高考數(shù)學(xué)試題中的開放型題

1、 II精誠凝聚 7=成就夢想高考數(shù)學(xué)試題中的開放型題王思儉近年來，隨著素質(zhì)教育思想的不斷深入，人們?nèi)找嬲J(rèn)識到數(shù)學(xué)開放題在測試能力中，特別是測試創(chuàng)造能力水平中的重要作用，因此，加強(qiáng)對開放型題的研究和教學(xué)就顯得十分必要，本文擬就高考試題中所出現(xiàn)的開放型問題作點(diǎn)歸納1 數(shù)學(xué)開放型題的概念及特征所謂“數(shù)學(xué)開放題”是指“凡是答案不惟一或者條件不完備者具有多種不同的解法的習(xí)題，稱之為開放題” 匚1：數(shù)學(xué)開放題有以下幾個(gè)特點(diǎn)：(1) 不確定性：所提的問題常常是不確定和一般性的，其背景情況也是用一般詞語來描 述的，主體必須收集其他必要的信息，才能著手解題；(2) 探究性：沒有現(xiàn)成的解題模式，有些答案可能易于直

2、覺地被發(fā)現(xiàn)，但是求解過程中 往往需要從多個(gè)角度進(jìn)行思考和探索；(3) 非完備性：有些問題的答案是不確定的，存在著多樣的解答，但重要的還不是答案 本身的多樣性，而在于尋求解答的過程中主體的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的重建；(4) 發(fā)散性：在求解過程中往往可以引出新的問題，或?qū)栴}加以推廣，找出更一般、 更有概括性的結(jié)論；(5) 層次性：常常通過實(shí)際問題提出，主體必須用數(shù)學(xué)語言將其數(shù)學(xué)化，也就是建立數(shù) 學(xué)模型；(6) 發(fā)展性：能激起多數(shù)學(xué)生的好奇性，全體學(xué)生都可以參與解答過程，而不管他是屬 于何種程度和水平；(7) 創(chuàng)新性：教師推以用注入式進(jìn)行教學(xué)，學(xué)生能自然地主動(dòng)參與，教師在解題過程中 的地位是示范者、啟發(fā)者、鼓

3、勵(lì)者2高考試題中常見的開放型試題近兩年來，全國高考試題、上海高考試題及各地的高考模擬試題中都出現(xiàn)了開放型試題， 它不僅可以考查學(xué)生的素質(zhì)水平，也對開放性教學(xué)起著良好的導(dǎo)向和推動(dòng)作用，下面就高考試題中開放性試題常見的幾種類型歸納如下：2.1條件開放型若其未知的要素是假設(shè)，則稱為條件開放題，這種類型的考題是給定結(jié)論來反探滿足結(jié)論的條件，而滿足結(jié)論的條件并不惟一，這類題常以基本知識為背景加以設(shè)計(jì)而成的，主要 考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識的掌握程度和歸納探索能力圖 3 41例1: (1998年全國高考試題(文、理)第(18)題)如圖，在直四棱 柱A1BQ1D1ABCD中，當(dāng)?shù)酌嫠倪呅螡M足條件 ，有AQ丄B1D1

4、(注：填上你認(rèn)為正確的一個(gè)條件即可，不必考慮所有可能的情 形).分析：如果A1C丄B1D1，由三垂線定理逆定理知 A1C1丄B1D1，而 使A1C1丄B1D1的四邊形有無窮多個(gè)，如正方形、菱形等都可以例2: (1999年南京市高考模擬試題第 17題)設(shè)非零復(fù)數(shù) 乙，Z2 所對應(yīng)的向量分別為 OZ1, 0Z2，試用Z1, Z2的形式寫出0Z1丄0Z2的 一個(gè)充分非必要條件為 .分析：要使 0Z1丄0Z2,只須0Z1與0Z2的夾角為90°,于是選照亮人生 擇 Z1=2iz2, |z什Z2|=|Z1 Z2I,=ai(a R+)等均可.Z2 鑼點(diǎn)亮心燈/(AvA)22策略開放型若其未知的要素

5、是推理，則稱為策略開放題，這類題要求學(xué)生依據(jù)題目提供的題設(shè)信息， 尋找切合實(shí)際的多種途徑解決問題例3: （1998年全國高考試題（理）第（10）題）向高為H的水瓶中注水，注滿為止，如果 注水量V與水深h的函數(shù)關(guān)系的圖象如下圖所示，那么水瓶的形狀是（）D圖 3 44 II精誠凝聚 7=成就夢想圖 3 44 II精誠凝聚 7=成就夢想分析：策略一：直接運(yùn)算建立函數(shù)，畫圖較困難策略二：直覺法，根據(jù)直覺判斷，排除C、D，對A、B可以考慮等量水注入容器，A的水面高，排除A.策略三：正難則反策略，利用特殊值法，取h=-H時(shí)，從函數(shù)圖象上看出注水量 V>-Vo,2 2于是排除A、C、D，故選B.2.3

6、結(jié)論開放型若未知的要素是判斷，則稱為結(jié)論開放型題，這種類型的考題是在給定條件下探索結(jié)論的多樣性，主要考查學(xué)生的發(fā)散思維和所學(xué)基本知識的應(yīng)用能力例4 （1999年上海市高考試題（理）第12題）若四面體各棱的長是 1或2,且該四面體不是正四面體，則其體積的值為（只需寫一個(gè)可能值）.分析：由于四面體不是正四面體，故棱長不可能都為 長分別為1和2，這樣的四面體有三個(gè)：1或都為2,因此，至少有兩個(gè)棱圖 3 44 II精誠凝聚 7=成就夢想圖 3 44 II精誠凝聚 7=成就夢想其體積分別為也蘭14也.6 12 122.4綜合開放型如果一個(gè)問題只給出一定的情境、條件，解題策略與結(jié)論都要求主體在情境中自行設(shè)

7、定與尋找，這類題目可稱為綜合開放題，對于這種問題，由于主體思考角度與經(jīng)驗(yàn)背景不同， 必然會(huì)提出多種多樣的解題策略，得到各種不同的精確的或近似的、繁冗的或簡練的，可推廣的或難以推廣的結(jié)論，這樣的問題其條件、 解題策略與結(jié)論都呈現(xiàn)極大的開放性，主要是考查學(xué)生的分析與解決問題的能力例5 （1999年全國高考試題（文、理）第18題）a，B是兩個(gè)不同的平面， m，n是平面 a及B之外的兩條不同直線，給出四個(gè)論斷： m丄n;a丄B :門丄B :m丄a，以其中三 個(gè)論斷作為條件，余下一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題是.分析：題目的條件的結(jié)論都沒有給出，所以是一道綜合開放題，.鑼點(diǎn)亮心燈/（&quo

8、t;）照亮人生圖 3 44 II精誠凝聚 7=成就夢想三個(gè)作條件、一個(gè)作結(jié)論有 c3=4個(gè)命題，但根據(jù)線線、線面、面面位置關(guān)系，可得到只有兩個(gè)命題是正確的即=，=.例6 （1998年全國高考數(shù)學(xué)試題（理）第22題）如圖，為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要 制造一底寬為2米的無蓋長方體沉淀箱，污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從 B孔流出，設(shè)箱體的長度為a米，高度為b米，已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與a, b的乘積ab成反比,現(xiàn)有制箱材料60平方米，問當(dāng)a, b各為多少米時(shí)經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最 ?。ˋ、B孔的面積忽略不計(jì)）.分析：本題只是用一般性的語言來描述問題的背景，其條件、解題策略與結(jié)論都

9、呈現(xiàn)極大開放性，是一道綜合開放型試題， 主要考查建立函數(shù)關(guān)系、 不等式的性質(zhì)、最值等基礎(chǔ)知 識，考查綜合應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識、思想和方法，解決實(shí)際問題的能力，本題的實(shí)質(zhì)是求最值， 關(guān)鍵是準(zhǔn)確建模，要求考生具有閱讀、理解、表達(dá)與轉(zhuǎn)化等綜合素質(zhì)，本題入手容易，稍有數(shù)學(xué)知識和良好心態(tài)的考生，都能順利建立數(shù)學(xué)模型2a+4b+2ab=60(a，b>0)，y=ab(k為 鑼點(diǎn)亮心燈/(AvA)照亮人生 .鑼 II精誠凝聚 7=成就夢想比例系數(shù)，k>0），但欲獲得圓滿解決，必須有豐富的解題策略，因而該題是策略性開放較強(qiáng) 的綜合題.策略一：模式識別，本題實(shí)質(zhì)是求ab的最大值，30=a+2b+ab>

10、;2、. 2 , ab +ab，解得abw 3 2，取等號條件a=2b=6.策略二：整體把握，30=ab+a+2b=辿 + 亞+弐+a+2b5()3 a 2b，333V 3ab 2(ab)4w 65 33，. ab< 18，當(dāng)且僅當(dāng)=a=2b 時(shí)，取“=”.3ab ab ab該法巧拆“ ab”為“+”，須有使不等式右邊出現(xiàn) （ab）4的目標(biāo)意識和預(yù)見333力.策略三：問題轉(zhuǎn)化 1:換元法，令 a=v+u，2b=u v，由已知有：v2+4v- 60=u2> 0.故v>6 或 v< 10(舍)，ab=v -u=30 2v w 18. 鑼點(diǎn)亮心燈/(AvA)照亮人生 .鑼 II精誠凝聚 7=成就夢想 鑼點(diǎn)亮心燈/(AvA)照亮人生 .鑼 II精誠凝聚 7=成就夢想問題轉(zhuǎn)化2: ab=罟嚴(yán)=34 -（2t罕，利用基本不等式求解（其中t=b+1）策略四：數(shù)形結(jié)合，消去a化為y=k 30-2b1，轉(zhuǎn)化為吋）與（2b， b）（b>0）連線 鑼點(diǎn)亮心燈/(AvA)照亮人生 .鑼 II精誠凝聚 7=成就夢想 鑼點(diǎn)亮心燈/(AvA)照亮人生 .鑼 II精誠凝聚