數(shù)學(xué)中的“形”---尺規(guī)作圖

1、2013年度安慶市數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)論文評(píng)選參評(píng)論文數(shù)學(xué)中的“形”-尺規(guī)作圖劉 進(jìn) 安慶田中尺規(guī)作圖是起源于古希臘的一個(gè)數(shù)學(xué)課題。在歷史上最先明確提出尺規(guī)限制的是伊諾皮迪斯。他發(fā)現(xiàn)以下作圖法：在已知直線(xiàn)的已知點(diǎn)上作一角與已知角相等。這件事的重要性并不在于這個(gè)角的實(shí)際作出，而是在尺規(guī)的限制下從理論上去解決這個(gè)問(wèn)題。只使用圓規(guī)和直尺，并且只準(zhǔn)許使用有限次，來(lái)解決不同的平面幾何作圖題。在這以前，許多作圖題是不限工具的。自伊諾皮迪斯以后，尺規(guī)的限制逐漸成為一種公約，最后總結(jié)在幾何原本之中。下面將簡(jiǎn)單地介紹一下尺規(guī)作圖：一、尺規(guī)作圖的基本要求直尺必須沒(méi)有刻度，無(wú)限長(zhǎng)，且只能使用直尺的固定一側(cè)。只可以用它來(lái)將兩

2、個(gè)點(diǎn)連在一起，不可以在上畫(huà)刻度。 圓規(guī)可以開(kāi)至無(wú)限寬，但上面亦不能有刻度。它只可以拉開(kāi)成你之前構(gòu)造過(guò)的長(zhǎng)度。 只使用圓規(guī)和直尺，并且只準(zhǔn)許使用有限次。二、五種基本作圖作一個(gè)角等于已知角 平分已知角 作已知線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn) 作一條線(xiàn)段等于已知線(xiàn)段 過(guò)一點(diǎn)作已知直線(xiàn)的垂線(xiàn) 三、尺規(guī)作圖基本方法通過(guò)兩個(gè)已知點(diǎn)可作一直線(xiàn)。 已知圓心和半徑可作一個(gè)圓。 若兩已知直線(xiàn)相交，可求其交點(diǎn)。 若已知直線(xiàn)和一已知圓相交，可求其交點(diǎn)。 若兩已知圓相交，可求其交點(diǎn)。 四、尺規(guī)作圖中的著名古典難題三等分角不能問(wèn)題； 立方倍積不能問(wèn)題； 化圓為方不能問(wèn)題。 以上三個(gè)問(wèn)題在2400年前的古希臘已提出這些問(wèn)題，但在歐幾里得幾

3、何學(xué)的限制下，以上三個(gè)問(wèn)題都不可能解決的。直至1837年，法國(guó)數(shù)學(xué)家萬(wàn)芝爾以他的睿智和毅力實(shí)現(xiàn)了自己的夢(mèng)想，首次證明了“立方倍積不能”不可能用尺規(guī)作圖法解決，宣布了2000多年來(lái)，人類(lèi)征服幾何三大難題取得了重大勝利。而后在1882年德國(guó)數(shù)學(xué)家林德曼證明是超越數(shù)后，“化圓為方不能”也被證明為尺規(guī)作圖不能問(wèn)題。而“三等分角不能”的證明最難，所用的方法要用到群論知識(shí)。群論是由只活了21歲的伽羅瓦和只活了27歲的阿貝爾兩人創(chuàng)立的。還有，若干著名的尺規(guī)作圖已知是不可能的，而當(dāng)中很多“不可能”的證明依然是利用了群理論。近日在網(wǎng)上不斷有人聲稱(chēng)他“破解”了“三等分角不能”這個(gè)難題，現(xiàn)舉兩個(gè)流傳較為廣泛的例子，

4、筆者通過(guò)認(rèn)真驗(yàn)算，將提出一點(diǎn)兒不同的看法。例1：將三等分作法：作的平分線(xiàn)連接，交于，過(guò)作，與交于，作取的中點(diǎn)，作與交于作關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)連接、，則、即為所求。反證：設(shè)顯然，假設(shè)成立，那么由卡丹判別式：，所以必有不同的三個(gè)實(shí)數(shù)根。又由令則，構(gòu)造函數(shù)令時(shí)，00解得：，均不合題意，舍去。所以，這就說(shuō)明當(dāng)時(shí)，這種三等分角的作法才有意義。例2：將三等分作法： 建立平面直角坐標(biāo)系，作半徑為的，使得頂點(diǎn)在原點(diǎn)，落在x軸上在第四象限內(nèi)，截取作，連接，過(guò)作，與交于作，與交于連接，則即為所求。原證明如下：作，與交于，連，作，則四邊形為矩形四邊形為矩形與阿基米德的作法相似，且避免了取點(diǎn)的漏洞！乍一看，真是一個(gè)了不起的證

5、明，簡(jiǎn)單明了！但仔細(xì)推敲，問(wèn)題在于“四邊形為矩形”這一論斷未必成立，究其原因是作法中弓形與弓形不是相似弓形！反證：設(shè)假設(shè)成立，則這與的任意性矛盾！也就是說(shuō)，當(dāng)知道的具體度數(shù)時(shí)，還要通過(guò)具體的計(jì)算，這時(shí)這種三等分角的作法才有意義。三等分角看上去最簡(jiǎn)單，嘗試的人可能也是最多的，但它又是一個(gè)的的確確不可能的問(wèn)題。為什么不能三等分？高中選修36三等分角與數(shù)域擴(kuò)充中的群理論會(huì)告訴你：尺規(guī)作圖是有邊界的，三等分角在這邊界之外。北京師范大學(xué)錢(qián)珮玲教授在她編著的數(shù)學(xué)思想方法與中學(xué)數(shù)學(xué)(第二版)第8章中，特意選擇了關(guān)于三等分角的案例，來(lái)著重說(shuō)明“實(shí)數(shù)數(shù)域的二次擴(kuò)充”的理論是不能支持三等分角的。換句話(huà)說(shuō)：我們用尺

6、規(guī)作圖可以作任意角的平分線(xiàn)，而這個(gè)步驟又可以一直進(jìn)行下去。于是就可以得到這個(gè)角的 ，而，可以知道這 與尺規(guī)作圖中的“有限步”相矛盾！即便這樣，還是絲毫不會(huì)影響人們對(duì)未知世界的探索，這里面仍舊包括三等分角的問(wèn)題。所以說(shuō)，尺規(guī)作圖必然是一個(gè)有研究?jī)r(jià)值和研究前途的數(shù)學(xué)內(nèi)容。在我國(guó)民間早有畫(huà)正五邊形的口訣:“九五頂五九,八五兩邊分?！?下面就來(lái)介紹一下圓內(nèi)接正五邊形的尺規(guī)作法： 以為圓心，定長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，并作互相垂直的直徑平分半徑，得以為圓心，為半徑畫(huà)弧與交于，那么即為正五邊形的邊長(zhǎng)。 以為弦長(zhǎng)，在圓周上截得各點(diǎn)，順次連接這些點(diǎn)即得正五邊形如圖。筆者通過(guò)反復(fù)驗(yàn)算，現(xiàn)給出如下證明：連接，設(shè)的半徑為，正五

7、邊形的邊長(zhǎng)為，即正五邊形，即，即解出：由垂徑定理易知：解出：故，于是為正五邊形的邊長(zhǎng)。人們迅速地解決了正三、四、五、六邊形的尺規(guī)作圖問(wèn)題，卻在正七邊形面前止步了：究竟能作不能作？得不出結(jié)論來(lái)！這個(gè)懸案一直懸而未決兩千余年。17世紀(jì)的費(fèi)馬，他研究了形如的數(shù)之后，提出了一個(gè)著名猜想：都是素?cái)?shù)。對(duì)于時(shí)，容易算出驗(yàn)證一下，這五個(gè)數(shù)的確是素?cái)?shù)。是否素?cái)?shù)呢？?jī)H這么一個(gè)問(wèn)題就差不多一百年之后才有了一個(gè)結(jié)論，偉大的歐拉發(fā)現(xiàn)是兩素?cái)?shù)之積：。歐拉還發(fā)現(xiàn)，不僅不是素?cái)?shù)，也不是素?cái)?shù)，等還不是素?cái)?shù)，甚至對(duì)于也能判斷它不是素?cái)?shù)，但是它的任何真因數(shù)還不知道。至今，人們還只知這樣5個(gè)數(shù)是素?cái)?shù)。由于除此而外還未發(fā)現(xiàn)其他素?cái)?shù)，于

8、是人們產(chǎn)生了一個(gè)與費(fèi)馬的猜想大相徑庭的猜想：的素?cái)?shù)只有有限個(gè)。但對(duì)此也未能加以證明。當(dāng)然，更加令人驚奇的事情發(fā)生在距歐拉發(fā)現(xiàn)不是素?cái)?shù)60多年之后。年僅20歲高斯發(fā)現(xiàn)，當(dāng)正多邊形的邊數(shù)是費(fèi)馬數(shù)時(shí)是可以尺規(guī)作圖的，并給出了一般的結(jié)論：正邊形可尺規(guī)作圖的充要條件是或。就這樣，一個(gè)懸而未決兩千余年的古老幾何問(wèn)題得到了圓滿(mǎn)的解決，而這一問(wèn)題解決的過(guò)程是如此的蹊蹺，它竟與一個(gè)沒(méi)有猜對(duì)的猜想相關(guān)連。高斯把問(wèn)題是解決得如此徹底，以致有了高斯的定理，我們對(duì)于早已知道如何尺規(guī)作圖的正三邊形、正五邊形，進(jìn)而還知道了它們?yōu)槭裁茨苡贸咭?guī)作圖？因?yàn)?和5都是費(fèi)馬數(shù)；此外，為什么正四邊形、正六邊形可尺規(guī)作圖呢？因?yàn)?、而。?duì)

9、于很久以來(lái)未找到辦法來(lái)作出的正七邊形，甚至于正11邊形、正 13邊形，現(xiàn)在我們能有把握地說(shuō)，它們不可能尺規(guī)作圖！因?yàn)?、11、13都不是費(fèi)馬數(shù)；順便說(shuō)一下，根據(jù)高斯的理論，還有一位德國(guó)格丁根大學(xué)教授作了正257邊形。對(duì)于正65537邊形，即使我們不知道具體如何作，可是理論上我們已經(jīng)知道它是可以尺規(guī)作圖的（證明還是利用了伽羅瓦的群理論）。高斯最初的一項(xiàng)成就就是作出了正17邊形，高斯本人對(duì)此也頗為欣賞，其圖形完美、好看，而且在他的墓碑上就鐫刻著一個(gè)正17邊形圖案。下面我們來(lái)論證正十七邊形尺規(guī)作圖的可行性： 先證明可以根式解： 設(shè)正17邊形中心角為，則，那么 由積化和差公式，得： 且 令 則 經(jīng)計(jì)算

10、知： 再由令: 再由它是實(shí)數(shù)的加減乘除平方根的組合，故正17邊形可以尺規(guī)作圖。下面介紹正十七邊形尺規(guī)作圖：作的兩條互相垂直的半徑，在上作點(diǎn)使，在上作點(diǎn)使作反向延長(zhǎng)線(xiàn)上點(diǎn)，使得；作中點(diǎn)，并以為圓心作一圓過(guò)點(diǎn)， 此圓交于點(diǎn)，再以為圓心，作一圓 過(guò)點(diǎn)，此圓交直線(xiàn)于和兩點(diǎn)；過(guò)作垂直線(xiàn)交圓于，過(guò)作垂直線(xiàn)交圓于；以為基準(zhǔn)圓，為正十七邊形第1頂點(diǎn)，為第4頂點(diǎn)，為第6頂點(diǎn)；以為半徑，在此圓上截出正十七邊形的所有頂點(diǎn)。 尺規(guī)作圖之所以吸引人們的注意，還有一個(gè)重要的原因，就是它在生活中的廣泛運(yùn)用。例如下面這個(gè)例題：如圖，為內(nèi)任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作一直線(xiàn)將的面積一分為二。先給出作法：連作，使得 過(guò)作交于三點(diǎn)作圓，與交于連，交于，則直線(xiàn)即為所求。再給出分析證明：當(dāng)恰在任意一邊的中線(xiàn)上時(shí)，那么顯然這條中線(xiàn)就是要作的直線(xiàn)。若不在任何一條中線(xiàn)上，如圖（9）不妨設(shè)在內(nèi)，且過(guò)直線(xiàn)恰平分。若落在上，即，由可知：不可能與相交，所以一定在線(xiàn)段上，一定在線(xiàn)段上。連接 用尺規(guī)作圖來(lái)畫(huà)圖十分方便！尺規(guī)作圖不僅僅工具簡(jiǎn)單，使用方法也最簡(jiǎn)便，免去了度量，準(zhǔn)確度更高。這種只限于用尺、規(guī)，作出符合一定條件的幾何圖形，無(wú)疑是一種很強(qiáng)的約束力，這種約束力要求學(xué)習(xí)者具有較強(qiáng)的數(shù)學(xué)思維能力和操作能力。這種約束