nèi)摩擦力在柱坐標(biāo)系中沿切線方向,其大小(在旋轉(zhuǎn)層流情形)為)F=-S(rdr2(5)=-2Lrdrd(r2)=0dr)=r2drdrd(r24(9)M2=2z113底部環(huán)狀液體的摩擦力矩M3環(huán)面半徑為r(R2<r<R1)處液體的速度梯度為r根據(jù)(6)式可知,環(huán)狀液體上表dz(-1),r面=,(R1-R2)zR1-R2rdz對面積為dS=2rdr的環(huán)狀面積元積分,可得環(huán)狀液體的摩擦力矩M3為R1M3=rdS(R1-R2)zR2=-C r+C利用邊界條件

6、 r=R2=0和 r=R1=0可得0=-C R1+C0=-C R2+CC=(R-R)zr(RR1R2121-r)drM3=6(R1-R2)z43R1-R2(4R1-,C=R2-R1R2-R1(6)3R2)4(10)(-1)=R1-R2r114其它因素產(chǎn)生的摩擦力矩M穩(wěn)定旋轉(zhuǎn)時(shí)半徑為r的柱面所受的力矩為常數(shù),設(shè)其值為M1,可得其它因素是指轉(zhuǎn)圓筒上、下軸承的摩擦力,空氣阻力,液體作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的旋渦使液體上表面由水平面變?yōu)閽佄锩嫠斐傻哪芰繐p失.這三種因素所產(chǎn)生的摩擦力矩M4經(jīng)試驗(yàn)物理實(shí)驗(yàn)第19卷第1期11測得其值為占總摩擦力矩的113左右.因而取(11)M4=01013M2液體粘滯系數(shù)的計(jì)算公

7、式將(13),(14)式代入(12)式,用311416代入,最后可得=33nR1R2(12R2Lz+R1-R2)圓柱所受的內(nèi)摩擦力矩M為四分量之和,綜合(8),(9),(10)和(11)四式可得M=M1+M2+M3+M4經(jīng)整理可得01987M=×6(R1-R2)z(12R2Lz+R13-R23)(12)這就是我們要推導(dǎo)的(3)式.實(shí)驗(yàn)中,只要測出不同m所對應(yīng)的穩(wěn)態(tài)旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)速n,就可利用上式,先擬合出直線m與.具體實(shí)n的斜率,進(jìn)而可計(jì)算出粘滯系數(shù)來驗(yàn)中只記錄砝碼的質(zhì)量m,而對掛桶、掛鉤和懸線的質(zhì)量(也是m的一部分)不作測量.3液體粘滯系數(shù)公式的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證因穩(wěn)態(tài)旋轉(zhuǎn)時(shí)內(nèi)摩擦力產(chǎn)生的力矩M與重力產(chǎn)生的力矩相平衡,故M=mgR角速度o可由轉(zhuǎn)速的測量值n來求出(13)(表1.10周所經(jīng)歷表1質(zhì)量m與轉(zhuǎn)速n的實(shí)測數(shù)值序號(hào) mgt sn=ts-10105534對表1中數(shù)據(jù)用最小二乘法擬合可以算出直線m n的斜率,這斜率也即是(3)式中的n m.由此得實(shí)測值n m=71824sR1=31084cm,R2=21492cmR=11853cm,L=71462cmkg-1.粘度計(jì)的幾何參數(shù)和測量時(shí)的溫度分別為-1想的公式.而用(1)式計(jì)算=234nLR2=2198Pa sz=11870cm,T=1015.將斜率值(n m)和以上參數(shù)代入(3)式得=