平面幾何五種模型

1、平面幾何五種模型時(shí)間：2021.03. 09創(chuàng)作：歐陽(yáng)法等積，鳥(niǎo)頭，蝶形，相似，共邊1、等積模型等底等高的2個(gè)三角形面積相等2個(gè)三角形鬲相等，面積比二底之比2個(gè)三角形底相等，面積比=高之比夾在一紐平行線(xiàn)之間的等積變形（方方模型）等積模型是基本應(yīng)用應(yīng)是爛熟于心的都咼利用面積公式得到的推定比例 如下：1等底等高的2個(gè)平行四邊形面積相等2三角形面積等于它等底等高的平行四邊形面積的一 半3 2個(gè)平行四邊形高相等，面積比二底之比；2個(gè)平行 四邊形底相等，面積比二鬲之比2、鳥(niǎo)頭模型（共角定理）鳥(niǎo)頭定理：2個(gè)三角形中，有一個(gè)角相等或互補(bǔ)，這 2個(gè)三角形叫做共角三角形。共角三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)角（相等角或互

2、補(bǔ)角）兩夾邊的乘積之比（夾鳥(niǎo)頭定理的使用要火眼金睛，經(jīng)常需要自己補(bǔ)一條輔助線(xiàn)同時(shí)經(jīng)過(guò)2次以上轉(zhuǎn)換對(duì)應(yīng)才能得到結(jié)果。跟大三角形ABC是公用A角的，等于淺紫色三角形 是“嵌入”在大三角形ABC里面，注意，鳥(niǎo)頭定理用的是乘積比！不是單獨(dú)的線(xiàn)段比f(wàn)卜"卜|記憶上用夾角2邊躍天IADX AE最好記，這里等于氐匸AC鳥(niǎo)頭定理的證明，寫(xiě)出來(lái)是因?yàn)楹芏囝}目的解題過(guò) 程，都需要補(bǔ)這么一條輔助線(xiàn)來(lái)過(guò)度連接2個(gè)看起來(lái) 無(wú)關(guān)的圖形。證明的途徑其實(shí)跟我們?nèi)粘＝忸}途徑重 合，所以寫(xiě)出來(lái)，仔細(xì)看。經(jīng)由媒介的 ABE,聯(lián)系了 ADE和大三角形AABCBE輔助線(xiàn)很重要！鳥(niǎo)頭定理是用等鬲（等于是用等積推算而得）第二種的

3、證明方式將對(duì)頂角壓回來(lái) ABC內(nèi)，對(duì)頂角 性質(zhì)是相等的，所以壓回來(lái)的新AAADE是全等 ，再做一條輔助線(xiàn)就能用共角的方式證明出對(duì)角的 鳥(niǎo)頭定理這幾個(gè)證明，其實(shí)說(shuō)的目的只有一個(gè)：連接小三角形 和大三角形過(guò)度的那條輔助線(xiàn)，特別重要！3蝴蝶模型任意四邊形中的比例關(guān)系（“蝴蝶定理”）任蝴蝶或者】= u1【上下比】1 主上+ S4右上 二 上面幟| £線(xiàn)|S2左下+ S3右下二下面積I二It線(xiàn)I|S1左上I |S2左下I【上上比】I S4右上丨二金右下IS1左_匕+ S2左下=左面積S4右上+ S3右下=右面積由上述比例可以按數(shù)學(xué)運(yùn)算原則推出很多規(guī)則：如面積交叉相乘的乘積相4右上梯形蝴蝶定理（

4、梯蝴蝶）有木有f4相似三角形形狀相同，大小不同的三角形，只要形狀不變，無(wú)論 大小怎么改變，他們都相似。1相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線(xiàn)段的長(zhǎng)度成比例，并且二 它們的相似比2相似三角形的面積比二相似比的平方3連接三角形兩邊中點(diǎn)的線(xiàn)段叫做三角形的中位線(xiàn)三角形中位線(xiàn)定理：三角形的中位線(xiàn)長(zhǎng)二它所對(duì)應(yīng)的 底邊長(zhǎng)的一半就是三角形任2邊中點(diǎn)連出來(lái)的中位線(xiàn)就咼第三邊長(zhǎng) 的一半！出題幾率：多產(chǎn)生于2條平行線(xiàn)造成的相似三角形 金字塔模型沙漏模型SAADE: SAABC=AF2: AG2特別注意！相似三角形的面積比是等于相似比的平方5共邊定理燕尾模型、風(fēng)箏模型、寒瓦定理共邊定理說(shuō)明如圖一想知道APAB和AQAB的面積比？我

5、們就如圖 二做個(gè)高，因?yàn)橥祝ň褪枪灿靡粋€(gè)邊）所以面積比 =髙之比，再想辦法偷懶，延長(zhǎng)PQ、AB的線(xiàn)相交于M,那么剛學(xué)的相似三角形可以派上用場(chǎng)，因?yàn)锳PDN1E3AQEM 如圖三PDPM所以QE 二二 QM共邊定理：若直線(xiàn)AB和PQ相交于點(diǎn)M(4種情況)則有P我們喜歡用共邊2方的不同三角形面積比來(lái)比出線(xiàn)段比。（圖形不重疊）圖二的比例圖形有重疊，所以線(xiàn)段長(zhǎng)度也是重魯比圖三就是“燕尾定理”圖形不重疊，所以線(xiàn)段比不重 香。圖四是四邊形，做比的三角形有重疊，而比值是四邊 形的頂：延長(zhǎng)線(xiàn)段QM（切記，唯一對(duì)比線(xiàn)段不在圖 形內(nèi)的哈）共邊定理的證明S PABS qABPM1, M點(diǎn)咼PQ和AB延長(zhǎng)后的交點(diǎn)2,取N,使得MN長(zhǎng)度二ABAPNM和厶QNM是等高,塞瓦定理（燕尾定理模型補(bǔ)充）三邊比例互乘為1 在AABC內(nèi)任取一點(diǎn)（），直線(xiàn)A（）、B（）、C（）分別交 對(duì)邊于