高中數(shù)學條件概率中的一題多解

1、條件概率中的一題多解 條件概率是概率的一個難點，首先，“在某事件A發(fā)生的前提下事件B發(fā)生的概率”經(jīng)常容易和“事件A、B同時發(fā)生的概率”混淆；其次，在解決條件概率問題時采取方法的不同會直接導致解決問題的難易程度不同。這就要求同學們熟練掌握解決條件概率問題的各種方法，因題而異，選擇適當?shù)姆椒ㄇ蠼狻?我們看下面這個例子：例：一個口袋內(nèi)裝有2個白球和2個黑球，那么 （1）先摸出1個白球不放回，再摸出1個白球的概率是多少？ （2）先摸出1個白球后放回，再摸出1個白球的概率是多少？法一：利用古典概型的特點求出各事件發(fā)生的基本事件數(shù)，然后用比例求解。解：（1）設“先摸出1個白球不放回”為事件A，“再摸出1個

2、白球”為事件B，“先后兩次摸到白球”為事件。則A=（白1，白2），（白1，黑1），（白1，黑2），（白2，白1），（白2，黑1），（白2，黑2），事件A的基本事件數(shù)為6；=（白1，白2），（白2，白1），事件的基本事件個數(shù)為2。（2）設“先摸出1個白球放回”為事件，“再摸出1個白球”為事件，“先后兩次摸到白球”為事件。則=（白1，白1），（白1，白2），（白1，黑1），（白1，黑2），（白2，白1），（白2，白2），（白2，黑1），（白2，黑2），事件A的基本事件數(shù)為8；=（白1，白2），（白2，白1），（白1，白1），（白2，白2），事件的基本事件個數(shù)為4。法二：利用條件概率公式直接求解。（

3、1）設“先摸出1個白球不放回”為事件A，“再摸出1個白球”為事件B，“先后兩次摸到白球”為事件。，。（2）設“先摸出1個白球放回”為事件，“再摸出1個白球”為事件，“先后兩次摸到白球”為事件。，。法三：通過問題的實質(zhì)解決問題。解：（1）摸出1個白球之后不放回，問題就變成了“從1個白球和2個黑球中摸出1個白球的概率是多少？”顯然，。（2）摸出1個白球放回后，問題就變成了“從2個白球和2個黑球中摸出1個白球的概率是多少？”顯然，。綜上來看上面幾種方法，法二是課本上給出的方法，比較“正規(guī)”，但相比法一，多求了總的基本事件空間的基本事件數(shù)，實際問題解決中可省略；（理論依據(jù)：，n直接就約掉了，對結(jié)果無任

4、何影響）而對于法一來講，若事件較簡單，可直接列出基本事件空間，數(shù)數(shù)基本事件的個數(shù)，若事件比較復雜，可通過排列組合方法求出基本事件空間的基本事件個數(shù)。這種方法在實際問題中比較通用；三種方法相比較，對此題而言，顯然第三種方法最簡單，前提是“題意不亂，思緒容易理清”。下面我們把上面的例子中的數(shù)據(jù)稍作修改，再來感受一下這三種方法。變式：一袋中有6個黑球，4個白球，那么（1）依次取出3個球不放回，已知第一次取出的是白球，則第三次取到黑球的概率是多少？（2）有放回地依次取出3球，已知第一次取出的是白球，則第三次取到黑球的概率是多少？法一：解：（1）設“第一次取到白球不放回”為事件A，“第三次取到黑球”為事

5、件B，“第一次取到白球不放回并且第三次取到黑球”為事件。則A事件發(fā)生的基本事件數(shù)為；事件發(fā)生的基本事件數(shù)為（分白，白，黑和白，黑，黑兩種情況）或（先考慮第一次和第三次的，最后考慮第二次的）。（2）設“第一次取到白球放回”為事件，“第三次取到黑球”為事件，“第一次取到白球放回并且第三次取到黑球”為事件。則事件發(fā)生的基本事件數(shù)為；事件發(fā)生的基本事件數(shù)為（先考慮第一次和第三次的，最后考慮第二次的）。法二：解：所有設法與法一一致。（1）總的基本事件數(shù)為，。（2）總的基本事件數(shù)為，。法三：解：（1）第一次取到白球不放回，問題就變?yōu)椤皬?個黑球和3個白球中不放回地連續(xù)取2次球，第二次取到黑球的概率是多少？”。（2）第一次取到白球放回，問題就變?yōu)椤皬?個黑球和4個白球中有放回地連續(xù)取2次球，第二次取到黑球的概率是多少？”。另解：（2）中每次取之前袋中的球的情況不變，則每次