第2章 階段復習課 第2課 推理與證明

1、.第二課推理與證明 核心速填1合情推理：1歸納推理：由部分到整體、由個別到一般的推理2類比推理：由特殊到特殊的推理3合情推理： 歸納和類比是常用的合情推理，都是根據(jù)已有的事實，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進展歸納類比，然后提出猜測的推理2演繹推理：1演繹推理是由一般到特殊的推理2三段論是演繹推理的一般形式，包括：大前提的一般原理；小前提所研究的特殊情況；結(jié)論根據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷3直接證明與間接證明1直接證明的兩類根本方法是綜合法和分析法：綜合法是從條件推導出結(jié)論的證明方法；分析法是由結(jié)論追溯到條件的證明方法；2間接證明一種方法是反證法，它是從結(jié)論反面成立出發(fā)，推出矛盾的證明方法

2、4數(shù)學歸納法：數(shù)學歸納法主要用于解決與自然數(shù)有關的數(shù)學問題證明時，它的兩個步驟缺一不可它的第一步歸納奠基nn0時結(jié)論成立第二步歸納遞推假設nk時，結(jié)論成立，推得nk1時結(jié)論也成立特別要注意nk到nk1時增加的項數(shù)體系構(gòu)建題型探究合情推理1觀察以下等式：1，1，1，據(jù)此規(guī)律，第n個等式可為_2類比三角形內(nèi)角平分線定理：設ABC的內(nèi)角A的平分線交BC于點M，那么.假設在四面體PABC中，二面角BPAC的平分面PAD交BC于點D，你可得到的結(jié)論是_，并加以證明. 【導學號：31062174】解析1等式的左邊的通項為，前n項和為1；右邊的每個式子的第一項為，共有n項，故為.2畫出相應圖形，如下圖由類比

3、推理得所探究結(jié)論為.證明如下：由于平面PAD是二面角BPAC的平分面，所以點D到平面BPA與平面CPA的間隔 相等，所以.又因為.由知成立答案112規(guī)律方法1.歸納推理的特點及一般步驟2類比推理的特點及一般步驟跟蹤訓練11觀察如圖2­1中各正方形圖案，每條邊上有nn2個點，第n個圖案中圓點的總數(shù)是Sn.圖2­1按此規(guī)律，推出Sn與n的關系式為_2設等差數(shù)列an的前n項和為Sn，那么S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差數(shù)列類比以上結(jié)論有：設等比數(shù)列bn的前n項積為Tn, 那么T4，_，_， 成等比數(shù)列解析1依圖的構(gòu)造規(guī)律可以看出：S22×44，S33

4、15;44，S44×44正方形四個頂點重復計算一次，應減去猜測：Sn4n4n2，nN*2等差數(shù)列類比于等比數(shù)列時，和類比于積，減法類比于除法，可得類比結(jié)論為：設等比數(shù)列bn的前n項積為Tn，那么T4， ， ， 成等比數(shù)列答案1Sn4n4n2，nN*2 綜合法與分析法假設a、b、c是ABC的三邊長，m0，求證：. 【導學號：31062175】思路探究根據(jù)在ABC中任意兩邊之和大于第三邊，再利用分析法與綜合法結(jié)合證明不等式成立證明要證明，只需證明0即可，a0，b0，c0，m0，ambmcm0，abmcmbamcmcambmabcabmacmam2abcabmbcmbm2abcbcmacm

5、cm22abmam2abcbm2cm22abmabcabcm2，ABC中任意兩邊之和大于第三邊，abc0，abcm20，2abmabcabcm20，.母題探究：1. 改變條件本例刪掉條件“m0，證明：.證明要證 .只需證ababc>1abc.即證ab>c.而ab>c顯然成立所以.2變換條件本例增加條件“三個內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，求證：.證明要證，即證3，即證1.即證cbcaababbc，即證c2a2acb2.ABC三個內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列B60°.由余弦定理，有b2c2a22cacos 60°，即b2c2a2ac.c2a2acb2成立，命題得證規(guī)律

6、方法分析綜合法的應用綜合法由因?qū)Ч?，分析法?zhí)果索因，因此在實際解題時，常常把分析法和綜合法結(jié)合起來使用，即先利用分析法尋找解題思路，再利用綜合法有條理地表述解答過程.反證法xR，ax2，b2x，cx2x1，試證明a，b，c至少有一個不小于1.證明假設a，b，c均小于1，即a1，b1，c1，那么有abc3，而abc2x22x32233，兩者矛盾，所以假設不成立，故a，b，c至少有一個不小于1.規(guī)律方法反證法的關注點(1)反證法的思維過程：否認結(jié)論推理過程中引出矛盾否認假設肯定結(jié)論，即否認推理否認(經(jīng)過正確的推理導致邏輯矛盾，從而到達新的“否認(即肯定原命題).(2)反證法常用于直接證明困難或以否

7、認形式出現(xiàn)的命題；涉及“都是“都不是“至少“至多等形式的命題時，也常用反證法.跟蹤訓練2假設x，y，z0,2，求證：x2y，y2z，z2x不可能都大于1. 【導學號：31062176】證明假設x2y>1，且y2z>1，且z2x>1均成立，那么三式相乘有xyz2x2y2z>1，由于0<x<2，所以0<x2x 1，同理0<y2y1,0<z2z1，三式相乘得0<xyz2x2y2z1，與矛盾，故假設不成立所以x2y，y2z，z2x不可能都大于1.數(shù)學歸納法設a>0，fx，令a11，an1fan，nN*.1寫出a2，a3，a4的值，并猜測

8、數(shù)列an的通項公式；2用數(shù)學歸納法證明你的結(jié)論解1a11，a2fa1f1；a3fa2；a4fa3.猜測annN*2證明：易知，n1時，猜測正確假設nkkN*時猜測正確，即ak，那么ak1fak.這說明，nk1時猜測正確由知，對于任何nN*，都有an.規(guī)律方法1.數(shù)學歸納法的兩點關注(1)關注點一：用數(shù)學歸納法證明等式問題是數(shù)學歸納法的常見題型，其關鍵點在于“先看項，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式兩邊各有多少項，初始值n0是多少.(2)關注點二：由nk到nk1時，除等式兩邊變化的項外還要利用nk時的式子，即利用假設，正確寫出歸納證明的步驟，從而使問題得以證明.2.與“歸納猜測證明相關的常用題型的處

9、理策略(1)與函數(shù)有關的證明：由條件驗證前幾個特殊值正確得出猜測，充分利用條件并用數(shù)學歸納法證明.(2)與數(shù)列有關的證明：利用條件，當直接證明遇阻時，可考慮應用數(shù)學歸納法.跟蹤訓練3用數(shù)學歸納法證明不等式>n2，nN*證明當n2時，.假設當nkk2且kN*時不等式成立，即，那么當nk1時， . 這就是說，當nk1時，不等式也成立由可知，原不等式對任意大于1的正整數(shù)都成立轉(zhuǎn)化與化歸思想的應用，kkZ，且sin cos 2sin ，sin cos sin2.求證： 【導學號：31062177】證明要證成立，即證，即證cos2sin2cos2sin2，即證12sin212sin2，即證4sin

10、22sin21，因為sin cos 2sin ，sin cos sin2 ，所以sin cos 212sin cos 4sin2，所以12sin24sin2 ，即4sin2 2sin21.故原結(jié)論正確規(guī)律方法轉(zhuǎn)化與化歸思想轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法是數(shù)學中最根本的思想方法，數(shù)學中的一切問題的解決都離不開轉(zhuǎn)化與化歸，轉(zhuǎn)化與化歸的原那么是將不熟悉的或難解的問題轉(zhuǎn)化為熟知的、易解或已經(jīng)解決的問題；將抽象的問題轉(zhuǎn)化為詳細的直觀的問題；將復雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題；將一般性的問題轉(zhuǎn)化為直觀的特殊問題；將實際應用問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題.本章中無論是推理過程還是用分析法、綜合法、反證法、數(shù)學歸納法證明問題的過程中都用到了轉(zhuǎn)化與化歸思想.跟蹤訓練4函數(shù)fx在R上是增函數(shù)，a，bR.1求證：假如ab0，那么fafbfafb；2判斷1中的命題的逆命題是否成立？并證明你