Erlangen綱領(lǐng)幾何

1、.Erlangen綱領(lǐng)幾何學(xué)"非歐幾何" 的發(fā)現(xiàn)是19世紀(jì)最大的數(shù)學(xué)進(jìn)展之一. 主要的先驅(qū)人物是俄國的羅巴切夫斯基, 匈牙利的鮑耶, 和德國的高斯. 非歐幾何的故事已經(jīng)流傳很廣了, 它與歐氏幾何的不同就在于所謂歐氏平行公理: 過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與直線平行. 假如把這條公理改成 "過直線外一點(diǎn)有兩條以上的直線與直線平行", 而保持其它公理不變, 就得到一種新的幾何, 稱為非歐幾何. 關(guān)于非歐幾何的文章發(fā)表于 1830 年左右. 有跡象說明高斯在早些年就得到了一些結(jié)果. 然而非歐幾何這個(gè)名稱在 1854 年黎曼的就職演講發(fā)表以后含義就不夠準(zhǔn)確了因?yàn)?/p>

2、黎曼提供了無窮多種“非歐的幾何形態(tài), 如今大部分?jǐn)?shù)學(xué)家把上述這種公理化幾何稱為"雙曲幾何".19世紀(jì)還出現(xiàn)了一種幾何叫射影幾何. 研究這種幾何的動(dòng)機(jī)是非常貼近生活的 - 它主要研究 "中心投影" 現(xiàn)象。通俗一點(diǎn)說, 假如有一盞燈, 它照射在紙面上, 那么紙面上的圖形在地面上的投影是怎么樣的? 最明顯的就是, 紙面上的圓周在燈光下的影子一般不再是圓周, 可能是個(gè)橢圓周; 然后注意到, 假如紙面不平行于地面, 紙面上兩條平行的直線在燈光下的投影可能不再平行; 更奇異的現(xiàn)象是, 假如紙面足夠大，它上面的一個(gè)圓周也足夠大, 使得圓周上有些點(diǎn)比電燈所處位置更高,

3、那么這個(gè)圓周在地面上的投影就會(huì)是雙曲線. 記得高中的解析幾何課本封面上繪有一個(gè)圓錐面, 用不同的平面去截就得到不同的圓錐曲線. 假如把錐的頂點(diǎn)視為一盞燈, 就容易看到所有這些圓錐曲線都可以互為中心投影.還有一種幾何是研究平行投影以下圖形怎么變化的, 叫做 "仿射幾何". 假如把上面的燈換成太陽, 由于間隔 太遠(yuǎn), 在小范圍內(nèi)是非常準(zhǔn)確的平行投影 - 紙面上兩條平行直線總是投射為地面上的平行直線. 圓周會(huì)投射為橢圓周, 但決不會(huì)是雙曲線。在 1872 年, 所有這些幾何把數(shù)學(xué)家搞懵了 - 到底什么是幾何? 這時(shí)候 23 歲的德國人克萊因在愛爾朗根大學(xué)為其教授就職演講準(zhǔn)備了一篇

4、講稿 - 這篇稿子后來被稱為愛爾朗根綱領(lǐng) -雖然他后來的演講并沒有講這個(gè)講稿上的內(nèi)容. 這篇講稿提出, 每一種幾何對應(yīng)一個(gè)變換群, 這種幾何研究的對象是各種形體在相應(yīng)變換群下不變的性質(zhì)."群" 是描繪對稱性的數(shù)學(xué)構(gòu)造. 變換群被伽羅瓦創(chuàng)造出來研究代數(shù)方程的可解性. 而克萊因的合作者挪威人李Lie到 1872 年已經(jīng)研究了某些連續(xù)的變換群, 如今稱為 Lie 群. 以上所說的這幾種幾何都對應(yīng)到不同的 Lie 群.如今我們從克萊因的愛爾朗根綱領(lǐng)來對待以上提到的這些幾何:歐氏幾何是 "最小" 的幾何, 研究的就是長度啊, 全等啊這些性質(zhì). 對應(yīng)的群就是所謂 &

5、quot;歐氏變換群", 它里面的元素包括平移, 旋轉(zhuǎn), 反射以及它們的累次作用. 這些變換保持長度不變; 我們說兩個(gè)圖形是 "全等" 的當(dāng)且僅當(dāng)有一個(gè)歐氏變換把一個(gè)圖形變?yōu)榱硪粋€(gè).我們初中高中的時(shí)候還研究相似三角形. 這種包含“相似性的幾何對應(yīng)到什么變換群?我們可以把 "歐氏變換群" 擴(kuò)大, 即, 參加 "伸縮" 這個(gè)變換, 這樣就得到更大的 "相似變換群". 我們能用相似變換把不同長度的對象 "等同" 起來, 比方不同半徑的圓周, 在相似幾何中就被視為同樣的圖形. 三角形的 &qu

6、ot;相似" 就是相似幾何中的 "全等". 這個(gè)相似變換群包含歐氏變換群, 所以在這個(gè)群下不變的性質(zhì)自然在歐氏變換群下不變, 也就是說, "相似幾何" 的概念都是歐氏幾何的概念. 反過來就不對, 舉個(gè)例子, 長度是歐氏幾何的概念, 但不是相似幾何的概念. 這句話說得直白一點(diǎn)就是，幾何體的長度在歐氏變換群下不變，但在相似變換群下有可能改變。仿射幾何是更大的幾何. 對應(yīng)的群叫 "仿射變換群", 包括平移, 線性變換以及它們的累次作用. 線性變換的意思根本上就是那些把直線還變到直線的變換。由于旋轉(zhuǎn), 反射, 伸縮都是特殊的線性變換

7、, 所以仿射變換群包含相似變換群. 在仿射幾何里, 圓和橢圓是同一種圖形; 所有的平行四邊形都 "全等" . 在這個(gè)幾何里, 長度, 角度都失去意義, 能議論的只能是平行性質(zhì), 或者共線三點(diǎn)的分比單比, 等等這些很 "粗略" 的性質(zhì).射影幾何是以上提到的幾何中 "最大" 的幾何. 從仿射幾何到射影幾何的擴(kuò)張, 比之前的幾次擴(kuò)張要復(fù)雜得多. 特別地, 我們需要給平面添上 "無窮遠(yuǎn)直線" 來使得射影變換是一對一變換. 這其實(shí)很容易理解，假如紙面不平行于地面，那么從光源程度射出的光線就只與紙面相交而不與地面相交，這樣它與

8、紙面的交點(diǎn)在射影變換下就沒有像。假如我們假設(shè)地面的無窮遠(yuǎn)處存在所謂“無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，那么就可以把這些無窮遠(yuǎn)點(diǎn)作為程度光線與地面的交點(diǎn)。平面的所有無窮遠(yuǎn)點(diǎn)構(gòu)成無窮遠(yuǎn)直線。在射影幾何中, 所有圓錐曲線 - 橢圓, 雙曲線, 拋物線, 都是 "全等" 的圖形. 所以射影幾何研究的性質(zhì)是最 "粗略" 的性質(zhì), 比方曲線的 "次數(shù)": 直線是由一次方程定義的曲線, 圓錐曲線是由二次方程定義的曲線; 再比方共線四點(diǎn)的交比. 射影幾何是非常有趣的幾何, 有很多 "巧合", 部分原因就是這個(gè)幾何的變換群非常大, 對稱性高. 同志們假如實(shí)

9、在閑得無聊, 可以找本書看看, 書名一般叫做 "Projective geometry".對于熟悉計(jì)算機(jī)的同志, 可以看出在每種幾何里我們都 "重載" 了 "全等" 這個(gè)概念 -這正是關(guān)鍵所在 - 但凡能用一個(gè)變換互相轉(zhuǎn)換的對象, 我們都看成同樣的對象. 自愛爾朗根綱領(lǐng)提出以來, 對稱性群論日益收到重視, 到了今天, 已經(jīng)成為根深蒂固的觀念. 物理學(xué)中, 自相對論、量子力學(xué)以來, 對稱性也被作為根本原理, 到了 1970 年代, 物理學(xué)家發(fā)現(xiàn)自然界四種根本互相作用的根源都是對稱性. 由此可見伽羅瓦, 李, 克萊因這些前輩的深化洞察力.

10、其實(shí),任何一門學(xué)科都離不開死記硬背,關(guān)鍵是記憶有技巧,“死記之后會(huì)“活用。不記住那些根底知識(shí),怎么會(huì)向高層次進(jìn)軍?尤其是語文學(xué)科涉獵的范圍很廣,要真正進(jìn)步學(xué)生的寫作程度,單靠分析文章的寫作技巧是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的,必須從根底知識(shí)抓起,每天擠一點(diǎn)時(shí)間讓學(xué)生“死記名篇佳句、名言警句,以及豐富的詞語、新穎的材料等。這樣,就會(huì)在有限的時(shí)間、空間里給學(xué)生的腦海里注入無限的內(nèi)容。日積月累,積少成多,從而收到水滴石穿,繩鋸木斷的成效。觀察內(nèi)容的選擇，我本著先靜后動(dòng)，由近及遠(yuǎn)的原那么，有目的、有方案的先安排與幼兒生活接近的，能理解的觀察內(nèi)容。隨機(jī)觀察也是不可少的，是相當(dāng)有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛蟲等，孩子一邊觀察，一

11、邊提問，興趣很濃。我提供的觀察對象，注意形象逼真，色彩鮮明，大小適中，引導(dǎo)幼兒多角度多層面地進(jìn)展觀察，保證每個(gè)幼兒看得到，看得清。看得清才能說得正確。在觀察過程中指導(dǎo)。我注意幫助幼兒學(xué)習(xí)正確的觀察方法，即按順序觀察和抓住事物的不同特征重點(diǎn)觀察，觀察與說話相結(jié)合，在觀察中積累詞匯，理解詞匯，如一次我抓住時(shí)機(jī)，引導(dǎo)幼兒觀察雷雨，雷雨前天空急劇變化，烏云密布，我問幼兒烏云是什么樣子的，有的孩子說：烏云像大海的波浪。有的孩子說“烏云跑得飛快。我加以肯定說“這是烏云滾滾。當(dāng)幼兒看到閃電時(shí)，我告訴他“這叫電光閃閃。接著幼兒聽到雷聲驚叫起來，我抓住時(shí)機(jī)說：“這就是雷聲隆隆。一會(huì)兒下起了大雨，我問：“雨下得怎

12、樣?幼兒說大極了，我就舀一盆水往下一倒，作比較觀察，讓幼兒掌握“傾盆大雨這個(gè)詞。雨后，我又帶幼兒觀察晴朗的天空，朗讀自編的一首兒歌：“藍(lán)天高，白云飄，鳥兒飛，樹兒搖，太陽公公咪咪笑。這樣抓住特征見景生情，幼兒不僅印象深化，對雷雨前后氣象變化的詞語學(xué)得快，記得牢，而且會(huì)應(yīng)用。我還在觀察的根底上，引導(dǎo)幼兒聯(lián)想，讓他們與以往學(xué)的詞語、生活經(jīng)歷聯(lián)絡(luò)起來，在開展想象力中開展語言。如啄木鳥的嘴是長長的，尖尖的，硬硬的，像醫(yī)生用的手術(shù)刀樣，給大樹開刀治病。通過聯(lián)想，幼兒可以生動(dòng)形象地描繪觀察對象。最近俄羅斯數(shù)學(xué)家佩雷爾曼解決了百萬美元問題 "龐加萊猜測" 及更廣泛的 "瑟斯頓幾何化猜測". 后面這個(gè)猜測就是天才的瑟斯頓繼承愛爾朗根綱領(lǐng)的精神給出的解決三維流形分類問題的藍(lán)圖. 詳細(xì)內(nèi)容如何, 且待下回分解.課本、報(bào)刊雜志中的成語、名言警句等俯首皆是,但學(xué)生寫作文運(yùn)用到文章中的甚少,即使運(yùn)用也很難做到恰如其分。為什么?還是沒有徹底“記死的緣故。要解決這個(gè)問題,方法很簡